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L’élève doit rendre un devoir propre, clair et lisible.
La présentation est importante.
Exercice 1
Soit f une fonction définie sur
] [
1;+∞ . On donne ci-dessous son tableau de variations.x 1 3 +∞
f’ – 0 +
f
+∞ +∞
2,5
De plus on admet que, pour tout x élément de
] [
1;+∞ , f(x) peut s’écrire sous la formec x ax b ) x (
f = + − , où a, b et c sont trois réels (avec a et b non nuls) que l’on se propose de déterminer à partir d’indications fournies par le tableau de variations de f.
On appelle C la représentation graphique de f dans le plan muni d’un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm.
1. a. Utiliser le tableau de variations pour justifier l’existence d’une droite D asymptote à C. Donner une équation de D.
b. En déduire la valeur de c.
2. A partir de cette question, on suppose que c = 1.
a. Calculer f ’(x) en fonction de a et de b.
b. A l’aide du tableau, trouver deux relations entre a et b. Calculer alors a et b.
3. A partir de cette question, on suppose que
1 x
2 2 ) x x (
f = + − .
Montrer que la droite D’ d’équation
2
y=x est asymptote à C.
4. Résoudre dans
] [
1;+∞ l’équation f(x) = 3.5. a. Calculer f ’(x).
b. Déterminer une équation de la droite T, tangente à C au point d’abscisse 2.
6. Etudier les variations de f.
7. Tracer D, D’ et C ( Avec ses tangentes horizontales).
DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 1°S
Le 13 Mai 2009 Durée 3 heures
E.CLEMENT A.TAYE 56 tirages
http://www.taye.fr Exercice 2
Le garçon de bureau des éditions Dupuis se plaint à sa dulcinée.
« Voyez-vous, M’oiselle Jeanne, chaque jour je traite un cinquième de mon courrier en retard, mais tous les soirs il m’arrive 200 lettres. Ce matin, j’en ai déjà 2500 sur mon bureau.
Je ne vois pas comment je vais m’en sortir… »
« –Vous trouverez sûrement une solution Monsieur Gaston, vous qui êtes si intelligent ! » Mais laquelle ?
1) Montrer, si on appelle un le nombre de lettres en retard le nèmejour suivant cette conversation, que l’on a u0 = 2500 et
un+ 1 =0,8 un + 200.
Calculer u1 ,u2 ,u3 .
2) On pose vn = un − 1000. Calculer v0 ,v1 ,v2 ,v3 .Montrer que v est un suite géométrique.
3) En déduire l’expression de vn puis celle de un en fonction de n.
4) Déterminer la limite de vn puis celle de un . Etudier le sens de variation de u.
5) Conclure pour notre héros. Combien de lettres aura-t-il traitées en tout en 30 jours ? Exercice 3
Soit la suite (un) définie par u0 = 1 et 1 2
2 3
n n
n
u u
+ = u
+ . 1) a) Calculer les termes u1 et u2.
b) La suite (un) est-elle arithmétique ? géométrique ? 2) On admet que, pour tout n, un ≠ 0.
Pour tout entier n, on pose : n 1 2
n
v = +u . a) Calculer v0, v1, et v2.
b) Calculer vn+1 en fonction de vn. En déduire que (vn) est une suite arithmétique.
c) Exprimer vn en fonction de n. En déduire un en fonction de n.
Exercice 4
Ci-contre le diagramme en boîte d’une série statistique.
1) a) Quelle est la médiane de cette série ?
b) Quels sont les premier et troisième quartiles ? c) Quelles sont les valeurs
minimale et maximale de cette série ? 2) a) Déterminer l’écart
interquartile.
b) Recopier et compléter les phrases :
« Au moins ….. % des valeurs sont inférieures ou égales à 15 » ;
« Au moins ….. % des valeurs sont inférieures ou égales à 32 » ;
« Environ …. % des valeurs sont comprises entre 15 et 32 ».
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42
