Corrigé : Galilée à la tour de Pise
1) Seconde loi de Newton appliquée à l’objet (référentiel galiléen : le sol terrestre)
= = m= m donc =
dans un repère Ox, (axe vertical vers le bas ; faire un schéma) : ax = g donc Vx = g t et x= ½ g t2 donc pour une chute d’une hauteur h, le temps de chute est t = (2h / g) ; on voit qu’il est indépendant de m dans l’hypothèse où les frottements de l’air sont négligeables.
« Aristote déclare qu’une boule de fer de 100 livres est déjà descendue d’une hauteur de 100 coudées quand une boule de 1 livre a parcouru seulement une coudée. J’affirme que les deux boules arrivent ensemble ». Galilée indique en effet, contrairement à Aristote, que les deux objets de masse différente arrivent ensemble au sol (même temps de chute).
2) a) La force de frottement est de direction verticale et dirigée vers le haut (sens contraire à la vitesse) b) Seconde loi de Newton : = + = m =m donc = m on voit que l’accélération dépend de m.
dans un repère Ox, (axe vertical vers le bas ; faire un schéma) : a = g – f/m
Pour une même force de frottement f , l’accélération augmente si la masse augmente.
3) a) dimension de f = [ kg m-3][m2][ms-1]2 = [kg m s-2] l’expression est cohérents puisque, d’après la seconde loi de Newton, dimension de f = [N] = [kg m s-2].
b) La force de frottement n’est pas constante, mais croissante, au cours du mouvement de chute car elle dépend de la vitesse V qui croit au cours de la chute.
c) Boule B1 B2 B3
P (N) 500 5 5
f (N) 1,0 1,0 x 2 10-3 / 4 10-2 = 0,05 1,0
La force frottement de l’air est négligeable par rapport au poids pour les boules B1 (f/P = 0,2 %) et B2 (f/P = 1 %).
4) a) L’accélération tend vers zéro lorsque la vitesse tend vers sa valeur limite constante puisque l’accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps.
b) a = 0 = g – f/m donc g = f/m d’où m g = f = ½ C S V2 et donc Vmax = (2 m g / C S).
5) a) Graphes 1 : à x = 50 m on obtient t1 = 3,15 s t2
= 3,2 s t3 = 3,9 s pour t = t1 = 3,15 s on a x2 = 49 m x3 = 37 m (les déterminations graphiques sont imprécises ; admettre une marge d’erreur de 10% )
b) Graphes 2 :
boule B3 : Vmax 19 ms-1
ce qui correspond à la valeur indiquée compte tenu de l’imprécision de la lecture graphique.
Pour les boules B1 et B2 la vitesse limite n’est pas atteinte ; c’est ce que confirme la simulation graphique.
6) Conclusion : les affirmations de Galilée sont correctes : contrairement à ce que prétendait Aristote, la masse n’a pas une influence proportionnelle sur le temps de chute et si les frottements sont négligeables le mouvement de chute est indépendant de m. Mais si les frottements avec l’air sont non négligeables par rapport au poids le mouvement de chute est modifié comme le montre la comparaison entre B1 et B3 sur lesquelles s’exercent la même force de frottement pour une vitesse donnée : la boule de plus grande masse arrive largement en premier ; mais ceci est dû non pas directement à la masse mais plutôt à l’importance de la force de frottement par rapport au poids. Les précisions de condition d’étude concernent donc l’importance de la force de frottement de l’air comparée au poids de l’objet.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
