[ Baccalauréat STL Métropole juin 2005 \ Physique de laboratoire et de procédés industriels
Calculatrice autorisée 3 heures
Durée de l’épreuve : 4 heures Coefficient : 4
EXERCICE1 5 points
Le plan P est rapporté à un repère orthonormal³ O,→−
u,−→ v´
d’unité graphique 4 cm.
1. a. Résoudre dans l’ensembleCdes nombres complexes l’équation.
z2−2zp
3+4=0.
Donner les solutions sous forme algébrique et sous forme trigonomé- trique.
b. Représenter dans le plan P les points A d’affixep
3−i et B d’affixep 3+i.
c. Démontrer que le triangle OAB est équilatéral.
2. On considère l’applicationRde P dans P qui à tout point M d’affixezassocie le pointM′d’affixez′telle quez′=eiπ4z.
a. Caractériser géométriquement l’applicationR.
b. Placer le point A′image du point A parR.
c. Calculer sous forme trigonométrique puis sous forme algébrique l’affixe du point A′.
d. En déduire les valeurs exactes de cos π
12 et sin π 12.
EXERCICE2 5 points
Soit l’équation différentielle :
y′′+104π2y=0.
oùyest une fonction de la variabletety′′sa derivée seconde, 1. Résoudre cette équation différentielle.
2. Le plan est rapporté à un repére orthonormal³ O,−→
ı ,→−
´.
Déterminer la fonction f solution de cette équation différentielle telle que :
• La courbe représentative def passe par le point A de coordonnées (0 ; 1)
• La tangente à cette courbe en A a pour coefficient directeur−100π.
3. Vérifier que pour tout réelt : f(t)=p 2³
100πt+π 4
´.
4. Déterminer la valeur moyenneµdef sur l’intervalle
· 0 ; 1
50
¸ .
5. Calculer la valeur efficace de la fonction f sur cet intervalle, c’est-à-dire le nombre réel positifIdéfini par :
I2=50 Z501
0 [f(t)]2dt.
Baccalauréat STL Physique de laboratoire et de procédés industriels
PROBLÈME 10 points
Partie A : Étude d’une fonction
On considère la fonctionf définie sur l’ensembleRdes nombres réels par
f(x)=2−x−2 5 ex.
On noteC sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal
³O,−→ ı ,→−
´d’unité graphique 2 cm.
1. a. Calculer la limite def(x) quandxtend vers+∞.
b. Calculer la limite def(x) quandxtend vers−∞.
c. En déduire l’équation d’une droiteDasymptote à la courbeC.
d. Calculer les coordonnées du point d’intersection A de la droiteDet de la courbeC.
e. Déterminer la position relative de la courbeC par rapport à la droiteD. 2. a. Calculer f′(x).
b. Étudier le signe def′(x) et en déduire le tableau de variations def surR. 3. Donner une équation de la tangenteT à la courbeC au point d’abscisse 0.
4. a. Montrer que l’équationf(x)=0 admet une solutionx0sur [2 ; 3].
b. Donner un encadrement dex0à 10−2près.
5. Tracer sur un même graphique la droiteDla tangenteT et la courbeC.
Partie B : Calcul d’aire
1. On considère la fonctiongdéfinie surRpar
g(x)=x−3 5 ex. a. Calculerg′(x).
b. En déduire une primitive def surR.
2. a. Hachurer sur le graphique le domaine délimité par la courbeC,l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équationx=2.
b. Calculer l’aire de la partie hachurée. Donner la valeur exacte en cm2, puis la valeur arrondie à 10−2près.
Métropole 2 juin 2005
