[ Corrigé du baccalauréat STL Métropole juin 2001 \ Chimie de laboratoire et de procédés industriels
EXERCICE1 4 points
1. On a les neuf tirages suivants :
(1 ; 1), (1 ; 2), (1 ; 3), (2 ; 1), (2 ; 2), (2 ; 3), (3 ; 1), (3 ; 2), (3 ; 3).
2. a. X∈{1, 2, 3 , 4, 6, 9}
b. On a le tableau suivant :
X=xi 1 2 3 4 6 9
p(X=xi) 1 9
2 9
2 9
1 9
2 9
1 9 c. E(X)=1×1
9+2×2 9+3×2
9+4×1 9+6×2
9+9×1
9=1+4+6+4+12+9
9 =
36 9 =4.
EXERCICE2 5 points
1. On a|z1|2=¡
−p 2¢2
+¡p 2¢2
=2+2=4⇒ |z1| =2.
Doncz1=2 Ã
− p2
2 +i p2
2
!
=2 µ
cos3π
4 +i sin3π 4
¶ . Donc un argument dez1est3π
4 .
|z2|2=¡p 3¢2
+(1)2=3+1=4⇒ |z2| =2.
Doncz2=2 Ãp
3 2 +i1
2
!
=2³ cosπ
6+i sinπ 6
´ . Donc un argument dez2estπ
6.
2. a. On az1=2ei34π etz2=2eiπ6, doncz22=4eiπ3, donc par produitZ=8ei£34π+π3¤= 8ei1312π.
b. z2=p
3+i⇒z22=¡p 3+i¢2
=3−1+2ip
3=2+2ip 3 DoncZ=z1z22=¡
−p 2+ip
2¢ ¡ 2+2ip
3¢
= −2p 2−2p
6+i¡ 2p
2−2p 6¢
. c. D’après les deux derniers résultats :
Z=8ei1312π = −2p 2−2p
6+i¡ 2p
2−2p 6¢
⇐⇒ei1312π =−2p 2−2p
6 8 +i2p
2−2p 6
8 =
−p 2−p
6
4 +i
p2−p 6
4 =cos13π
12 +i sin13π
12 . En identifiant parties réelles et parties imaginaires, on obtient :
cos13π 12 =−p
2−p 6
4 sin13π 12 =
p2−p 6
4 .
PROBLÈME 11 points
1. a. On sait que lim
x→−∞ex=0.
Or e2x=(ex)2, donc lim
x→−∞e2x=0. Comme lim
x→−∞x= −∞, on a finalement
x→−∞lim f(x)= −∞.
Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels A. P. M. E. P.
b. Soitdla fonction définie surRpar :d(x)=f(x)−(x+2)=e2x−3ex. On a vu que lim
x→−∞e2x−3ex =0, ce qui signifie graphiquement que la droiteD d’équationy =x+2 est asymptote à la courbeC au voisinage de moins l’infini.
c. Il faut donc étudier le signe ded(x).
Ord(x)=e2x−3ex=ex(ex−3) qui est du signe de ex−3 car ex>0 quel que soit le réelx.
On a doncd(x)>0⇐⇒ ex−3>0⇐⇒ ex>3⇐⇒ x>ln 3 par croissance de la fonction logarithme népérien.
Conclusion : sur ] ln 3 ;+∞], la courbeC est au dessus de la droiteD.
On trouve de même que sur ]− ∞; ln 3[, la courbeC est au dessous de la droiteD.
Pourx =ln 3, la courbe et la droite ont un point commun d’ordonnée 2+ln 3.
2. Comme ex>0 quel que soit le réelxon peut le factoriser dans l’écriture de f(x) :
f(x)=ex×ex−3ex+x+2=ex µ
ex−3+ x ex + 2
ex
¶
. On sait que lim
x→+∞
x ex =0, que lim
x→+∞
2
ex =0 et que lim
x→+∞ex= +∞, d’où par somme et produit de limites :
xlim→+∞f(x)= +∞.
3. a. f somme de fonctions dérivables surRest dérivable sur cet intervalle et : f′(x)=2e2x−3ex+1.
b. Développons (2ex−1) (ex−1)=2e2x−2ex−ex+1=2e2x−3ex+1=f′(x).
On a doncf′(x)=0⇐⇒ (2ex−1) (ex−1)=0⇐⇒
½ 2ex−1 = 0 ex−1 = 0 ⇐⇒
½ 2ex = 1
ex = 1 ⇐⇒
½ ex = 12
ex = 1 ⇐⇒
½ x = ln12 x = ln 1 ⇐⇒
½ x = −ln 2
x = 0
La dérivée s’annule donc aux points d’abscisse−ln 2 et 0.
c. On obtient le signe def′(x), d’où les variations de f en construisant un tableau de signes :
x −∞ −ln 2 0 +∞
2ex−1 ex−1
f′(x)
f(x)
− 0 + +
− − 0 +
+ 0 − 0 +
+∞
−∞ 0
4. a. Une équation de la tangente est :y=f £ ln¡3
2
¢¤+f′£ ln¡3
2
¢¤ ¡x−ln¡3
2
¢¢. Orf£
ln¡3
2
¢¤=e2 ln¡32¢−3eln¡32¢+ln¡3
2
¢+2=eln¡32¢2−3eln¡32¢+ln¡3
2
¢+2=
¡3
2
¢2
−3¡3
2
¢+ln 3−ln 2+2=94−92+ln 3−ln 2+2=ln 3−ln 2−14. f′£
ln¡3
2
¢¤=2e2 ln¡32¢−3eln¡32¢+1=92−92+1=1.
Une équation deTest donc : y=x+ln 3−ln 2−14.
On remarqueD etT ont le même coefficient directeur : elles sont paral- lèles.
Métropole 2 juin 2001
Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels A. P. M. E. P.
b. Voir à la fin
c. On a vu que sur l’intervalle [0 ; ln 3] la fonction est positive, mais que la courbeCest en dessous de son asymptote ; donc l’aire, en unité d’aire, de la partie du plan limité par la courbeC, la droiteDet les droites d’équa- tionx=0 etx=ln 3 est égale à l’intégrale de la fonction−d(x) :
A= Zln 3
0
¡−e2x+3ex¢ dx Une primitive de e2xest1
2e2x, donc A=
·
−1
2e2x+3ex+x2 2 +2x
¸ln 3
0 = −1
2e2 ln 3+3eln 3+1
2e0−3e0= −1 2×9+ 9+1
2−3=2 (u. a.).
Une unité d’aire valant 4×4=16 cm2, on a :
A=16×2=32 cm2(ce que l’on vérifie approximativement sur la figure).
1 2
−1
−2
−1 1
−2
T D
C
Métropole 3 juin 2001
