Problème 1 : Hydratation de la dimethylacroléine

Les sacs seront laissés devant le tableau. Conservez seulement de quoi écrire et une calculatrice : pas de téléphone !

Si vous ne comprenez pas une notation, une question, ou si vous pensez avoir découvert une erreur d’énoncé, signalez-le immédiatement.

Problème 1 : Hydratation de la dimethylacroléine

On étudie la réaction d’hydratation dans l’eau et en milieu acide de la diméthylacroléine (CH₃)₂C CH CHO, que l’on désignera (DMA) par la suite. Cette réaction produit le 3-methol 3 hydroxy butanal (CH₃)₂COH CH₂ CHO que l’on désignera par (P).

Le bilan de la réaction est :

DMA + H₂O P, (1)

catalysée par les ions H₃O⁺.

Dans tout le problème on désignera par « vitesse » la vitesse volumique.

I Réaction totale

Dans un premier temps l’espèce (P) est éliminée du mélange réactionnel dès sa formation et la réaction de disparition de (DMA) est totale selon :

DMA + H₂O P. (2)

On suppose qu’elle est descriptible par une loi de vitesse caractérisée par une constante de vitessektet un ordre partiel par rapport à la (DMA) notéα.

On mesure l’évolution de la concentration en[DMA]en fonction du temps. Les résul- tats sont donnés sur la figure ci-contre.

I.1. Justifier en utilisant ces mesures que l’ordre partielαest non nul.

I.2. (a) Établir la loi d’évolution de [DMA] en fonction du temps pour un ordreα = 1. On fera apparaître la concentration ini- tiale[DMA]notéec0. Quelle est dans ce cas la dimension de la constantekt?

(b) Même questions pour un ordre α= 2.

I.3. (a) Lire sur le graphique la vitesse initiale de disparition de (DMA) (b) Lire également le temps de demi-

réaction.

0 50 100 150 200 250 300

0 5·10⁻² 0,1 0,15

t(h) [DMA](mol·L−1)

Fig. 1 : Évolution de la concentration en DMA en fonction du temps. Le produit P est éliminé dès qu’il est formé.

I.4. On représente ci-contre l’évolution de ln(c0/[DMA])en fonction du temps.

(a) En déduire l’ordreαainsi que la valeur de la constantekt.

(b) Exprimer le temps de demi-réaction en fonc- tion entre autres dektet calculer sa valeur.

Commenter.

I.5. On suppose dans cette question qu’un expéri- mentateur a émis l’hypothèse, au vu des mesures de la figure 1 que l’ordreαvaut2.

(a) Quelle valeur du temps de demi-réaction aurait-il pu calculer à l’aide de la réponse à la questionI.3a? Commenter.

(b) Proposer l’expression d’une fonction de [DMA] dont l’évolution temporelle aurait été linéaire pour un ordreα= 2. Représen- ter l’allure de ce qu’il aurait observé s’il avait tracé cette fonction du temps compte-tenu de l’ordreαdéterminé à la questionI.4a.

0 50 100 150 200 250 300

0 1 2 3 4

t(h) ln(c0/[DMA])

Fig. 2 : Évolution du logarithme de la concentra- tion en DMA en fonction du temps. Le produit P est éliminé dès qu’il est formé.

II Réalisation d’un équilibre

Dans cette partie, on n’élimine plus le produit (P) du milieu réactionnel : on peut donc observer la réaction inverse de formation de (DMA) selon :

P DMA + H₂O. (3)

On admet qu’elle est descriptible par une loi cinétique d’ordre notéβpar rapport à (P).

On mesure l’évolution de la concentration en (P) en fonction du temps pour différentes conditions expéri- mentales, rassemblées dans la table 1.

Exploitation qualitative des mesures On répondra aux questions suivantes en utilisant certaines des don- nées de la table. Toutes ne sont pas nécessairement utiles. Aucun calcul n’est demandé dans cette sous- section.

II.1. (a) Justifier à l’aide des données de la table, que l’évolution de la concentration[P]est bien due aux deux réactions : directe 2 et indirecte 3.

(b) Justifier que les ions H⁺jouent un rôle de catalyseur.

II.2. On notekla constante de vitesse de la réaction directe 2 etk⁰celle de la réaction indirecte 3.

(a) Établir l’expression de la vitesse de formation de P à l’aide des constantes de vitessekietk_i⁰, des concentrations[DMA]et[P]et des ordresαetβ. L’indicei = 1,2,3désigne les conditions expérimentales des tableaux1,2,3qui peuvent faire varier les valeurs des constantes de vitesse.

Tableau 1 Tableau 2 Tableau 3

températureT =298 K T =298 K T =308 K

conditions initiales conditions initiales conditions initiales [DMA]₀₁=1,7·10⁻¹mol·L⁻¹ [DMA]₀₂=1,7·10⁻¹mol·L⁻¹ [DMA]₀₃=1,1·10⁻¹mol·L⁻¹

[H⁺]₀₁=1,05 mol·L⁻¹ [H⁺]₀₂=1,3·10⁻¹mol·L⁻¹ [H⁺]₀₃=5,9·10⁻¹mol·L⁻¹ [P]₀=0 mol·L⁻¹ [P]₀=0 mol·L⁻¹ [P]₀=0 mol·L⁻¹ t(h) [P](mol·L⁻¹) t(h) [P](mol·L⁻¹) t(h) [P](mol·L⁻¹)

0 0 0 0 0 0

4,64 0,0100 17,63 0,0050 2,46 0,0050

10,72 0,0200 37,46 0,0100 5,54 0,0100

19,55 0,0300 60,12 0,0150 11,80 0,0170

26,10 0,0350 86,54 0,0200 15,90 0,0200

36,00 0,0400 118,24 0,0250 29,10 0,0250

56,60 0,0450 157,86 0,0300 69,20 0,0275

83,30 0,0470 103,00 0,0276

181,00 0,0477 166,00 0,0276

210,00 0,0477

Tab. 1 : Évolution de la concentration en (P) au cours du temps pour différentes conditions expérimentales.

Les conditions initiales en (DMA) et H⁺dans le tableau 1 sont les mêmes que pour la courbe 1.

(b) En déduire une expression de la vitesse initiale de formation de (P).

(c) Déterminer de même une expression reliant, pour touti = 1,2,3les constanteskietk_i⁰et les concentrations en (DMA) et (P) présentes à l’équilibre, qu’on désignera avec l’indiceeq. Exploitation quantitative des mesures On cherche à vérifier que l’ordre partiel par rapport à P est 1.

L’ordre partielαa toujours la valeur déterminée dans la Section I.

II.3. (a) Déduire de la réponse à la questionII.2b, en utilisant les mesures de la table 1, les valeurs des constanteskipouri= 1,2,3. Commenter.

(b) En déduire, en utilisant les mesures de la table 1, les valeurs des constantesk_i⁰pouri = 1,3si l’ordre partielβvaut1.

II.4. Déterminer, toujours pourβ= 1, l’expression de la concentration[P]en fonction du temps à l’aide des constanteskietk_i⁰et de[DMA]_0iet en déduire l’expression du temps de demi-réaction en fonction des constanteskietk_i⁰. Vérifier l’accord avec les mesures.

II.5. Les constantes de vitesseskietk⁰_is’expriment à l’aide de la concentration[H⁺]_0ien ions H⁺, constante, selon :

ki=k0[H⁺]^γ_0i k⁰_i=k₀⁰[H⁺]^γ_0iavec :i= 1,2,3 (4) avecγl’ordre partiel par rapport au catalyseur[H⁺], commun pour les réactions directe et indirecte, et k0qui ne varie qu’avec la température.

Déterminer, à l’aide des mesures, les valeurs deγ,k0etk⁰₀.

II.6. (a) Rappeler l’expression de la variation d’une constante de vitessekavec la températureTà l’aide de l’énergie d’activationEade la réaction considérée constante.

(b) Déduire des mesures les énergies d’activation des réaction directe (2) et indirecte (3).

Problème 2 : Transferts de puissance

On étudie le transfert de puissance électrique entre un générateur et différents dipôles.

Dans tout le problème on veillera à utiliser efficacement des schémas de circuits électriques et de caractéris- tiques statiques pour justifier les réponses apportées.

I Alimentation d’un dipôle résistif

On utilise un générateur de tension linéaire de force électromo- triceEet de résistance interneR_Epour alimenter un résistor de résistanceRcomme représenté sur la figure ci-contre.

I.1. Déterminer la tensionURaux bornes du résistorRet en dé- duire la puissanceP_Rreçue par le résistorRet la puissance PEfournie par le générateur idéal de tension.

E

R E

R U _R

I.2. Dans cette questionEetREsont fixées maisRpeut varier.

(a) Pour quelle valeur deRle rapportη=PR/PEest-il maximal ? Quelle est alors la valeur de la puissanceP_Rcorrespondante ?

(b) Pour quelle valeur deRla puissancePRest-elle maximale ? Quelle est alors l’expression de ce maximum et la valeur deηcorrespondante ?

I.3. Dans cette questionE,REetRsont désormais fixées, avecR6=RE. On souhaite que la tension aux bornes deRsoitE/2. On envisage de rajouter une résistance quelconqueRXdans le circuit.

(a) La résistanceRXest branchée en série avec les trois dipôles précédents. Déterminer l’expression de la tensionURaux bornes deR.

(b) Même question siRXest branchée en parallèle aux bornes deR.

(c) Même question siRXest branchée en parallèle aux bornes deRE.

(d) On aR= 4RE. Quelle valeur choisir pourRXet où la brancher pour avoirUR=E/2? Calculer dans ce cas la puissance reçue parR.

(e) Mêmes questions pourR=R_E/4. Commenter.

I.4. On modélise un ohmmètre comme un dipôle formé de l’asso- ciation parallèle d’un générateur idéal de courant d’intensité Iet d’un voltmètre idéal comme représenté ci-contre.

Dans cette question, le résistorRest débranché de l’associa- tion série du générateurEet du résistorRE.

(a) Quelle tension mesure le voltmètre quand on branche le résistorRaux bornesAetBde l’ohmmètre, siR=10 Ω etI=10 mA.

(b) On branche désormais l’ohmmetre aux bornes de l’asso- ciation série du générateurEet du résistorRE. Quelle tension mesure le voltmètre siRE=10 Ω,I=10 mA et E =2,0 V. Quelle sera alors l’erreur sur la valeur de la résistance affichée par l’ohmmetre ?

I

V V A

B

(c) Proposer une méthode de mesure de la résistanceREsans ohmmètre, en utilisant par exemple un voltmètre et une résistance variableRX. On produira impérativement un schéma du montage réalisé.

II Linéarité de résistance au point de Wheatstone

Pour vérifier que la résistanceRne varie pas en fonction de la tension qui lui est appliquée, on effectue sa mesure en utilisant le pont de Wheatstone représenté sur la figure ci-contre. Les ré- sistancesR0et10R0sont fixes, avecR0=1,00 kΩ, la résistance RX est variable et on cherche à déterminer la valeur deR. Le générateur de tension et le voltmètre sont idéaux.

II.1. Dans cette première question, on aE≡E0=10 V.

(a) Établir l’expression de la tensionUABen fonction de E0, deR0,RXetR.

(b) On observe queUABest nulle (à la précision du volt- mètre) pourRX =102(1)Ω. En déduire la valeur de R.

R _X R

R ₀ 10R ₀

V A

B

E

II.2. Sans changer aucun des résistors, on augmente la valeur deEjusqu’à 10E0. On mesure alorsUAB= E0/10.

(a) On suppose que les résistancesRX,R0et10R0n’ont pas changé. En déduire la valeur deRdans ces conditions.

(b) On fait l’hypothèse que la caractéristique statique du résistor notéRse met sous la forme :

I=αU+βU³. (5)

Déterminer les valeurs deαetβ.

III Alimentation d’un moteur de trottinette électrique

On modélise le moteur d’une trottinette électriqueⁱcomme un dipôle passif symétrique dont la caractéristique, en convention récepteur, est donnée ci-contre (on le représentera avec le sym- boleM) dans les schémas.

Ce moteur est alimenté en branchant à ses bornes l’association série d’un générateur idéal de force électromotriceEet d’un ré- sistor de résistanceREcomme à la Section I.

u i

−U

U

III.1. On observe que le courant dans le moteur devient non nul quand la force électromotriceEatteint la valeur deE_min = 10 V. En déduire la valeur deUmpuis, en admettant queUmreste constant, l’expression de l’intensité du courant traversant le moteur quandEest supérieure àEmin.

III.2. (a) En déduire la valeur deE, notéeE1pour que le moteur reçoive une puissance deP_M=200 W si RE=1 Ω.

(b) Question subsidiaire, à rédiger très succinctement, ne pas y passer plus d’une minute…Justifier l’ordre de grandeur de cette valeur de puissance pour une ascension de la rue Saint Jacques.

III.3. Pour réchauffer ses mains durant l’hiver, le trottineur installe un radiateur d’appoint sur le guidon, qu’on peut modéliser comme un résistorRrplacé en parallèle du moteur sur le circuit précédent. Quelle doit être la valeur deRrpour qu’il dissipe une puissance Joule dePc=100 W si on conserveE=E1? Quelle sera alors la puissance consommée par le moteur. Calculer la somme de ces deux puissances et commenter.

iCette modélisation est pertinente pour les moteurs dits « sans balais » qui équipent ces trottinettes si l’on ne s’intéresse qu’à l’extérieur du moteur, en régime de fonctionnement.

Exercice 1 : Dissociation du phosgène

On considère l’équilibre, en phase gazeuse, de dissociation du phosgène COCl_2(g)en monoxyde de carbone et dichlore gazeux selon :

COCl_2(g) CO_(g)+ Cl_2(g). (6)

Données : Constante des gaz parfaitsR=8,314 J·mol⁻¹·K⁻¹.

1. On étudie la dissociation d’un nombren0de moles initial de COCl₂. On définit le coefficient de disso- ciationαcomme le quotient du nombre de moles de CO à l’équilibre, notén_CO,eqsurn0:

α≡n_CO,eq n0

. (7)

Dans cette question la réaction s’effectue à pression totale constanteP.

(a) Établir l’expression du quotient de réaction en fonction deα,PetP^◦=1 bar.

(b) On mesure, àT0=800 K un taux de dissociationα=0,75 pourP=P^◦. En déduire la valeur de la constante de réaction à cette température, notéeK(T0).

(c) Comment doit-on choisirPpour dissocier 90% de COCl₂à cette température ?

2. La réaction s’effectue désormais dans un volumeV0constant, à la températureT0. On introduit une quantitén0de COCl₂telle que la pression initiale estP=Pi.

(a) Calculer le taux de dissociationαpourPi= 2P^◦.

(b) Calculer la valeur dePipour que le taux de dissociation soit 50%.

(c) Déterminer une approximation deαen fonction dePi/P^◦etKquandαtend vers1. En déduire, dans ce régime quelle doit être la variation relative dePipour diviser1−αpar 2.

Correction du problème 1

I Réaction totale

I.1. La vitesse de disparition n’est pas constante, l’ordreαde la cinétique ne peut donc pas être nul.

I.2. (a) Comme établi en cours on a, pourα= 1:

[DMA] =c0e^−ktt, (8)

la dimension dektest l’inverse d’un temps, elle s’exprime en mol·s⁻¹. (b) De même, pourα= 2, on a :

1 [DMA]− 1

c0

=ktt, (9)

la dimension dektest alors l’inverse du produit d’une concentration et d’un temps, elle s’exprime en mol⁻¹·L·s⁻¹.

I.3. (a) La mesure de la pente à l’origine donne la vitesse de disparitionvd: vd=−

d[DMA]

dt

t=0

=2,3·10⁻³mol·L⁻¹·h⁻¹. (10) (b) La concentration initiale a été divisée par2pourt≡τ_1/2'50 h.

I.4. (a) L’expression (8) assure que ln(c0/[DMA]) =ktt. Le caractère linéaire de la courbe tracée sur la figure 2 permet donc de conclure queα= 1. La mesure de la pente donne :

kt=1,4·10⁻²h⁻¹. (11) (b) L’expression (8) donne :

τ1/2=ln(2) kt

=49,5 h, (12)

en accord avec la valeur lue à la questionI.3b.

I.5. (a) Pour une cinétique d’ordre2, la vitesse aurait permis de calculer la constante de vitesse selon :

kt= (

d[DMA]

dt )0

[DMA]²₀ =8,0·10⁻²L·mol⁻¹·h⁻¹. (13) L’expression (9) donne alors :

τ1/2= 1 c0kt

=73,5 h, (14)

significativement différent des 50 h observées.

(b) L’expression (9) assure qu’il aurait fallu tracer1/[DMA]en fonction du temps pour obtenir une droite si l’ordre avait étéα= 2. Avecα= 1on aurait donc en fait tracé :

1

[DMA]=e^ktt c0

, qui est est une exponentielle croissante.

II Réalisation d’un équilibre

Exploitation qualitative des mesures

II.1. (a) Dans tous les cas, la valeur asymptotique, dans un temps long devant le temps caractéristique de la partie précédente, de la concentration[P]est toujours significativement inférieure à la concen- tration initiale en[DMA]. Il existe donc un processus qui limite la formation de[P].

(b) En comparant le Tableau 1 et le Tableau 2, on constate qu’on obtient environ deux fois moins de[P]en un temps de l’ordre de 80 h quand la concentration[H⁺]passe de 1,05 mol·L⁻¹ à 1,3·10⁻¹mol·L⁻¹. Les ions[H⁺]jouent donc un rôle sur les constantes de vitesse alors qu’il n’interviennent pas dans le bilan : ce sont des catalyseurs.

II.2. (a) On somme les vitesses des réactions (1) et (2) : d[P]

dt ⁱ=ki[DMA]^α−k⁰_i[P]^β. (15) (b) A l’instant initial, la concentration en P est nulle et on a :

d[P]

dt ⁰ⁱ=ki[DMA]_0i. (16)

(c) Au bout d’un temps long, les concentrations n’évoluent plus et on a donc : 0 = d[P]

dt ⁱ=ki[DMA]^α_eq−k⁰_i[P]^β_eq. (17) Exploitation quantitative des mesures

II.3. (a) On lit sur le tableau les valeurs initiales des vitesses : d[P]

dt ⁰¹=2,16·10⁻³mol·L⁻¹·h⁻¹ d[P]

dt ⁰²=2,84·10⁻⁴mol·L⁻¹·h⁻¹ d[P]

dt ⁰³=2,03·10⁻²mol·L⁻¹·h⁻¹. (18)

On observe bien, en comparant les mesures des tableaux 1 et 2 que la vitesse varie avec la concen- tration en ions H⁺quand celle en DMA reste constante.

Pour un ordreα= 1on en déduit :

ki= d[P]

dt ⁰¹

[DMA0i]→k1=1,27·10⁻²h⁻¹ k2=1,67·10⁻³h⁻¹ k3=1,84·10⁻²h⁻¹ (19) (b) On utilise les valeurs asymptotiques des tableaux 1 et 3 pour déterminer les valeurs desk⁰_i. On a

en effet, d’après l’équation (17) : k⁰_i=ki

[DMA]^α_eq [P]^βeq

=ki

[DMA]^α_eq [P]^βeq

=ki

c0−[P]eqα

[P]^βeq

=ki

c0−[P]eq [P]eq

k₁⁰ =3,2·10⁻²h⁻¹ k₃⁰ =5,49·10⁻²h⁻¹. (20) On ne peut cependant pas calculer la valeur de la constantek₂⁰ car on n’est certain d’avoir atteint les conditions asymptotiques.

II.4. Un bilan de matière montre immédiatement que[DMA] =c0−[P]. L’équation différentielle (15) de- vient alors :

d[P]

dt =k[DMA]−k⁰[P] =kc0− k+k⁰ [P],

de la forme canonique avec la valeur asymptotiquekc0/(k+k⁰). L’unique solution vérifiant[P](0) = 0 est alors :

[P] = kc0

k+k⁰

1−e^−(k+k0)t

. (21)

Le temps de demi-réactionτ1

2,test donc tel que : 1−e^−(ki+k

0 i)τ1

2,i =1

2 → ln(2) ki+k_i⁰ →τ1

2,1=15,5 h τ1

2,3=9,5 h, (22)

compatibles avec les valeurs des tableaux 1 (entre 10,72 h et 19,55 h) et 2 (entre 5,54 h et 11,80 h) pour l’instant où[P] = [P]_eq/2.

II.5. On a :

ln(ki) =ln(k0) +γln([H⁺]_0i) ln(k⁰_i) =ln(k₀⁰) +γln([H⁺]_0i) (23) Les valeurs dekdes tableaux 1 et 2 permettent de calculer :

γ= ln(k1/k2)

ln([H⁺01]/ln([H⁺02]))=0,97'1.

ln(k0(298 K)) = ln(k1)/ln([H⁺01])−ln(k2)/ln([H⁺02]) 1/ln([H⁺01])−1/ln([H⁺02])

→k0(298 K) =1,21·10⁻²L·mol⁻¹·h⁻¹. (24) La valeur dek⁰du tableau 1 donne alors :

k⁰₀(298 K) = k₁⁰

[H⁺]₀₁ =3,04·10⁻²L·mol⁻¹·h⁻¹. (25) II.6. (a) On a :

d ln(k) dT = Ea

RT². (26)

(b) La comparaison des mesures deketk⁰des tableaux 1 et 3 permet de calculer les énergies d’acti- vation correspondantesEaetE_a⁰. On calcule tout d’abord les valeurs dek0etk₀⁰ à 308 K :

k0(308 K) = k3

[H⁺]₀₃ =3,12·10⁻²L·mol⁻¹·h⁻¹ k⁰₀(308 K) = k⁰₃

[H⁺]₀₃ =9,3·10⁻²L·mol⁻¹·h⁻¹. On en déduit :

Ea

R =ln(k0(T3)/k0(T1)) 1/T1−1/T3

→Ea'RT²ln(k3/k1)

∆T =72 kJ·mol⁻¹ E_a⁰ 'RT²ln(k⁰₃/k⁰₁)

∆T =40 kJ·mol⁻¹.

Correction du problème 2

I Alimentation d’un dipôle résistif

I.1. Un pont diviseur de tension donne :

UR= RE R+RE

→ PR=U_R²

R = E²R

(R+RE)² (27)

Pour la puissance fournie par le générateur, on calcule le courantIqu’il fournit, en convention généra- teur :

I= E R+RE

→ P_E=EI= E² R+RE

. (28)

I.2. (a) On calcule :

η= PR

P_E = R R+RE

= 1− RE

R+RE

, (29)

maximal en1pourRRE. On a alorsP_R=E²/Rqui est d’autant plus faible queRest élevé.

(b) Une rapide étude de fonction assure quePRest maximale pourR=REpour laquelle : P_R,max= E²

4R_E = 2P_E→η= 1

2. (30)

I.3. (a) On aU_R=ER/(R+R_E+R_X).

(b) L’association parallèle deRetRXa une résistance deRRX/(R+RX). On a donc : UR= ERRX/(R+RX)

RE+RRX/(R+RX). (31) (c) De même :

UR= ER

R+RERX/(RE+RX). (32) (d) On auraUR=E/2si on réalise un pont diviseur de tension entre deux résistances égales. En l’ab- sence deRXon aR > REon doit donc « diminuer » cette résistance en lui ajoutant la résistance RXen parallèle telle que :RRX/(R+RX) =RE, soit :

4RERX

4RE+RX

=RE→RX=4RE

3 . (33)

La puissance reçue parRest alors : PR= U_R²

R = E² 4R= E²

16RE

. (34)

Notons qu’on peut également rajouter une résistance égale à3REen série avecREetR. La puis- sance reçue parRne sera pas changée mais la celle fournie par le générateur sera inférieure car la résistance de l’ensemble sera supérieure au cas où on a rajoutéR_Xen parallèle àR.

(e) On doit maintenant « diminuer » la résistanceREen lui ajoutant une résistanceRXen parallèle telle queR_ER_X/(R_E+R_X) =Rsoit :

RERX

RE+RX

=R=RE

4 →RX=RE

3 . (35)

La puissance reçue parRest alors :

P_R=U_R² R =E²

4R= E² RE

. (36)

Notons que commeREreprésente la résistance interne d’un générateur, il est peu probable qu’il s’agisse d’un résistor physique aux bornes desquelles on puisse brancherR_X.

I.4. Le voltmètre étant idéal, aucun courant ne le traverse.

(a) Le résistor est parcouru par le courantI, la tension à ses bornes est doncRI = 1,0·10⁻¹V.

(b) Le générateur de courant envoie toujours le même courant Idans le résistorR_Emais le voltmètre mesure désormais la tensionE+REI(si les polarités de l’ohmmètre et du générateur sont les mêmes comme sur la figure ci-contre).

On lit donc :

U=E+REI=2,1 V.

L’erreur est donc de 2000%. Signalons que si l’ohmmètre est branché en sens inverse, on mesureE−REI=1,9 V, soit une erreur de de 1800%.

I

V V A

B E

I R

(c) Comme vu en TP, il est préférable d’utiliser une résistance variableRXbranchée en parallèle de l’association série deEetRE. Quand la tension à ses bornes estE/2, un pont diviseur de tension assure queRX=RE.

II Linéarité de résistance au pont de Wheatstone

II.1. (a) Des ponts diviseurs de tension assurent que la tension aux bornes deR(resp.R0) estRE/(R+ RX)(resp.ER0/11R0). On a donc :

UAB

E = R

R+RX

− 1

11. (37)

(b) On a, quandUAB= 0: R R+RX

= 1

11→R=RX

10 =10,2(1)Ω. (38)

(a)

(b) L’équation (37) donne maintenant : R

R+RX

− 1

11=E0/10 10E0

= 1 100 → R

RX

=1,12·10⁻²→R=11,4(1)Ω. (39) (c) La variation de la résistance avec la tension étant faible, on peut supposer que le terme enβU³n’est qu’une faible correction devant celui enαU. On a donc enI'αUsoitα= 1/RavecR'10,2 Ω.

On détermineβà l’aide de la valeur de la résistance pourE=10E0. On a en effet alors : I= 10E0

R(10E0) =10E0

R0

+β(10E0)³→β= R0−R

100RR0E²₀ =−1,0·10⁻⁶Ω⁻¹·V⁻². (40) On a donc :

I=9,8·10⁻²U−1·10⁻⁶U³→ 1

R=0,1−1,0·10⁻⁶U². (41) Sans l’approximation précédente sur la valeur deα, la résolution du système linéaire de deux équations à deux inconnuesαetβdonne, numériquement :

α=9,81·10⁻² β=−1,04·10⁻⁶. (42)

III Alimentation d’un moteur de trottinette électrique

III.1. Le générateur linéaire est caractérisé par une force électromotriceEet un courant électromoteurη= E/RE.

Quand il est branché sur le moteur, le point de fonctionne- ment est l’intersection de la caractéristique en convention gé- nérateur du générateur et de la caractéristique en convention récepteur du moteur. On obtient la figure ci-contre.

Le courant sera donc non nul quandE>UmsoitUm=10 V.

u i

−U

U

η

E

détermine géométriquement que le courant le parcourant vérifie : I

η =E−Um

E →REI

E =E−Um

E →I=E−Um

RE

. (43)

III.2. (a) La puissance reçue par le moteur estP_M =UmI. On aura donc : 200 W=P_M =UmI=Um(E−Um)

RE

→E=30 V. (44)

(b) On effectue un bilan mécanique. Pour une ascension à la vitessev'2 km·h⁻¹d’une masse de m=90 kg sur une pente de 65% soitα=33°, on calcule :

P_M=mgsin(α)v=2,7·10²W. (45)

III.3. La tension aux bornes du moteur, qui est aussi celle aux bornes deRr, est toujoursUm. La puissance reçue parRrest donc :

Pc=U_m² Rr

→Rr= U_m² Pc

=1,0 Ω. (46)

Des transformations Thévenin-Norton montrent que l’associationRr//(E−RE)est un générateur de force électromotriceEeq = ERr/(RE+Rr) =15 V et de résistance interneReq =RERr/(RE+ Rr) =0,5 Ω. Les calculs précédents assurent alors que la puissance reçue par le moteur sera :

P_R=Um(Eeq−Um) Req

=100 W. (47)

On constate ici que la somme des puissances reçues par le moteur et le chauffage reste égale à la puis- sance reçue par le moteur seul précédemment. Il s’agit cependant d’un cas particulier. En particulier si la résistanceRrest suffisamment faible, la tensionEeqsera trop faible pour faire circuler un courant dans le moteur et la puissance qu’il recevra sera nulle. Par ailleurs le circuit se ramènera alors à un simple diviseur de courant et les résultats de la première partie assureront que la puissance reçue par Rrsera d’autant plus faible queRrest faible. La puissance totale ne sera donc pas constante.

Correction de l’exercice 1

1. (a) On dresse le tableau d’avancement suivant :

COCl_2(g) CO_(g) + Cl_2(g) gaz

n0 0 0 n0

n0(1−α) αn0 αn0 n0(1 +α) .

Pour chaque espèce gazeusei, l’activité estniP/ngazP^◦. On calcule donc :

Q= P P^◦

(αn0/n0(1 +α))²

(n0(1−α)/n0(1 +α))= P α²

P^◦(1−α)(1 +α) = α²P

P^◦(1−α²). (48) (b) À l’équilibre, on aQ=K, soit :

K(T0) = α²

1−α² =1,29. (49)

(c) Pour avoirα⁰=0,9, on doit avoir :

P=P^◦K(T0)1−α⁰²

α⁰² =0,3 bar. (50)

2. La loi des gaz parfaits s’écrit, pour l’ensemble des gaz :

Pi=n0RT0

V0

P= n0(1 +α)RT0

V0

→ P Pi

= 1 +α. (51)

(a) On calcule la nouvelle expression du quotient de réaction : Q= α²P

P^◦(1−α²)=α²(1 +α)Pi

P^◦(1−α²) = α²Pi

P^◦(1−α). (52) À l’équilibre, on aura donc :

K(T0) =Q→ α²

1−α= K(T0)P^◦ Pi

→α=0,54, (53)

en résolvant l’équation polynomiale de degré2enα.

(b) Pour avoirα=50%, il faudra avoir :

Pi=P^◦K(T0)(1−α)

α² =2,58 bar. (54)

(c) Pourα→1, on a :

1−α' Pi

K(T0)P^◦. (55)

Il faut donc dans ce régime diminuerPide 50% pour diviser1−αpar 2.