D.S. DE MATHEMATIQUES (4)

D.S. DE MATHEMATIQUES (4)

NOM : PRENOM : CLASSE : TS 3

Pas de document, ni de sortie autorisés avant la fin de l’épreuve. DUREE : 4 H 00

Exercice 1 : (4 points)

Le plan est muni d'un repère orthonormal directO,u ,v, unité graphique : 2 cm.

On appelle A le point d'affixe−2i.

Á tout point M du plan d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z '=−2 z2i 1. On considère le point B d'affixe b=3−2i.

Déterminer la forme algébrique des affixes a' et b' des points A' et B' associés respectivement aux points A et B. Placer ces points sur le dessin.

2. Démontrer que si M appartient à la droite  d'équation y = -2 alors M' appartient aussi à 3. Démontrer que pour tout point M d'affixe z, ∣z '2i∣=2 ∣z2i∣. Interpréter

géométriquement cette égalité.

4. Pour tout point M distinct de A on appelle  un argument de z2i a . Justifier que  est une mesure de l'angle u ,AM.

b . Démontrer que, pour z≠−2i, z2iz '2i est un réel négatif strict.

c . En déduire un argument de z '2i en fonction de.

d . Que peut-on en déduire pour les demi-droites [AM) et [AM') ?

5. En utilisant les résultats précédents, proposer une construction géométrique du point M' associé au point M.

Exercice 2 : (3 points)

On considère la suite





{

2. Étudier la monotonie de la suite





3. a . Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel n, u_nn². b . Quelle est la limite de la suite





4. Conjecturer une expression de ^un , en fonction de n, puis démontrer la propriété ainsi conjecturée.

Exercice 3 : (3 points)

Pré requis : la fonction exponentielle, notéeexp, a les trois propriétés suivantes : 1. exp est une fonction dérivable sur ℝ;

2. sa fonction dérivée, notéeexp', est telle que, pour tout nombre réel x, exp'x=expx; 3. exp(0) = 1.

En n’utilisant que ces trois propriétés de la fonction exp, démontrer successivement que : a . pour tout nombre réel x, expx×exp− x=1 ;

b . pour tout nombre réel a et tout nombre réel b, expab=expa×expb.

On pourra considérer successivement les fonctions f et g définies par:

f x=expx×exp−xetgx=expax

Exercice 4 : (5 points)

On considère dans le plan (P) rapporté à un repère orthonormalO,i ,j, le cercle de centre O et de rayon 1. Soit A le point de coordonnées (1;0) et A' le point de coordonnées(-1,0)

1. Par tout point H du segment [AA'] distinct de A et de A', on mène la perpendiculaireà la droite (AA'). La droitecoupe le cercle en M et M'. On pose^OH=xi . Calculer en fonction de x l'aire du triangle AMM'.

2. Soit f la fonction définie sur [-1 ; 1] par : f x=1−x



a . Étudier la dérivabilité de f en -1 et en 1. En déduire les tangentes à la courbe (C) aux points d'abscisses -1 et 1.

b . Dresser le tableau de variation de f, on y précisera f(0).

c . Tracer la courbe (C).

3. Démontrer que le triangle AMM' d'aire maximal est équilatéral.

4. Justifier que l'équation f x=1admet exactement deux solutions et   < . Détermineret donner, en justifiant, un encadrement deà 0,01 prés.

Exercice 5 : (5 points)

Soit g la fonction définie sur [0;1] par gx=e^x−1

x si x0 etg0=1. 1. Démontrer que g est continue en 0.

2. Soit h la fonction définie sur [0;1] par hx=e^x−1−x−x² 2 a . Calculerh 'xpuis h ' 'x.

b . Donner les valeursh0et h '0.

c . Déterminer le signe deh ' 'xsur[0;1]. En déduire les variations, puis le signe de h '. d . En déduire les variations, puis le signe de h.

3. Déduire de la question 2. que, pour tout x∈[0;1], 1xx² 2 e^x

4. En vous inspirant des questions 2. et 3. Démontrer que, pour tout x∈[0;1], e^x1xx²

2 2 x³.

5. Déduire des questions précédentes que, pour tout x∈]0;1], 1

2 e^x−1 −x x² 1

2 2 x. En déduire que g est dérivable en 0. Donnerg '0