QCM de MATHÉMATIQUES GÉOMÉTRIE - PROBABILITÉS

(1)

CONCOURS ENTRÉE À L’UNIVERSITÉ

QCM de MATHÉMATIQUES

GÉOMÉTRIE -

PROBABILITÉS

Gilbert DAMIN

Agrégé de Mathématiques

Professeur en Classe Préparatoire

au Lycée Pierre de Fermat à Toulouse

(2)

• Questionnements Automatisables de Mathématiques aux Concours ENAC, 90 / 92, Gilbert DAMIN / Serge DAUDE 240 pages (1992).

• QCM de Mathématiques, ANALYSE, Baccalauréat et Entrée à l’Université,

Gilbert DAMIN 128 pages (1996).

(3)

L’utilisation des QCM (Questionnaires à Choix Multiples) est de plus en plus fréquente dans les examens et concours, ceci à tous niveaux et pour un nombre croissant de matières.

Pour plus d’information, voir le tome d’analyse chez le même éditeur ou consulter sur Internet le site de l’auteur http://gilbert.damin.free.fr

Actuellement, venu d’outre atlantique des batteries de tests QCM se développent rapidement. Ils permettent de déterminer le niveau de connaissance et de compréhension dans un domaine technique particulier. Les formations du prochain millénaire seront certainement de ce type.

L’Europe aussi, met en place sur Internet un système d’évaluation et d’accréditation des compétences sous la forme de QCM, la mobilité en dépend.

Tout l’enjeu et le bénéfice de la Validation des Acquis Professionnels seront liés à ces diﬀérents modes d’évaluation.

Nous rappelons que nous avons classés pour notre commodité les QCM selon les trois types en usage dans la plupart des ouvrages, des examens, ou des concours et que nous développons dans cet ouvrage le type III (Analyse de l’ensemble des assertions d’une même question et plusieurs questions liées).

Il faut noter que pour tout type de QCM la non réponse est préférable à une réponse au hasard, en raison des pénalisations des réponses fausses. Ces pénalités sont, en principe, calculées de telle manière qu’un candidat répondant au hasard obtiendra toujours une note plus ou moins négative.

Nous espérons que ce livre vous aidera à découvrir les Questionnements Automatis- ables et vous montrera que la rigueur et la méthode sont les seuls moyens pour faire des progrès en mathématiques.

Ce livre a été écrit par l’auteur avec le logiciel c ° Scientific Work Place ^[1] de TCI Software Research Inc qui permet d’écrire en c °LaTEX ^[2] sans en connaître toute la syntaxe. Toutes les figures ont été réalisées avec c °PICTEX ^[3] .

[1]

Voir le site http://mackichan.com

[2]

Langage très utilisé qui permet d’écrire des mathématiques et bien d’autres choses. Voir par exemple le site de l’association ASTEX http://www.univ-orleans.fr/EXT/ASTEX

[3]

Voir le site http://www.ucc.ie/info/Tex/pictex.html

(4)

De manière pratique, il est conseillé de lire pour chaque exercice proposé dans ce livre la totalité des questions, puis de traduire en énoncé classique ce qui est demandé, et après avoir traité l’exercice complètement, de répondre aux questionnaires QCM.

Cela sera comparable à vos habitudes et fera un excellent entraînement pour aussi bien les sujets classiques que les sujets QCM, et ceci pour tout type.

Ces exercices s’adressent aux élèves de Terminale Scientifique qui désirent préparer dans de bonnes conditions leur accès Post-Baccalauréat ou des concours.

Un dernier conseil :

Lire très attentivement chaque assertion, car elle peut renfermer un piège. Tous les mots ont leur importance et ont une signification précise.

Il est ainsi possible de juger votre niveau de compréhension littéraire d’un texte scientifique.

Nous rappelons que dans les Questionnements Automatisables qui suivent, seul au plus deux réponses sont exactes et que certaines questions sont liées. Ainsi il est fréquent qu’une même question soit posée plusieurs fois sous des formes diﬀérentes, ceci afin d’éliminer les réponses au hasard.

Cela veut dire que chaque question comporte de zéro à deux assertions exactes.

Dans le cas où aucune des quatre assertions proposées n’est jugée exacte par le candidat, celui ci doit cocher la case e de la question. Ce cas est le plus diﬃcile car il est déroutant, prudence.

Un exemple : Question 1 :

La valeur du produit 2 * 3 est a) − 1. b) 6. c) 4. d) 0.

Question 2 :

Les racines de l’équation x ² − 1 = 0 sont a) − 1. b) i. c) 1. d) − 2.

Question 3 :

La somme 2 − 5 vaut

a) − 2. b) 3. c) 5. d) 1.

a b c d e

Q1 :

Q2 :

Q3 :

...

... ... ...

... ...

...

... ... ...

...

... ...

...

(5)

Le problème ^[1] qui suit a été posé au baccalauréat dans les termes suivants : Nous considérons l’application f de C dans lui même définie par

f : z → Z = z + i λ z 1 + i λ

où z est le conjugué de z et λ un paramètre réel strictement positif.

Pour quelles valeurs de λ l’application f est-elle bijective ? Exprimer alors f ⁻ ¹ (z) en fonction de z et de z.

1. Nous appelons m, m ⁰ et M les images respectives de z, z et Z dans le plan complexe et φ la transformation aﬃne ponctuelle qui au point m fait correspondre le point M, ie : φ (m) = M.

a) Déterminer l’ensemble E des points invariants par φ ie : { N du plan tels que φ (N ) = N } .

b) Calculer pour z / ∈ E le module et l’argument du nombre complexe ζ = Z − z

Z − z .

En déduire pour z fixé non réel, l’ensemble des points M lorsque le paramètre λ varie.

2. Dans cette question λ = 2. Calculer les coordonnées (X, Y ) de M en fonction des coordonnées (x, y) de m, préciser l’image par φ de la droite d’équation x = 1.

Nous proposons de résoudre ce problème en répondant aux Questionnements Automa- tisables suivants.

Nous considérons l’application f de C dans lui même définie par f : z → Z = f (z) = z + i λ z

1 + i λ

[1]

Note du l’auteur : Ce problème a été traité simultanément de manière classique et par QCM par 157 élèves de 6 terminales.

Les résultats ont établi une corrélation parfaite entre les deux séries de notes.

C’est à la suite de plusieurs expériences concordantes de ce type que les Questionnements Automatisables furent validés pour certains concours.

Pour plus d’information, voir du même auteur “ Un grand pas vers le FUTUR, Docimologie en QCM ”

publié au CNDP de Toulouse 1986.

(6)

où z est le conjugué de z et λ un paramètre réel strictement positif.

Question n ^◦ 01 :

L’application f est bijective si λ est

a) nul b) égal à 1. c) diﬀérent de 1. d) diﬀérent de − 1.

Nous écrivons f ⁻ ¹ (z) sous la forme f ⁻ ¹ (z) = α z + β z.

Question n ^◦ 02 : La valeur de α est

a) 1

1 + i λ . b) 1

1 − λ ² . c) i λ

1 − λ ² . d) 1 + i λ 1 − λ ² . Question n ^◦ 03 :

La valeur de β est

a) − i λ (1 − i λ)

1 − λ ² . b) i λ

1 − i λ . c) − λ (λ + i)

1 − λ ² . d) λ 1 + i λ .

Nous désignons par φ la transformation affine ponctuelle qui au point m d’affixe z fait correspondre le point M d’affixe Z = f (z) ie : φ (m) = M.

L’ensemble des points invariants par φ est l’ensemble des points N du plan tels que φ (N ) = N.

Question n ^◦ 04 :

L’ensemble des points E invariants par φ est

a) l’axe des imaginaires. b) l’axe des réels.

c) l’ensemble vide. d) une droite.

Nous définissons pour z / ∈ E le nombre complexe ζ = Z − z Z − z . Question n ^◦ 05 :

Si ζ est défini alors son module | ζ | a pour expression

a) √

λ. b) − λ. c) 1

λ . d) λ.

Question n ^◦ 06 :

L’argument arg ζ a pour valeur (k désigne un entier relatif) a) − π

2 à 2 k π près. b) π

2 à 2 k π près.

c) − π

2 à k π près. d) π

2 à k π près.

Question n ^◦ 07 :

Si z est fixé, tel que = m z > 0, alors l’ensemble des points M est

(7)

a) un demi-cercle situé à droite d’un diamètre vertical.

b) un demi-cercle situé à gauche d’un diamètre vertical.

c) situé sur un cercle. d) un segment de droite

Dans toutes les questions suivantes λ = 2. Soient (X, Y ) les coordonnées de M et (x, y) celles de m.

Question n ^◦ 08 : L’expression de X est

a) 4 x + 5 y

5 . b) 5 x + 4 y

5 . c) 4 x − 5 y

5 . d) 5 x − 4 y 5 . Question n ^◦ 09 :

L’expression de Y est

a) 3 y

5 . b) − 3 y

5 . c) 5 x − 4 y

5 . d) − 5 x + 4 y 5 . Question n ^◦ 10 :

L’image par φ de la droite d’équation x = 1 est

a) un cercle de centre O. b) une droite passant par O.

c) un cercle non centré en O. d) une droite ne passant pas par O.

Corrigé

Nous allons résoudre ce problème tel qu’il était posé de manière classique, puis nous répondrons aux assertions proposées. Ceci nous permettra de mieux comprendre la construction des Questionnements Automatisables et nous prouvera que cette nouvelle approche est bien identique à l’approche classique d’un problème. Nous voyons ainsi la diﬀérence entre les QCM et les Questionnements Automatisables.

Vous comprenez maintenant le pourquoi d’un nouveau nom.

1. Pour déterminer si f est une application bijective de C dans lui même, le plus simple est d’exprimer z en fonction de Z.

Z = z + i λ z

1 + i λ ⇔ (1 + i λ) Z = z + i λ z soit en prenant le conjugué de la deuxième expression

(1 − i λ) Z = z − i λ z

et en éliminant z entre les deux égalités (il suﬃt de multiplier la seconde par i λ et d’ajouter ensuite)

¡ 1 − λ ² ¢

z = (1 + i λ) Z − i λ (1 − i λ) Z. (1) Il est clair que z ne peut être calculé que si et seulement si λ ² 6 = 1, ce qui équivaut à λ 6 = 1 car par hypothèse λ est un paramètre réel strictement positif.

Nous en déduisons que f ⁻ ¹ existe pour λ 6 = 1 et que son expression est f ⁻ ¹ (z) = 1 + i λ

1 − λ ² z − i λ (1 − i λ)

1 − λ ² z. (2)

(8)

...

i y

...

x

...

O

− π/2

m

m ⁰

M

...

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*

Cas où = m z > 0 Figure 1

...

i y

...

x

...

O

− π/2

m m ⁰

M

...

...^*^*

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Cas où = m z < 0 Figure 2

2. Nous pouvons aussi exprimer la relation (1) d’une autre manière en développant le numérateur du deuxième terme

f ⁻ ¹ (z) = 1

1 − i λ z − λ (λ + i)

1 + i λ z. (3)

a) Le point N d’aﬃxe z est invariant par φ si et seulement si f (z) = z. Ce qui donne la relation

z = z + i λ z

1 + i λ ⇔ i λ (z − z) = 0 (4) soit z − z = 0 car λ > 0.

L’ensemble des points invariants par φ est donc l’axe des réels (Remarquer que ce résultat est vrai pour tout λ).

b) Nous avons

ζ = Z − z Z − z

=

z + i λ z 1 + i λ − z z + i λ z

1 + i λ − z

= − i λ z − z z − z

= − i λ car z est non réel ie : z / ∈ E . Nous en déduisons que

| ζ | = λ et arg ζ = − π

2 à 2 k π près ^[1] avec k ∈ Z . (5) Si z est non réel fixé alors les points m, m ⁰ et M d’aﬃxes respectives z, z et Z vérifient d’après (5)

mM

m ⁰ M = λ et ³ −−−→

m ⁰ M , −−→ mM ´

= − π 2 ,

[1]

Nous écrivons aussi

arg ζ = − π

2 (mod 2 π).

(9)

exprimant lorsque λ varie que le point M décrit un demi cercle de diamètre mm ⁰ . La position de ce demi cercle dépend de = m z, voir figure 1 et figure 2.

3. Pour λ = 2, nous isolons la partie réelle et la partie imaginaire de Z = f (z) X + i Y = x + i y + 2 i (x − i y)

1 + 2 i

soit en multipliant et en divisant par la quantité conjuguée du dénominateur 1 − 2 i X + i Y = [x + i y + 2 i (x − i y)] (1 − 2 i)

5 = 5 x + 4 y

5 − i 3 y 5 . D’où la partie réelle X et la partie imaginaire Y sont

X = 5 x + 4 y

5 et Y = − 3 y

5 . (6)

f étant bijective car λ = 2 6 = 1, nous pouvons exprimer x et y en fonction de X et de Y, à partir de (6).

x = 1

3 (3 X + 4 Y ) et y = − 5 3 Y.

Nous avons ainsi pour x = 1 la relation 3 X + 4 Y = 3 vérifiée par les coordonnées du point M.

L’ensemble de ces points est la droite dont une équation est

3 x + 4 y − 3 = 0. (7)

Nous pouvons maintenant répondre à toutes les assertions des 10 questions posées.

D’après la relation (1) , nous pouvons calculer z si et seulement si λ ² 6 = 1, donc l’assertion 1 c) est vraie et les trois autres fausses.

Nous avons les réponses :

Question 01 : a) Fausse b) Fausse c) Vraie d) Fausse e) Fausse D’après la relation (2) , la valeur de α est 1 + i λ

1 − λ ² , donc l’assertion 2 d) est vraie et les trois autres fausses.

Nous avons les réponses :

Question 02 : a) Fausse b) Fausse c) Fausse d) Vraie e) Fausse Nous devons être prudent dans les assertions de la question 3. En eﬀet le dénominateur n’est pas toujours réel. D’après les relations (2) et (3) , la valeur de β est − i λ (1 − i λ)

1 − λ ² ou − λ (λ + i)

1 − λ ² donc les assertions 2 a) et 2 c) sont vraies et les deux autres fausses.

La relation (3) permet de gagner des points. Il faut être rigoureux dans les Question- nements Automatisables.

Nous avons les réponses :

Question 03 : a) Vraie b) Fausse c) Vraie d) Fausse e) Fausse

(10)

D’après la relation (4) , l’ensemble des points invariants par φ est l’axe réel, donc les assertions 4 b) et 4 d) sont vraies et les deux autres fausses. Encore un piège comme à la question précédente, c’est comme un fusil à répétition.

Nous avons les réponses :

Question 04 : a) Fausse b) Vraie c) Fausse d) Vraie e) Fausse Vous avez remarqué que le calcul de ζ exige que z − z 6 = 0 donc la réserve du préambule de la question 5 est parfaitement justifié et donc dans la suite il faut prendre z non réel (voir ce qui se passe dans le cas contraire pour les deux figures).

D’après la relation (5) , les assertions 5 d) et 6 a) sont vraies et les six autres fausses.

Nous avons les réponses :

Question 05 : a) Fausse b) Fausse c) Fausse d) Vraie e) Fausse

Question 06 : a) Vraie b) Fausse c) Fausse d) Fausse e) Fausse D’après la relation (5) pour z fixé, tel que = m z > 0, ce qui est le cas de la figure 1, l’ensemble des points M est le demi-cercle de diamètre mm ⁰ situé dans la partie droite.

Les assertions 7 a) et 7 c) sont donc vraies et les deux autres fausses. Remarquer le piège de l’assertion 7 c).

Nous avons les réponses :

Question 07 : a) Vraie b) Fausse c) Vraie d) Fausse e) Fausse D’après la relation (6) , les assertions 8 b) et 9 b) sont vraies et les six autres fausses.

Nous avons les réponses :

Question 08 : a) Fausse b) Vraie c) Fausse d) Fausse e) Fausse

Question 09 : a) Fausse b) Vraie c) Fausse d) Fausse e) Fausse Enfin, la relation (7) , montre que l’image par φ de la droite x = 1 est une droite ne passant pas par O, donc l’assertion 10 d) est vraie et les trois autres fausses.

Nous avons les réponses :

Question 10 : a) Fausse b) Fausse c) Fausse d) Vraie e) Fausse

Vous connaissez dorénavant quelques règles de construction des Questionnements Automatisables, vous pouvez en faire vous même.

Bon travail.

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01 Un peu de logique :

Sophie, Anne-Marie et Christelle dans une même classe de terminale, ont chacune des amis dans une autre classe de terminale. Sachant que :

• Aucun ami de Sophie n’ignore le théorème de Pythagore.

• Aucun ami de Anne-Marie ne connaît le théorème de Pythagore.

• Tout ami de Christelle connaît le théorème de Pythagore.

Question n ^◦ 01 :

Nous pouvons en déduire que

a) Aucun ami de Christelle n’est ami d’Anne-Marie.

b) Pour être à la fois ami de Sophie et de Christelle, il ne faut pas connaître le théorème de Pythagore.

c) Pour être à la fois ami de Sophie et de Christelle, il ne faut pas connaître le théorème de Pythagore.

d) Tout ami de Anne-Marie ne connaît pas le théorème de Pythagore.

Encore un peu de logique :

Dans un QCM de contrôle continu donné dans une classe de terminale, il est précisé pour une question ayant quatre aﬃrmations notées (a ⁰ ), (b ⁰ ), (c ⁰ ) et (d ⁰ ) , qu’une seule de ces quatre aﬃrmations est exacte.

Un bon élève à remarqué (avec raison) que pour cette question :

• Si (b ⁰ ) est vraie alors (c ⁰ ) l’est aussi.

• Si (a ⁰ ) est vraie alors au moins l’une des aﬃrmations (b ⁰ ) ou (d ⁰ ) est vraie (et peut- être les deux).

• Enfin (d ⁰ ) est fausse si et seulement si (c ⁰ ) est vraie.

Question n ^◦ 02 :

Nous pouvons en déduire que

a) Il est possible que (d ⁰ ) soit vraie. b) (d ⁰ ) est fausse.

c) (c ⁰ ) est nécessairement faux. d) (a ⁰ ) est vraie.

(14)

02 Dans le plan aﬃne euclidien P rapporté au repère orthonormé Oxy, on donne les points A(2, 0) et B(0, m), où m est un paramètre réel non nul.

La droite perpendiculaire en A à la droite AB coupe l’axe Oy en C et la parallèle à l’axe Ox passant par B en D.

Question n ^◦ 01 :

Si nous associons au plan P le plan complexe alors l’aﬃxe du point A est z _A = 2 et celle du point B est z _B = m i.

a) < e z _D = < e z _B car la droite BD est parallèle à l’axe Ox.

b) z B − z A = i (z C − z A ) car l’angle ³ −→

AC, −→

AB

´

est droit.

c) z _D = m ² − 4

2 + m i. d) < e z _C = 0 et = m z _D = − m.

Question n ^◦ 02 :

Nous avons les relations

a) AC × AD = AB ² . b) AC ² + AB ² = BD ² .

c) AB × CD = BD × BC. d) CA × CD = AB ² .

Dans les deux questions suivantes, on suppose m = 4.

Question n ^◦ 03 :

Une équation de la droite CD est a) y = x

2 − 2. b) y = x

2 − 1.

Les coordonnées de C et D sont

c) C(0, − 1) et D(4, − 10). d) C(0, 1) et D(10, 4).

Question n ^◦ 04 :

D peut être considéré comme le barycentre des points A, B et C aﬀectés respectivement des coeﬃcients α, β et γ.

a) Les points A, C et D étant alignés, alors α, β et γ n’existent pas.

Dans le cas contraire, nous pouvons choisir

b) α = 5, β = 1, γ = − 4. c) α = 5, β = 0, γ = − 4. d) α = 2, β = 0, γ = 1.

Dans la question suivante, on suppose m quelconque, non nul.

Question n ^◦ 05 :

Soit I le point de concours des médianes du triangle ABC, ses coordonnées sont a)

µ 2

3 , m ² − 4 3m

¶

. b)

µ 1

3 , m ² − 4 3m

¶

.

(15)

L’ensemble des points I lorsque m varie dans R ^∗ est sur

c) une droite. d) un cercle.

Question 06 :

La translation t de vecteur −→ CA transforme le triangle CAB en un triangle AF E et le point I en un point J.

a) AF E est rectangle en A.

b) J est le point de concours (orthocentre) des hauteurs du triangle AF E.

c) La longueur du segment [IJ] est constante.

d) Le point J est situé sur un droite lorsque m décrit R ^∗ + .

03 Dans le plan aﬃne euclidien P , on considère le triangle ABC rectangle en A, tel que AC = 2 AB = 2 m. (m réel strictement positif).

Soit I (respectivement J ), le barycentre des points A, B et C, aﬀectés des coeﬃcients 2, − 2 et 1 (respectivement − 2, 3 et 3).

On note D le point défini par −−→

AD = −→

AB + −→

AC.

Question n ^◦ 01 :

a) Le quadrilatère ABDC est un carré car les diagonales AD et BC sont perpendicu- laires.

b) Le points de concours des droites AD et BC est l’isobarycentre des points A, B, C et D.

c) Les quatre points A, B, C et D sont cocycliques.

d) Le triangle BCD est rectangle en B.

Question n ^◦ 02 a) −→

CI = 2 −−→

DC. b) −→

AI = 2 −−→

BC.

c) −→ DI = 3 −→ AB. d) −→ AJ = 3

4 −−→ AD.

Question n ^◦ 03

a) La droite IB coupe le segment [AC] en son milieu.

b) Les droites IA et CJ sont parallèles.

c) Les droites IB et CJ sont parallèles. d) Les droites AD et CJ sont perpendic- ulaires.

Question n ^◦ 04 :

Nous associons au plan aﬃne P le plan complexe. Soit s la similitude définie par s : z −→ Z = a z + b ,

telle que s(B) = A et s(A) = I.

a) Les conditions données ne permettent pas de déterminer la similitude s car il manque

une donnée.

(16)

Si l’assertion a) est rejetée alors

b) a = 2 − 2 i. c) b = m a. d) s(D) = J.

Question n ^◦ 05 :

Soit Ω le point invariant de la similitude s.

a) Ω est l’intersection des médiatrices des segments [AB] et [AI ].

b) Les angles ³ −→ ΩB, −→ ΩA ´

et ³ −−→ ΩA, − ΩI → ´ sont égaux.

c) La droite ΩA est une bissectrice de l’angle ³ −−→

ΩB, − → ΩI

´ .

d) Si K est l’intersection des droites ΩB et AI alors le triangle AΩK est isocèle.

Question n ^◦ 06

L’ensemble E ₁ des points M tels que

4 ° ° ° 2 −−→ AM − 2 −−→ BM + −−→ CM ° ° ° = ° ° °− 2 −−→ AM + 3 −−→ BM + 3 −−→ CM ° ° ° est

a) la médiatrice du segment [AJ ]. b) la médiatrice du segment [JI ].

c) le cercle de diamètre AJ. d) le cercle de diamètre JI.

Question n ^◦ 07

L’ensemble E ₂ des points M tels que

2 AM ² − 2 BM ² + CM ² = − 5 m ² est

a) un cercle passant par C. b) inclus (strictement) dans E 1 . c) un cercle de centre I. d) une droite passant par J.

04 Le plan est rapporté au repère orthonor- mal Oxy (Unité = 1 cm). C ¹ ∪ C ³ est la courbe d’équation y = 1

x ( C 1 correspond à x > 0 et C ³ à x < 0) et C ² ∪ C ⁴ est la courbe d’équation y = − 1

x ( C 2 correspond à x > 0 et C 4 à x < 0)

On note C = C 1 ∪ C 2 ∪ C 3 ∪ C 4 .

...

y

...

o

...

x

...

− 2 2

A

B C

D

...

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QCM de MATHÉMATIQUES GÉOMÉTRIE - PROBABILITÉS

CONCOURS ENTRÉE À L’UNIVERSITÉ