S P E C I A
L I T E
Session 2018
MATHÉMATIQUES - Série ES
ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ
SUJET
Durée de l’épreuve : 3 heures - coefficient : 7
L’usage de la calculatrice est autorisé mais elle doit être en mode examen.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Le candidat s’assurera que le sujet est complet, qu’il correspond bien à sa série et à son choix d’ensei- gnement (obligatoire ou spécialité).
Ce sujet comporte 7 pages numérotées de 1/7 à 7/7, y compris celle-ci.
Tournez la page S.V.P.
E
XERCICE1 4 points
Commun à tous les candidats
Adeline vient de gagner au loto une somme de 20 000 euros qu’elle veut placer. Sa banque lui propose de choisir entre deux placements.
— Placement A : Le capital augmente chaque année de 4 %.
— placement B : Le capital augmente chaque année de 2,5 % et une prime annuelle fixe de 330 euros est versée à la fin de chaque année et s’ajoute au capital.
On note :
— anle capital, en euro, acquis au bout denannées si Adeline choisit le placement A ;
— bnle capital, en euro, acquis au bout denannées si Adeline choisit le placement B.
On a donca0=b0=20 000 et, pour tout entier natureln,
an+1=1, 04an et bn+1=1, 025bn+330.
1. Dans cette question, on suppose qu’Adeline choisit le placement A.
a. Calculer la valeur, arrondie à l’euro, du capital disponible au bout de 10 ans.
b. Déterminer le pourcentage d’augmentation du capital entre le capital de départ et celui obtenu au bout de 10 ans. Arrondir le résultat à 1 %.
2. Dans cette question, on suppose qu’Adeline choisit le placement B.
On considère la suite (un) définie pour tout entier naturelnpar un=13 200+bn.
a. Montrer que la suite (un) est géométrique de raison 1, 025 et calculer son premier termeu0. b. Donner l’expression deunen fonction den.
c. En déduire que, pour tout entier natureln, on a
bn=33 200×1, 025n−13 200.
d. Déterminer au bout de combien d’années le capital disponible devient supérieur à 40 000 euros.
3. On considère l’algorithme suivant :
Algorithm 1 A←20 000 B←20 000 N ←0
Tant queA≤Bfaire A ← 1, 04×A B ← 1, 025×B+330 N ← N+1
Fin Tant que AfficherN
a. Le tableau ci-dessous traduit l’exécution pas à pas de l’algorithme.
Recopier et compléter ce tableau en ajoutant autant de colonnes que nécessaire. Les valeurs deA et deBseront arrondies à l’unité.
Valeur deA 20 000 . . . . Valeur deB 20 000 . . . . Valeur deN 0 . . . . ConditionA⩽B vraie . . . . b. Donner la valeur affichée en sortie par cet algorithme et interpréter cette valeur dans le contexte
de l’exercice.
Lycée Victor Duruy - 75007 2/7
Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième
Le comité d’entreprise de la société JAMUL, située à Evian, propose aux employés une excursion d’une journée à Lausanne. Le trajet Evian-Lausanne peut être effectué en bateau ou par le train touristique qui fait le tour du lac Léman. Chaque employé peut choisir son mode de transport à l’aller comme au retour.
• À l’aller, le bateau est choisi dans 65 % des cas.
• Lorsque le bateau est choisi à l’aller, il l’est également pour le retour 9 fois sur 10.
• Lorsque le train a été choisi à l’aller, le bateau est préféré pour le retour dans 70 % des cas.
On interroge au hasard un employé. On considère les événements suivants :
• A: « le client choisit de faire l’aller en bateau » ;
• R: « le client choisit de faire le retour en bateau ».
On rappelle que siEest un événement,p(E) désigne la probabilité de lévénementE et on noteElévé- nement contraire deE.
1. Traduire cette situation par un arbre pondéré.
2. On choisit au hasard un employé de l’entreprise.
a. Calculer la probabilité que l’employé fasse l’aller-retour en bateau.
b. Montrer que la probabilité que l’employé utilise les deux moyens de transport est égale à 0, 31.
3. On choisit au hasard 20 employés de cette entreprise. On noteXla variable aléatoire qui compte le nombre d’employés qui utilisent les deux moyens de transport.
On admet que le nombre d’employés est assez grand pour que l’on puisse considérer queXsuit une loi binomiale.
a. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
b. Déterminer la probabilité qu’il y ait au moins un employé qui utilise les deux moyens de transport différents.
c. Déterminer la probabilité qu’exactement 12 employés utilisent les deux moyens de transport dif- férents.
4. Le coût d’un trajet aller ou d’un trajet retour est de 20(en bateau ; il est de 43(en train.
On noteY la variable aléatoire qui associe, à un employé pris au hasard, le coût en euro de son trajet aller-retour.
a. Déterminer la loi de probabilité deY.
b. Calculer l’espérance mathématique deY. Interpréter le résultat.
E
XERCICE3 6 points
Commun à tous les candidats Partie A
On donne ci-dessous la courbe représentativeCf d’une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [−3 ; 3]. On notef′la fonction dérivée de la fonctionf, etf" sa dérivée seconde.
Le pointAde coordonnées (0 ;−9) appartient à la courbeCf. Best le point d’abscisse−2 appartenant à la courbeCf.
1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
−10
1 2 3
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
∆
b b
b
A B
C
∆′
Cf
x y
On dispose des informations suivantes :
• la fonction f est strictement croissante sur les intervalles [−3 ;−2] et [ 13; 3] et elle est strictement décroissante sur [−2 ; 13] ;
• la droite∆est tangente à la courbeCf au point A ;
• Le pointC(−2;−5) appartient à la droite∆;
• la tangente∆′à la courbeCf au point B est parallèle à l’axe des abscisses.
Chaque réponse devra être justifiée par les informations précédentes ou le graphique.
1. Donner la valeur def′(−2).
2. Donner la valeur def′(0).
3. Le point A est-il un point d’inflexion de la courbeCf? 4. Quel est le signe def"(−2) etf"(0) ?
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x −
f(x)=(
ax2+bx+c) e−x
1. En utilisant l’un des points du graphique, justifier quec= −9.
2. On admet que la fonction dérivéef′est donnée, pour tout réelxde [−3 ; 2], par : f′(x)=(
−ax2+(2a−b)x+9+b) e−x.
En utilisant les résultats de la partie A, justifier queb= −11 puis quea= −3.
Partie C
On admet que la fonctionf est définie pour tout réelxde [−3 ; 3] par f(x)=(
−3x2−11x−9) e−x. 1. Vérifier que pour tout réelxde l’intervalle [−3 ; 2]
f′(x)=(
3x2+5x−2) e−x.
2. Étudier le signe def′puis dresser le tableau de variation def sur [−3 ; 3].
3. a. Justifier que l’équationf(x)=0 admet une unique solutionαsur [−2 ; 0].
b. Donner la valeur deαarrondie au centième.
E
XERCICE4 5 points
Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité
La station de Font-Bolquère propose à ses visiteurs un parcours aventure en forêt. Les différents parcours sont modélisés par le grapheΓci-dessous où les sommets correspondent aux cinq arbres marquant leurs extrémités. Chaque parcours est représenté par une arête du graphe et peut être réalisé dans les deux sens.
1 2
3
4 5
1. L’organisateur du site souhaite que les visiteurs puissent , s’ils le désirent , réaliser un itinéraire com- plet d’aventure en forêt, c’est-à-dire un itinéraire empruntant une fois et une seule chaque parcours et en commençant ce parcours par l’arbre numéro 1.
Ce souhait est-il réalisable et si oui justifiez le et proposer un tel itinéraire
2. On noteMla matrice associée au grapheΓen considérant les sommets pris dans l’ordre croissant des numéros d’arbres.
a. Écrire la matriceM.
b. On donne, ci-dessous, les matricesM2etM3.
M2=
3 2 2 1 1
2 4 1 1 2
2 1 2 1 1
1 1 1 2 2
1 2 1 2 3
M3=
4 7 3 5 7
7 6 6 6 7
3 6 2 3 5
5 6 3 2 3
7 7 5 3 4
L’organisateur du site souhaite organiser des "parcours express" qui débuteront à l’arbre numéro 1, emprunteront 3 parcours d’aventure en forêt et finiront à l’arbre 4. Ces itinéraires peuvent éven- tuellement emprunter plusieurs fois le même parcours.
Déterminer, en justifiant votre résultat, le nombre de "parcours express " réalisables.
Donner 2 de ces itinéraires.
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2 4 6 8 10 12 14
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
b b b
M
N
O
P
Cette courbe passe par les points M,N et P de coordonnées respectives : M(5 ; 8) , N(10 ; 4) et P(20 ; 0,5).
La fonctionf est définie sur [0 ; 21] par
f(x)=ax2+bx+c oùa,betcsont des nombres réels.
a. Justifier quea,betcsont solutions du système :
25a+5b+c = 8 100a+10b+c = 4 400a+20b+c = 0, 5 b. Déterminer les matricesXetBpour que le système précédent soit équivalent à
AX=B où A=
25 5 1
100 10 1 400 20 1
.
c. Déterminera,b,cet donner l’expression def.
