[ Baccalauréat STL Métropole juin 2005 \ Chimie de laboratoire et de procédés industriels
Calculatrice autorisée 3 heures
Durée de l’épreuve : 3 heures Coefficient : 4
EXERCICE1 5 points
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ 2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal³
O,−→ u,→−
v´
d’unité graphique 1 cm.
1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation suivante, en donnant les solutions sous forme algébrique :
z2+3z+3=0.
2. On considère les nombres complexes :z1= −3 2+
p3
2 i etz2=z1. a. Écrirez1sous forme trigonométrique.
b. Construire avec précision dans le repère³ O,−→
u,→− v
´, les points A et B d’af- fixes respectivesz1etz2.
On laissera apparents les traits de construction.
3. On appelle D le point d’affixez3=7 2−
p3
2 i et K le point d’affixez4=1.
a. Montrer que les points A, B et D appartiennent à un cercleC de centre K.
b. Montrer que le point K est le milieu du segment [AD].
c. Dans le repère³ O,−→
u,→− v´
placer les points K et D et tracer le cercleC. Déterminer la nature du triangle ABD.
EXERCICE2 4 points
Une urne contient trois boules indiscernables au toucher, numérotées respective- ment 1, 2 et 3.
Le jeu proposé est le suivant :
On verse d’abord 10 euros, puis on effectue trois tirages successifs d’une boule avec remise et on obtient ainsi un nombre à trois chiffres en notant dans l’ordre les trois numéros obtenus. Par exemple, si on tire successivement 2, 3 et 1 on obtient le nombre 231.
Si les trois chiffres sont identiques, on reçoit 25 euros. Si les trois chiffres sont tous différents, on reçoit 15 euros. Si la somme des trois chiffres vaut 7, on reçoit 13 euros.
Dans tous les autres cas, on ne reçoit rien.
1. En s’aidant d’un arbre comme ci-dessous, donner la liste des 27 tirages pos- sibles.
Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels A. P. M. E. P.
1
2
3
1
2
3
2. On appelleX la variable aléatoire qui, à chaque nombre à trois chiffres ob- tenu, associe le gain algébrique (c’est-à-dire la différence : somme reçue moins le versement initial).
a. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoireX.
b. Présenter dans un tableau la loi de probabilité de la variable aléatoireX. c. Calculer l’espérance mathématique E(X) de la variable aléatoireX.
PROBLÈME 11 points
Partie A Étude d’une fonction auxiliaireg
On considère la fonctiongdéfinie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par g(x)=lnx−2x2−1.
1. Soitg′la fonction dérivée de la fonctiong.
Calculerg′(x). Étudier le signe deg′(x) sur l’intervalle ]0 ;+∞[.
Dresser le tableau de variations de la fonctiongdans lequel on précisera la valeur exacte de l’extremum (aucune limite n’est demandée).
2. Déduire du1.que la fonctiongest négative sur l’intervalle ]0 ;+∞[.
Partie B Étude d’une fonction
On considère la fonctionf définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par
f(x)=1−2−lnx x .
On appelleCla courbe représentative de la fonctionf (dans un repère orthonormal
³O,−→ ı ,→−
´ d’unité graphique 2 cm.
1. a. Déterminer la limite de la fonction f en+∞
b. Déterminer la limite de la fonctionf en 0.
2. SoitDla droite d’équationy=1−2x.
a. Démontrer que la droiteDest asymptote à la courbeC. b. Étudier la position de la courbeC par rapport à la droiteD. 3. a. Soitf′la fonction dérivée de la fonctionf.
Démontrer que pour toutxde l’intervalle ]0 ;+∞[, f′(x)=g(x) x2 . b. En utilisant lapartie Adéduire le signe def′(x) sur I’intervalle ]0 ;+∞[ et
dresser le tableau de variations de la fonctionf.
Métropole 2 juin 2005
Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels A. P. M. E. P.
4. Tracer la droiteDet la courbeC dans le repère³ O,→−
ı ,−→
´.
Partie C Calcul d’une aire
On considère la fonctionhdéfinie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par
h(x)=1 2(lnx)2.
1. On désigne parh′la fonction dérivée de la fonctionh.
Calculerh′(x) pour tout réelxde l’intervalle ]0 ;+∞[.
2. On désigne parAla mesure, exprimée en cm2, de l’aire de la partie du plan comprise entre la droiteD, la courbeC et les droites d’équationsx=1 et x=e.
a. Hachurer sur le graphique la partie du plan définie ci-dessus.
b. Calculer la valeur exacte du nombre réelA.
Métropole 3 juin 2005
