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Durée de l’épreuve : 3 heures Coefficient : 4
EXERCICE1 4 points
Partie I
1. On considère la suite arithmétique (θn), de raisonπ
2 et de premier terme θ0=π
4.
Exprimerθn+1, en fonction deθn. 2. On considère la suite géométrique¡
ρn
¢de raison1
2et de premier termeρ0=8.
Exprimerρn+1en fonction deρn. Partie II
On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal³ O ;−→
u,−→ v´
(unité graphique : 1 cm).
On considère les nombres complexesz0,z1,· · ·,znde modules respectifsρ0,ρ1,· · ·,ρn, et d’argu- ments respectifsθ0,θ1,· · ·,θn.
On note alorsM0,M1,· · ·,Mnles points d’affixes respectivesz0,z1,· · ·,zn. 1. Reproduire et compléter le tableau suivant :
n 0 1 2 3
ρn 8
θn
π 4
2. En utilisant les résultats du tableau précédent, placer les pointsM0,M1,M2etM3sur la copie et tracer la ligne briséeM0M1M2M3.
EXERCICE2 5 points
1. Résoudre l’équation différentielle (E) :
4y′+5y=0 oùydésigne une fonction définie et dérivable surR.
2. On notef la solution de l’équation différentielle (E) vérifiant la condition initialef(0)=2.
a. Montrer alors en utilisant la question 1. quef est la fonction définie surRpar : f(x)=2e−54x.
b. Calculerf′(0).
c. Sur l’annexe 1 à rendre avec la copie, on a construit la courbeC représentative de la fonc- tionf sur l’intervalle [−0.5 ; 3]. Construire, sur la figure de l’annexe 1 la tangenteT à la courbeC au point A d’abscisse 0.
3. On noteD le domaine limité par l’axe des abscisses, la courbeC et les droites d’équations respectivesx=0 etx=2.
Le solide représenté ci-dessous est obtenu par rotation du domaine D autour de l’axe des abscisses.
x y
On noteV le volume, exprimé en unités de vo- lume, de ce solide.
CalculerV (on donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 10−1près).
On rappelle queV=π Z2
0 [f(x)]2dx.
PROBLÈME 11 points
I.On notegla fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par g(x)=2lnx
x +1.
1. a. Calculer la limite de la fonctiongen 0.
b. Calculer la limite de la fonctiongen+∞.
2. On désigne parg′la fonction dérivée de la fonctiongsur l’intervalle ]0 ;+∞[.
Calculerg′(x) et montrer que, pour tout nombre réelxde l’intervalle ]0 ;+∞[, g′(x)=2(1−lnx)
x2 .
3. Étudier le signe deg′(x), suivant les valeurs du nombre réelx.
Donner le tableau de variations de la fonctiongsur l’intervalle ]0 ;+∞[ (on indiquera la valeur exacte deg(e).
4. a. Montrer que l’équationg(x)=0 admet une unique solutionx0dans l’intervalle ]0 ;+∞[.
b. Déterminer la valeur du nombre réelx0arrondie au dixième.
c. Déduire de ce qui précède le signe deg(x), suivant les valeurs dex.
II.On notef la fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par f(x)=(lnx)2+x.
On désigne parC la courbe représentative de la fonctionf dans un repère orthonormal³ O ;→−
ı,−→
´ . Sur l’annexe 2, à rendre avec la copie, on a construit la courbeC sur l’intervalle ]0; 3].
1. a. Calculer la limite de la fonctionf en 0.
Interpréter graphiquement ce résultat.
Métropole 2 septembre 2007
b. Calculer la limite de la fonctionf en+∞.
2. On désigne parf′la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle ]0 ;+∞[. Calculer f′(x) et montrer que, pour tout nombre réelxde l’intervalle ]0 ;+∞[,
f′(x)=g(x).
3. a. Donner le tableau de variations de la fonctionf.
b. Calculer la valeur def(x0) arrondie au dixième (on utilisera pourx0la valeur 0,7).
4. a. Déterminer une équation de la tangenteT à la courbeC au point d’abscisse 1.
b. Étudier la position relative de la tangenteT et de la courbeC. c. Construire la droiteT sur la figure de l’annexe 2.
ANNEXE 1
1 2
−1
−1
−2 1 2 3
O A C
Métropole 4 septembre 2007
ANNEXE 2
1 2 3
1 2 3
O
C
