Des nomBres

(1)

mDré saInTe-Lacuë

avec Des nomBres

e T Des mnes

récréanons maTHémaTIQues

Vuibert

(2)

A . SAINTE-LAGUË

Docteur ès sciences.

AVEC DES NOMBRES

ET D E S L I G N E S

(Récréations mat hématiques .)

1

6

2574613

-

P A R I S

LIBRAIRJE VUIBERT BOULEVARD SAINT-GERYAIN, 63

(3)

Chez le même éditeur :

René DESCOMBES, Les carrés magiques. Histoire, théorie et technique d u carrémagique, Émile FOURREY, Curiosités géométriques, 448 pages

de l’Antiquité aux recherches actuelles, 496 pages

Réimpression de l’édition de 1907 augmentée d’une étude inédite d’Évelyne Barbin

- Récréations arithmétiques, 288 pages

Réimpression de l’édition de 1899 augmentée d’une étude inédite de Jean-Louis Nicolas

Jean-Pierre BOUDINE, La géométrie de la chambre à air, dessins d‘Yves Guézou, 192 pages - H o m o mathematicus. Les mathématiques et nous, 208 pages

Alexandre DESMAREST, Grilles logiques, 120 pages

Henri BERNA, Cryptarismes, graphes et autres énigmes mathématiques, 144 pages - Palindromes, monotypes et autres bizarreries numériques, 144 pages - J e u x numériques et magiques dans l a troisième dimension, 176 pages Gilles PAGÈS & Claude BOUZITAT avec le concours de Fabrice CARRANCE et de

Frédérique PETIT, En passant par hasard. Les probabilités de tous les jours, dessins d‘Yves Guézou, 288 pages

Les nombres, leur histoire, leur place et leur rôle, de l’Antiquité a u x recherches actuelles, 464 pages, traduit et adapté de l’allemand par François Guénard Albert DUCROCQ & André WARUSFEL, Mathématiques :plaisir & nécessité, 416 pages Jean-Pierre M A U R Y , Une histoire de laphysique sans les équations,

Istvan BERKES, La physique de t o m les jours, dessins d‘Yves Guézou, nouvelle édition, Jean-Marc LÉvY-LEBLOND, Laphysique en questions. Mécanique, dessins d‘Yves Guézou, André BUTOLI & Jean-Marc LÉvY-LEBLOND, La physique e n questions. Électricité et Collectif sous la direction de H.-D. EBBINGHAUS,

illustré par Marianne Maury-Kaufmann, 240 pages 452 pages

144 pages

magnétisme, dessins d‘Yves Guézou, 144 pages ISBN 2-7117-5314-X

La loi du I I mars 1957 n’autorisant aux t e r n s des aliném 2 et 3 de l’article 41, d’une part, que les

x copies ou reproductions strictement réseruées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utili- sation collective .v et, d’autrepart, que les analyses et les courtes citations dans un but d’exemple et d’illustration, toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite u (alinéa ler de l’article 40).

Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contre- façon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal.

Le n photocopillage x, c’est l’usage abusifet collectif de la photocopie sans autorisation des ailteurs et d e s éditeurs. Largement répandu dans les établissements d’enseignement, le << photocopillage menace l’avenir du livre, car il met en danger son équilibre économique. Il prive les auteurs d’une juste rémunération. En dehors de l’usage privé du copiste, toute reproduction totale ou partielle de cet ouvrage est interdite.

Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur.

S’adresser au Centre français d’exploitation du droit de copie : 20 rue des Grands Augustins, F-75006 Paris. Tél: 01 44 0747 70

O Vuibert, nouvelle édition, mai 2001 (première édition : 1937) Site internet : http://www.vuibert.fr

(4)

SOMMAIRE

André Sainte-Laguë (1 882-1 950) par André Deledicq

. . .

IV XV Actualité de Sainte-Laguë par Claude Berge

. . .

IX

I

.

Les permutations 129 II

...

243

III

.

Les dominos

...

257

Simple question

...

277

Voyage autour du monde

...

291

Peler un polyèdre

...

307

VI1

.

Les cubes coloriés

. . .

333

Table des matières détaillée

...

353

(5)

André Sainte-Laguë

(1882-1950) par André Deledicq

Sa vie

André Sainte-Laguë est né en 1882 dans une famille modeste de Gascogne ; son père était instituteur à Casteljaloux. Reçu à l’École polytechnique et à l’École normale supérieure en 1902, il rentre à l’École normale supérieure et, dès sa sortie en 1906, il s’intéresse à la << géométrie de situation >> et aux problèmes, grands et petits, que savent résoudre aujourd’hui la recherche opéra- tionnelle, le calcul linéaire ou la théorie des graphes (voir plus loin l’actualité

de

Sainte-Lagui+ par Claude Berge). Ce sont ces problèmes qui, pendant la guerre de 14-18, occupaient, comme il aimait à le rappeler, << les loisirs des tranchées d’infanterie et des hôpitaux militaires ^>>(il fut trois fois blessé à Verdun et subît cinq opérations).

I1 gardera toute sa vie cet amour des mathématiques ludiques, toujours associées aux mathématiques pratiques qu’il savait manier avec bonheur : une théorie des ^<<passe-partout ^>> conclut une magistrale étude combinatoire des serrures, ses études sur le vol des animaux, le déplacement des poissons, la coupe des métaux ou la résistance des matériaux en font un jeune physicien apprécié.

I1 était donc tout indiqué pour inaugurer, en 1927, le premier cours de mathématiques professé à des ouvriers au Conservatoire des arts et métiers. Plus tard, à partir de 1938, il y tînt la chaire de mathématiques appliquées ; voici ce qu’en disait alors son directeur :

(< Son succès sést affirmé d’année en année au point de devenir

légendaire. Jamais, sans lui, il néût été permis d’imaginer 2500 ouvriers et techniciens de toutes les spécialités venant, assidus, suivre un cours de mathématiques spéciales ; la bousculade ù l’entrée, le dé- sintéressement du professeur consentant à doubler, à tripler ses heures de cours afin que tous puissent être admis dans le grand amphithéâ- tre limité à 900 places. Et quelle atmosphère unique d’attention et d’intérêt ! La voix du maître, chaude et forte, emplit la salle ; l’exposé se développe rapide et clair et, tout de suite, avant que paraisse la f a - tigue, une application concrète rassure l’auditeur et, ù chaque ins- tant, quelque propos anecdotique et spirituel le détend !»

Parallèlement à sa carrière de professeur, c’est lui qui prépara, sous la direction de Borel et Montel, l’inauguration du Palais de la découverte pour l’Exposition universelle de 1937.

(6)

VI DES MATHÉMATIQUES LUDIQUES

Vous saurez alors pourquoi, comme le disait un de ces cama- rades de la Confédération des travailleurs intellectuels, (que Sainte- Laguë présida de 1929 à sa mort, en 1950, quand elle comptait alors 300 O00 membres) : ⁽⁽AndréSainte-Lap, professeur, mathéma- ticien, explorateur et révélateur du monde des nombres et des formes, animateur de la section mathématiques du Palais de la découverte, auteur de vingt livres d’une érudition jamais pédante et d’une vulga- risatwnjamais vulgaire, vivra par ses disciples et vivra par ses ouvrages ».

Des mathématiques ludiques

André Sainte-Laguë s’inscrit sans contestation possible dans la lignée des grands collectionneurs de récréations mathématiques.

Ces récréations naissent continûment de l’activité mathémati- que et leurs apparitions témoignent des soucis et des problèmes des mathématiciens de chaque époque, mais aussi de leur joie de disposer tout à coup d’outils ou de concepts nouveaux ; alors ils inventent des problèmes d’apparence naïve ou amusante, soit pour jouir de la découverte d’une élégante solution, soit pour marquer les bornes de leur savoir par un défi public.

Ainsi, par exemple, bien avant que les outils de l’algèbre puissent permettre sa résolution, Archimède proposait aux savants alexandrins le problème des ^<<bœufs du soleil >> qui se réduit à un certain système d’équations en nombres entiers. Un peu plus tard, Diophante réunira, au début de notre ère, un ensemble impression- nant de tels problèmes << arithmétiques », en grande partie issus de la tradition pythagoricienne.

Autre exemple de ces défis antiques : la légende de Flavius Josèphe - rapportée par Sainte-Laguë à la page 57 de cet ouvrage - qui aurait réussi à sauver sa vie grâce à un fantastique calcul sur les congruences récurrentes. On trouve mention de cette situation dans la première grande compilation imprimée de récréations mathématiques : Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres de Claude Gaspard Bachet de Mériziac (1612) ; on les retrouve avec bien d’autres dans les Récréations mathématiques et physiques de Ozanam, qui furent rééditées et complétées pendant

plus d‘un siècle depuis leur première parution en 1692.

Sainte-Laguë cite ainsi un certain nombre de ces problèmes classiques d’origine essentiellement arithmétique.

(7)

A N D R É S A I N T E - L A G U Ë VI1 Mais, comme le constatera très vite le lecteur, Sainte-Laguë ne se contente jamais de citer un problème déjà connu historiquement ; non seulement il en donne toujours les sources avec précision, mais il les complète par quantité de développe- ments, variantes ou généralisations apportées par les chercheurs, mathématiciens de renom ou obscurs algorithmistes, jusque dans les années 1930 ; et il n’hésite pas à donner lui-même les résultats de ses propres recherches et les directions de ses idées.

Cependant, ce ne sont pas les problèmes typiquement numé- riques ou géométriques - parmi lesquels Vuibert réédite simulta- nément les Récréations d’Émile Fourrey - qui intéressent le plus Sainte-Laguë ; il est visiblement fasciné par les problèmes qu’Euler nommait << topologiques >> ou de << géométrie de situation >> et qui relèvent aujourd’hui presque tous de la théorie des graphes. Le plus significatif est celui des ponts de Kœnisberg, résolu par Euler en 1736 et étudié en pages 229 à 241 du présent ouvrage.

En fait, les problèmes de chemins et de permutations y pren- nent une grande place et constituent une mine d’exercices pour une connaissance ludique des concepts mathématiques modernes : les ensembles et les structures d’ordre ou d’équivalence dont on peut les munir, les applications que l’on peut y définir et leurs pro- priétés, la théorie des groupes, les congruences, etc.

A

titre d’exemple, Claude Berge nous donne plus loin quelques extraits caractéristiques de sa Théorie des graphes et ses applications.

Dans ce domaine, Sainte-Laguë puise largement parmi les quatre volumes des Récréations mathématiques d’Édouard Lucas (1891), mais ses remarquables efforts de classement, de générali- sation et d’exhaustivité font de son livre qu’il intitule Avec des nombres et des lignes une référence désormais inévitable. Ce n’est d’ailleurs pas un hasard si ce livre parut en 1937, date à laquelle André Sainte-Laguë travaillait à la section de mathématiques du Palais de la découverte. Comme au Conservatoire des arts et métiers, où il a fondé une << Salle de mathématiques », il y mène une formidable tentavive de popularisation dont Émile Borel lui rendra hommage dans la préface à Du connu ù Z’inconnu (Gallimard, 1941) en ces termes :

(8)

VI11 DES MATHÉMATIQUES LUDIQUES

<< On ^nesonge pas ici à présenter Monsieur Sainie-La@. Ses péné-

trantes études sur la géométrie de situation, sur le vol a u point fixe et la théorie du poisson, ont depuis longtemps consacré son mérite dans 1 ,estime de tous ceux qui s’intéressent aux mathématiques pures et appliquées, tandis qu’une série d’ouvrages plus directement acces- sibles conduisait son nom jusquau grand public. Par son enseigne- ment a u Conservatoire des arts et métiers, par ses conférences, par le rôle actifqu’il a joué dans l’organisation de la Section de mathéma- tiques au Palais de la découverte, il a initié de nombreux esprits a u calme et pur attrait Des nombres et des lignes. >>

Sainte-Laguë tint aussi la vedette au Deuxième congrès de récréations mathématiques, qui eut lieu à Paris en juillet 1937 (le premier avait eu lieu à Bruxelles deux ans plus tôt, sous l’impul- sion de Maurice Kraitchik, éditeur et directeur de la revue men- suelle de récréations mathématiques

Le

Sphynx). I1 y prononça une conférence sur << les formes géométriques dans la nature », qu’il développera plus tard dans son fastueux chef-d’œuvre Le monde des formes (Fayard, 1948).

On voit que Sainte-Laguë n’était pas seulement un homme de

<< récréations », digne successeur de Bachet de Méziriac, Ozanam,

Lucas, Fourrey, Dudeney ou Sam Loyd, mais qu’il savait aussi conti- nuer le travail de vulgarisateur d’un Figuier ou d’un Flammarion.

I1 savait en effet présenter, expliquer et intéresser. Ainsi connaît- il les ^<<trucs ^>>élémentaires du bateleur scientifique ; par exemple, il ne dédaigne pas l’anecdote lorsqu’elle est au service de situations plus générales, il connaît les vertus de la personnalisation et n’ignore pas qu’il faut toujours garder ouvert le problème posé..

.

Témoins ces trois passages que nous extrayons de votre future lecture.

<< Dans je ne sais plus quelle vieille histoire, u n homme suivi d u n

loup, d’une chèvre, et portant u n panier de choux - était-ce pour nourrir sa chèvre ? - se trouva arrêté par une rivière..

.

(page 1)

Un peintre de msamis, passionm’ de problèmes de mathématiques, et connaissant à peu près toutes les remarques qui précèdent, vint u n jour me trouver pour me dire que des gosses avaient fait avec de la

(9)

A N D R É S A I N T E - L A G U Ë IX peinture noire de nombreux dessins entrelacés sur un grand mur blanc clôturant un parc. Le propriétaire lui avait demandé de les effacer en repassant sur tous les barbouillages de la peinture blanche.

L e s

dessins à enlever ainsi étaient très compliqués, mais, autant qu’il avait p u s’en rendre compte par un premier coup d’œil, il n’y avait que des carrefours pairs. Sans doute les enfants avaient tracé u n grand nombre de figures toutes décrites d u n seul trait et fermées.

..

Nous vous laissons, cher lecteur, le soin de découvrir bien d’autres propriétés curieuses des grands cubes et des petits cubes, et nous nous arrêterions là si mon filleul Lionel n’avait fait, lavant- vieille de notre séparation, une découverte remarquable qu’il considère comme la clef du casse-tête cubique..

.

^>> (page 344).

André Deledicq mai 2001 (page 235)

Actualité de Sainte-Laguë

par Claude Berge

De très nombreux problèmes de ce livre ont été le point de départ de théorèmes généraux. Encore fallait-il poser les bases d’une théorie abstraite. C’est ce que je me suis proposé de faire en 1958 dans un livre intitulé Théorie des graphes et ses applications, paru alors chez Dunod. Dans la préface, on pouvait lire :

<< Devant un grand nombre de situations, une vieille habitude

pousse l’homme à tracer sur le papier des points, représentant des individus, des localités, des corps chimiques, etc., joints entre eux par des lignes ou des flèches symbolisant une certaine relation. Ces schémas se rencontrent partout sous des noms dcfférents : sociogrammes (psychologie), simplexes (topologie), circuits électriques (physique), diagrammes d organisation (économie), réseaux de communica- tions, arbres généalogiques, etc. ; D. Konig, sans doute le premier, a proposé d’appeler “graphes ”de tels schémas et d’étudier systémati- quement leurs propriétés.

Il est très remarquable que des discklines aussi variées aient à utiliser des théorèmes analogues ; on sait que la notion de ^“matrice

(10)

x

^ACTUALITÉ^DESAINTE-LAGUË

d’incidence

”,

introduite par Kirchhofl pour étudier les circuits électriques, a été reprise en topologie par Henri Poincaré pour fonder son ^“analysis situs ^”; la notion de ^“point d’articulation

”,

connue depuis longtemps en sociologie est apparue plus récemment en électronique ; et de tels exemples sont innombrables..

. ^La

théorie des graphes, pour pouvoir s’appliquer dans des domaines aussi variés,

devra être essentiellement abstraite et formalisée. >>

Le premier des problèmes de cette théorie est évidemment le

<< problème du plus court chemin >> (que Sainte-Laguë appelle

<< problème des traversées >> - chapitre 1 de la première partie).

On le définit ainsi dans la théorie des graphes (chapitre 7) : Étant donné un graphe et deux sommets a et b, on se pose les problèmes suivants :

Problème I : Trouver un chemin du graphe allant de a à b.

Problème 2 : Trouver un chemin de longueur minimum allant de a à b. Le problème 2 contient le problème 1.

Tout jeu à une personne (diamino, taquin, baguenaudier, etc.) se ramène à un << processus par étapes >> : étant donné un état a , on cherche à atteindre par étapes successives un état b. Un exemple célèbre est le labyrinthe : un individu se trouvant en a cherche à sortir du labyrinthe en suivant les couloirs (figure 1) ; cela revient à résoudre le problème 1 pour le graphe de la figure 2, où X est l’ensemble des carrefours et où y E Tx si un couloir relie directement les carrefours x et y.

U O

a h

Figure 1 Figure 2

(11)

A N D R É S A I N T E - L A G U Ë XI Autre exemple : Problème du loup, de la chèvre et du chou.

Une chèvre, un chou et un loup se trouvent sur la rive d'un fleuve ; un passeur veut les changer de rive, mais sa barque étant trop petite, il ne peut transporter qu'un seul d'entre eux à la fois.

Pour des raisons évidentes, on ne peut laisser sans surveillance le loup en compagnie de la chèvre ou la chèvre en compagnie du chou. Comment le passeur doit-il s7y prendre ?

Ce problème très connu se résout aisément mentalement en raison du très petit nombre d'états à considérer ; néanmoins, c'est là un exemple typique d'application du problème 1 : on dresse le graphe de la figure 3, et l'on cherche un chemin conduisant de l'état a (où la chèvre C, le chou X , le loup L et le passeur P se trouvent ensemble sur la rive droite) à l'état b (où rien ne se trouve plus sur la rive droite) ; un tel chemin est indiqué par les flèches de la figure 3 .

CLXP CLP CXP LXP CP

L x c

L

x o

Figure 3

Dans un cas plus compliqué, un algorithme systématique serait nécessaire, et plusieurs méthodes ont été proposées.

Une autre famille importante de problèmes (appelée par Sainte- Laguë ^<<les ponts de la Pregel », chapitre 1, troisième partie) concerne l'existence d'un cycle (concept non-orienté) ou d'un circuit (concept orienté) ayant des propriétés données.

Un des plus vieux problèmes de la géométrie de situation, posé par Euler, peut se formuler de la façon suivante : on appellera chaî- ne eulérienne (resp : cycle eulérien) une chaîne (resp : un cycle) qui utilise toute arête une fois et une fois seulement. Comment reconnaître si un graphe admet une chaîne ou un cycle eulérien ? Exemple : Considérons le graphe dessiné sur la figure 4 ; est-il possible de tracer ce dessin sans soulever la plume ni passer deux

(12)

XII ACTUALITÉ DE SAINTE-LAGUË

fois sur le même trait? Après avoir essayé de nombreuses combinaisons, le lecteur non averti finira par admettre que ce pro- blème est impossible. Au contraire, le graphe de la figure 5 peut être tracé d’un seul coup de plume : pourquoi ?

Théorème 1 : Un graphe G admet une chaîne eulérienne si et seu- lement si il est connexe, et si le nombre des sommets de degré impair est O ou 2.

1) La condition est nécessaire ; car s’il existe une chaîne eulé- rienne p, le graphe G est évidemment connexe. Par ailleurs, si les deux sommets terminaux de p (s’ils sont distincts) sont seuls à avoir un degré impair : il ne peut donc y avoir que O ou 2 sommets de degré impair.

2) La condition est sufisante. Nous allons démontrer plus précisément : s’il y a deux sommets de degré impair a et b, il existe une chaîne eulérienne partant de a et finissant en b : s’il n’y a pas de points de degré impair, il existe un cycle eulérien.

Nous allons supposer que cet énoncé est vrai pour des graphes de moins de m arêtes, et nous allons démontrer qu’il est encore vrai pour un graphe G de m arêtes. Pour fixer les idées, nous supposerons que G admet deux sommets de degré impair a et b.

Un voyageur, partant de a dans une direction quelconque, et ne devant pas parcourir deux fois la même arête, va nous définir la chaîne p. S’il arrive en un sommet x

+

b, le voyageur aura utilisé un nombre impair d’arêtes incidentes à x, donc il pourra repartir par une arête vierge ; quand il ne pourra plus repartir, il sera donc nécessairement en b. Néanmoins, dans ce trajet arbitraire p qui va de a à b, il est possible que toutes les arêtes n’aient pas été utilisées ; il restera alors un graphe partiel G’ dont tous les sommets sont de degré pair.

(13)

A N D R É S A I N T E - L A G U Ë XII1 Soient

c

^{1 ,}

c,, c3, . . . , ck

les composantes de G’ admettant au moins une arête ; par hypothèse, elles admettent des cycles eulériens pl, p,,

. . .

; comme G est connexe, la chaîne p rencontre successivement toutes les

Ci,

disons en des sommets x1 E C , , x, ^E

c,, . . . ,

^Xk^E

ck

(dans cet ordre).

Considérons alors la chaîne :

PL[a+iI +

Pi

+ P[x142] + P2 + + P[xk,bI-

C’est bien une chaîne eulérienne allant de a à b. C.Q.F.D.

D’un seul coup d’œil, le lecteur prouvera ainsi l’impossibilité de la promenade dans Kœnisberg.

I1 est intéressant d’étendre ces notions à l’étude orientée ; dans un graphe orienté, un circuit eulérien est un circuit qui utilise tout arc une fois et une fois seulement. Quels sont les graphes qui admettent un circuit eulérien ?

On dit qu’un graphe est pseudo-symétrique si en tout sommet, il Cette terminologie est justifiée par le fait que tout graphe part autant d’arcs qu’il en arrive.

symétrique est aussi pseudo-symétrique ; on a :

Théorème 2 : Un graphe admet u n circuit eulénen si et seulement si il est connexe et pseudo-symétrique.

(La démonstration est exactement comme au théorème 1.) Exemple (Posthumus) : Quelle est la plus longue séquence circulaire qu’on peut former avec des O et des 1 sans qu’une portion de k chiffres consécutifs de cette séquence ne figure plus d’une fois ? Comme il existe 2 k k-tuples distincts formés de O et de 1, la séquence ne doit pas avoir plus de 2 k chiffres ; montrons à l’aide du théorème 2 qu70n peut efectivement former une telle séquence circulaire de 2 k chgres.

Considérons le graphe G, dont les sommets sont les différents (k - 1)-tuples composés de O et de 1, et relions par un arc tout sommet (a,,a,,

...,

a, ^-,) aux deux sommets (a2,a3,

...,

^ak^-l,û) et (a,,a3,.

. .

,a,- l,l). Le graphe G étant pseudo-symétrique, il admet

(14)

XIV ACTUALITÉ DE SAINTE-LAGUË

un circuit eulérien. Si (a1,a2,.

. .

^,ak-J est le premier sommet de ce circuit, (a2,a3,.

. .

^,ak)le second, (a3,a4,.

. .

,ak ⁺ le troisième, etc., la séquence cherchée sera a,a2a3a4..

.

Avec k = 4, le graphe de la figure 6 nous fournit plusieurs séquences circulaires de Z4 = 16 chiffres, à savoir :

abcdefghijklmnpq = 0000101001101111 abcdkijefghlmnpq = 0000101101001111 abcdkipghlmnjefq = 0000101100111101 abcfghijedklmnpq = 0000100110101111 abhijklrnnpgcdefq = 0000110111100101 abhijedklmnpgcfq = 0000110101111001 abhijefgcdklmnpq = 0000110100101111 abhipgcdklmnjefq = 0000110010111101

(Nous avons omis les autres séquences circulaires, qui s'obtiennent en permutant i et lmn.) On trouve 16 solutions.

Figure 6

" , = I l I l

Ce problème a des applications en télécommunications, pour répérer la position d'un tambour gradué au moyen de deux espèces de divisions avec une tête liseuse capable de lire à la fois k gradua- tions. Le même problème a été considéré en cryptographie sous la forme suivante : trouver un mot dans lequel chaque arrangement de k des lettres de l'alphabet figure une fois et une seule.

Claude BERGE

(15)

QUELQUES

MOTS

a Avec des nombres et des lignes ^Do n peut évidem- ment bâtir un édifice scientifique important, puisqu’au fond toutes les mathématiques découlent de là.

Mais

le présent volume; comme l’indique son sous-titre, poursuit u n but des plus modestes, et l’auteur a surtout cherché à intéresser son lecteur en lui soumettant diverses questions de mathématiques. Elles ne supposent pour ainsi dire aucune espèce de connaissances antérieures ; mais pour en trouver la solution

il

faudra parfois avoir de l’esprit de finesse et posséder une certaine profondeur d’ana- lyse. De très grands esprits, souvent de tout premier ordre, comme Euler, n’ont pas dédaigné ce genre d’études, et on leur doit quelques-unes des solutions lee plus in- génieuses que l’on trouvera dans les pages q u i suivent.

La part de l’auteur dans ce travail est assez réduite.

Hormis la rédaction, qu’il a essayé de rendre aussi attrayante et claire que possible, on ne lui doit environ qu’un tiers des matériaux avec lesquels est bâti le présent volume. Le reste e s t d û , et le lecteur ne s’en plaindra pas, à cette collaboration tacite qui s’est créée entre de trés nombreux chercheurs, appartenant à des pays divers, comme Dudeney, Sam Loyd, Ahrens, Kraïtchik, Tar ry , Lucas, etc

...,

mais qui tous étaient passionnés par ces mêmes recherches.

Quelques-unes des questions traitées sont donc classi-

(16)

QUELQUES MOTS..

.

ques, et l’histoire du loup, de la chèvre et d u chou o u celle des ponts de la Pregel sont bien connues. Beaucoup d’autres le sont moins, et 1e.Chifu-Chemulpo, le Fan-Tan, la Tchouka et sa Rouma paraîtront des nouveautés à u n grand nombre de jecieurs. Nous avons au surplus ju g é inutile, pour les sujets examinés, de donner une biblio- graphie et de renvoyer aux sources.

I1

existe en effet de nombreux traités, souvent excellents, où l’on peut trouver ces renseignements. Ceux de Rouse-Ball, d’Ahrens ou de Kraïtchik pourront par exemple être consultés.

On

nous excusera de signaler ici dans cet ordre d’idées u n volume sur

u

La G4ométrie de Situation et les Je u x ⁾⁾ que nous avons fait p a r d t r e

il

y a huit ans dans la col- lection ⁽⁽ le Mémorial des Sciences Mathématiques », volume où l’on trouvera près de

350

références.

Le présent ouvrage comprend trois parties e t vingt chapitres et l’on aura une idée suffisamment claire d u plan adopté en parcourant la table des matiéres. Dans la p r e mière partie, qui est plus arithmétique qu e &ornétrique, on trouvera de nombreux problèmes pour lesquels o n se borne à compter le nombre mi nimum de u coups ^Dà effectuer pour obtenir u n certain résultat et où l’on cherche quelle est la méthode la plus avantageuse pour y arriver. L’idée de ⁽⁽ permutation », quoique utilisée de temps à autre, ne l’est pour ainsi dire qu’accidentelle- ment.

La deuxième partie, plus géométrique que la premiére, étudie au contraire de façon assez approfondie cette idée de permutation, ainsi qu’on le verra dans u n grand nombre de récréations. Les deux premiers chapitres sont des plus caractéristiques à cet égard. O n trouvera, plus encore dans cette partie que dans d’autres, de ces probl&

mes pour lesquels les chercheurs ont montré u n e patience inlassable et une ingéniosité qui tient parfois du pradige.

(17)

QUELQUES MOTS..

.

La troisième partie s’écarte davantage de

la,

première et aborde des problèmes qui constitueni souvent ce q u e l’on a -appelé la géométrie de situation. Quelques-uns concernent l’espace à trois dimensions. L’idée maîtresse est ici celle des réseaux, idée des plus fécondes e t qui se prête à des développements d’une extrême variété.

Nous nous sommes, de propos délibéré, cantonné dans un domaine assez restreint de récréations mathématiques.

O n ne trouvera par exemple ici aucune indication sur les propriétés des nombres

,

ni s u r les carrés magiques. On n’y trouvera pas davantage d’études s u r les j eux de dames ou d’échecs. Nous avons préféré nous limiter à u n compar- timent plus réduit pour pouvoir l’examiner de façon

plus

approfondie. Nous avons pour cela choisi intentionnelle- ment une partie de ce vaste domaine où les problèmes sont plus variés et plus attrayants qu’ailleurs.

Nous avons essayé, cher lecteur, d’avoir votre collaboration, au moins si vous désirez nous l’apporter, pensant par là doubler le plaisir que vous trouverez à feuilleter cespages écrites à votre intention. C’est pourquoi, de temps à autre, nous nous sommes arrêté dans l’exposé d’une question pour vous demander votre avis et vous prier d’achever de traiter un problème déjà commencé. Si vous êtes courageux, vous pourrez à ce moment-là poser le livre, vous prendre la tête à deux mains e t réfléchir

I

Vous serez récompensé de cet effort en tournant ensuite quelques pages et en comparant votre propre réponse à celle qui se trouve après chaque chapitre dans la partie intitulée ⁽⁽Solutions D.

Si

vous êtes paresseux, et nous n’avons aucun droit de vous le reprocher, vous pourrez sans plus attendre vous reporter à ces solutions ; mais sachez tout de même que vous aurez ainsi gàché ce plaisir de la recherche qui passionne tant ceux qui

y

o n t goûté 1

(18)

QUELQUES MOTS..

.

Nous tenons beaucoup en terminant à remercer

ici

ceux qui ont bieu voulu s u r tel ou tel point nous apporter leur précieuse collaboration, comme M. Nebolsine, q ui a trait6 de nombreux cas du Chifu-Chemulpo, et

M.

Decerf, qui non seulement a. examiné avec soin tout notre texte, mais encore nous a aidé pour diverses questions, en par- ticulier pour les chemins de I’icosaèdre.

Que ce travailvous plaise, cher lecteur, qu’il vous sug- gère des recherches analogues à entreprendre, qu e vous nous écriviez pour nous ^en faire part, et nous serons largement payé des longues et parfois fastidieuses heures, pour ne pas dire journées, que nou s avons passées à la mise au point de tel ou tel raisonnement, de tel ou tel tableau de calculs.

A . S.-L.

Paris (août 19’4, décembre 1936).

(19)

. . . . ^.

et des ravissements L ui viennent, chaque fois que, dans l’ombre cachée, Se lève, à son appel, u n e Image couchée,

Qui dormait dans un livre ainsi que dans son lit, Et s’y rendort quand c’est u n profane qui

lit,

Car , pour l’esprit, le Livre est la forêt magique

Où,

sous les mots muets, l’Image léthargique

P eut dormir deux mille ans sans en crdindre d’affront, Sans ride, inaltérable et la fraîcheur au front,

Toujours prête à l’éveil en s’entendant nommer, Morte pour tous, hormis pour qui la sait aimer 1

. . .

Lucien

PAT& (Le Sol

sacré).

(20)

(21)

PREMIÈRE PARTIE

(22)

(23)

CHAPITRE 1 L E S T R A V E R S k E S

Le passeur d’eau, les mains aux rames, A contre-flot, depuis longtemps

Luttait, un roseau vert entre les dents

...

E. VEREAEREN.

(Les Villages illusoires .) Le loup, la chèvre e t les choux. - Dans j e ne sais plus quelle vieille histoire, un homme suivi d’un loup, d’une chèvre, e t portant un panier de choux - était-ce pour nourrir sa chèvre? - se trouva arrêté par une rivière. I1 y avait bien là un bateau, mais si petit que seul pouvait passer avec l u i le loup, ou la chèvre, ou le panier de choux. Cruel embarras! S’il laissait s u r la même rive le loup e t la chèvre, que retrouverait-il au retour? E t s’il abandonnait, fût-ce pour quelques instants, la chèvre e t les choux, sa provision de choux pourrait bien être sérieu- sement endommagée. Mais notre homme était avisé et, après avoir bien réfléchi, il trouva la solution suivante, q u i d’ailleurs n’est pas tout à fait la seule.

I1 passa d’abord la chèvre - un loup ne fait pas de mal

SAIRTE-LAGUE, Récréations. I

(24)

a PHEMIÈRE PARTIE

à un panier de choux - puis revint chercher le panier;

après quoi il ramena la chèvre sur la première rive pour l’y échanger contre le loup, qui se retrouva ainsi en présence des choux sur la seconde rive. I1 ne lui resta plus qu’à revenir prendre la chèvre, pauvre pestiférée qu’on n’ose laisser, sans son maître, ni avec le loup, ni avec les choux. Tous quatre pourront maintenant reprendre leur route de compagnie.

La famille Latour.

-

Cette famille comprenait quatre personnes: le père e t la mère, pesant environ 80 kilogrammes chacun, e t les deux enfants, Pierre et Thérèse, d’un poids moitié moindre. Pour être complet, il faut y ajouter Tom, chien épagneul, qui pèse lui aussi quelques kilogrammes.

Au cours d’une excursion, ils ont à traverser une rivière à l’aide d’un bateau qui, à ce qu’on leur a dit, ne peut certainement pas porter plus de 80 kilogrammes sans risquer de couler. M. Latour, q u i e s t u n homme prudent, connaît par ailleurs l’histoire du loup, d e la chèvre et des choux et il ne lui faut pas longtemps pour trouver comment s’y prendre. J e suis certain que, à votre tour, vous saurez ce qu’il faut faire?). Est-il besoin d’ajouter qu’aucun des Latour n’aurait la cruauté de jeter à l’eau ce pauvre Tom, qui pourrait fâcheusement s’enrhumer !

La troupe de soldats. - I1 ne serait d’ailleurs pas plus difficile de se tirer d’embarras dans le cas suivant : Une troupe de quelques soldats arrive au bord d’un fleuve sur lequel jouent deux petits enfants dans un canot si petit qu’un soldat suffit à lui seul à le remplir. Comment avec d’aussi pauvres moyens arriver à traverser?

Du Mur, du Pont et du Rand.

-

Mme e t

M.

du Mur, Mme e t M. du Pont et enfin Mm6 et M. du Rand se trouvè-

C)

A la fin de chaque chapitre, le lecteur trouvera la réponse à la plupart des questions qui lui sont posées et pourra ainsi contrbler les solutions qu’il

aura obtenues.

(25)

LES TRAVERSlhS 3 rent eux aussi un jour en présence d’une rivière pour la traversée de laquelle ils avaient un bateau ne pouvant porter que deux personnes. Ni vous ni moi ne trouverions là de difficultés : à chaque passage le bateau porterait deux personnes à l’aller, une au retour e t avec g traversées, tout le monde

-

^y^comprisle bateau - se retrouverait sur l’autre rive.

Mes ces messieurs sont d’une jalousie singulière, pour ne pas dire extravagante : aucun d’eux ne voudrait laisser

sa femme soit dans le bateau, soit sur une des rives, en présence d’un des autres maris s’il n’est lui-même présent.

Avec deux ménages au Iieu de trois, il serait facile de se tirer d’affaire en faisant cinq voyages, c’est-à-dire exactement le même nombre de traversées que si aucune reatric- tion n’était imposée.

Même pour trois ménages, la question n’est pas inso- luble. I1 y a longtemps qu’elle a été étudiée, e t les lati- nistes trouveront la solution exposée dans les quatre vers que voici(? :

It duplex mulier, redit una, vehitque manentern, Itque una, utuntur tunc duo puppe viri.

Par vadit et redeunt bini ; mulierque sororem Advehit j ad propriam rive maritus abit.

On peut représenter comme suit la solution :

Désignons par les initiales

M,

P,

R

les trois maris et par m , p, ^I’leurs femmes respectives. I1 suffit de dres- ser le tableau suivant, où l’on voit les deux rives avec la liste des personnes qui se trouvent sur chacune d’elles avant chaque traversée, le signe

W

représentant le bateau, qui est naturellement tantôt sur une rive tantôt sur l’autre:

(9) En voici une traduction h peu prés litterale : Deux femmes passent, une seule revient et porte celle qui reste. Elle passe seule, deux maris se servent du bateau. Un couple passe, deux hommes reviennent. Une femme transporte une compagne, ou bien encore le mari s’en va vera sa femme.

(26)

4 PHEMIÈRE PARTlE PREMIBRE R I V E

M P R m p r

w

M P H m

M P R m p

w

M P R

M m

M P R m

W

M P m P

w

m P r

w

m P

w

m P m

DEUXIÈMB RIVE

P R

r R

w

^P‘

r M P R M P R

w

^p~ ^{M P R}

r M P R

W

^{m p r} M P R

W

Ce tableau se comprend à preniière vue; on y voit par exemple qu’après la première traversée le bateau est sur la seconde rive avec Mme du Pont e t Mme du Rand, les

4

autres personnes étant sur la première rive, etc: On comprendra d’ailleurs, mieux si l’on prend pour représenter les six personnes, trois rois d’un jeu de cartes et les trois reines correspondantes, la rivière étant représentée par un large ruban posé sur la table.

I1 est facile d’obtenir une telle solution par tatonnements e n notant les essais effectués chaque fois et éliminant ceux q u i conduisent à des impossibilités. C’est évidemment là une méthode générale dans un grand nombre d e questions d u genre de celles qui nous occupent. Mais il ne faut recourir à de tels procédés que lorsqu’il est vraiment impossible de s’y prendre autrement. Souvent un quart d’heure de réflexion évite des heures de tâtonnements pénibles e t fastidieux. De plus, en renouvelant de tels exercices, on y prend goût e t on les fait de plus en plus aisément.

Pourquoi n’y a-t-il pas ici d’autre solution que celle qui précède ou que des variantes à cette solution ? I1 est facile de le voir en lisant ce qu’en dit Bachet de Mériziac, qui appelle

(1 passage ⁾⁾l’ensemble de deux traversées consécutives (‘).

(I) Nous suivons ici le texte donné par Lucas dans sea Récréations mafké- maliguçs (1882).

(27)

LES THAVERSÉES 5

((

...

I1 est certain que pour passer deux à deux, il faut ou que deux hommes passent ensemble, ou deux femmes, ou un homme avec sa femnie. Or au premier passage on ne peut faire passer deux hommes (car alors un homme seul demeurerait avec les trois femmes, contre la condition) donc il est nécessaire que deux femmes passent, ou qu’il passe un homme avec sa femme; mais ces deux façons reviennent à une, d’autant que si deux femmes passent, il faut que l’une ramène le bateau; partant une seule se treuve en l’autre rive; e t si un homme passe avec sa femme, le même adviendra, d’autant que l’homme doit ramener le b’ateau (car si la femme le ramenait, elle se treuverait avec les deux autres hommes sans son mari).

a Au second passage, deux hommes ne peuvent passer, car l’un d’eux lairrait sa femme accompagnée d’un autre homme; un homme aussi avec sa femme ne peut pas passer car étant passé il se treuverait seul avec deux femmes; il est donc nécessaire que les deux femmes passent; ainsi les trois femmes étant passées il faut que l’une d’icelles ramène le bateau. Quoi fait, au, troisième passage, où restent à passer les trois hommes e t une femme, on voit bien que deux femmes ne peuvent passer, puisqu’il n’y en a qu’une; un homme aussi avec sa femme ne peut passer (car étant passé il se treuverait seul avec les trois femmes);

donc il faut que deux hommes passent et aillent vers leurs deux femmes, laissant l’autre avec la sienne. Or, qui ramènera le bateau?

N U n homme ne peut le faire (car il lairrait sa femme accompagnée d’un autre homme), une femme (ou deux femmes) ne peut aussi (car elle irait vers un autre homme en laissant son mari); que si les deux hommes le rame- naient, ce serait ne rien faire, car ils retourneraient là d’où ils sont venus. Partant, ne restant autre moyen, il faut qu’un homme avec sa femme ramène le bateau.

a Au quatrième passage, où restent à passer deux hommes avec leurs femmes, il est certain qu’un homme avec sa femme ne doit pas passer (car ce serait ne rien faire); les deux femmes aussi ne peuvent passer (car alors les trois femmes seraient avec u n seul homme); donc il faut que les deux hommes passept. Alors pour ramener le bateau, deux hommes ne peuvent être employés (car ce

(28)

6 PREMIERE PARTIE

serait retourner là d’où ils sont venus); un homme seul aussi n e peut (car, cela fait, il se trouverait seul avecdeuxfemmes), donc il faut que ce soit la femme qui e n deux fois aille quérir les ’deux autres femmes qui restent à passer, e t voilà le cinquième et le sixième passage. Partant, en six fois, ils sont tous passés sans enfreindre la condition. ⁾⁾

Les maîtres et les esclaves.

-

Trois maîtres, suivis chacun d‘un esclave, veulent traverser une rivière avec u n bateau qui ne peut porter au plus que deux d’entre eux. I1 est à craindre, étant donné d’inquiétants indices, que si on laisse un ou deux maîtres avec un nombre plus grand d’esclaves ils ne soient assommés. Comment faut-il s’y prendre pour faire traverser la rivière à ces six personnes?

On verra que si, dans le cas qui précède, les lettres

M,

P, R désignent les maîtres, e t m, p, r les esclaves, l a solution que nous venons de donner s’applique sans modi- fication.

On

peut y apporter des variantes que l’on ne pourrait pas envisager dans le cas des maris jaloux e t qui ne présentent pas d’ailleurs grand intérêt. On peut se demander par contre s’il est possible dc trouver une solution qui comporte moins de traversées e t établir ici qu’il n’en est rien.

Le vol du trcisor.

-

Trois brigands, Babylas, vieux chef de bande, Hilaire, son neveu, e t Sosthène, son jeune fils, ont projeté de voler le trésor d’un château. Ils savent que le coffret qui contient ce trésor est caché dans le haut de celle des tours du château qui domine la rivière. Ils s’in- troduisent donc un soir dans la tour, s’y cachent, e t s’y laissent enfermer your la nuit.

Au petit jour, ayant découvert le coffret, ils n’ont plus, à leur grand ennui, d’autre chemin pour se sauver d u c8té de la rivière que celui que constitue un monte-charge rudimentaire formé de deux paniers reliés par un câble passant sur une poulie. Disons ici que Babylas, le plus lourd de tous, pèse 85 kilogrammes, Hilaire 50 et Sos- théne bo, le coffret pesant une trentaine de kilogrammes.

Une personne, seule ou avec le trésor, à la rigueur deux

(29)

LES TRAVERS~ES 7 personnes, peuvent se placer tout debout dans

le

panier le plus haut en passant par une lucarne qui est à c6té de la poulie. La descente se fait naturellement, le panier le plus chargé l’emportant sans qu’il soit possible n i it ceux q u i sont dans le panier ni aux autres d’aider à cette descente. Enfin, si le panier qui descend a s ur l’autre un excédent de poids de plus de I O kilogrammes, toute personne qui s’y trouverait risquerait, hcause des balancements, de le faire chavirer, mais naturellement il n’en serait plus d e même pour le coffret supposé seul.

.Nos trois brigands se jouent de ces difficultés et trouvent le moyen, avec I I manœuvres seulement, de se retrouver en bas. Nous vous laissons, cher lecteur, le soin de chercher comment ils s’y prirent.

Arrivés là, Babylas, Hilaire e t Sosthène ouvrirent le coffret et, après l’avoir vidé, le jetérent dans la rivière. Ils firent trois parts du butin : la plus grosse naturellement pour Babylas, chef de bande, et l a plus petite pour le jeune Sosthène. Ils les dissimulèrent dans de vieux sacs, que l’on acheva de remplir avec du bois mort. Pour traverser la rivière, qu’il leur restait encore à franchir, les trois brigands n’avaient à leur disposition qu’un batelet pouvant porter au plus deux hommes ou un homme e t un sac.

Comme n i Babylas, ni Hilaire, ni Sosthène, malgré leurs liens de famille, n’avaient grande con6ance les uns dans les aut.res, ils s’arrangèrent pour qu’aucun d’eux ne restât jamais seul avec un sac ne lui appartenant pas, à moins que ce ne fût dans la barque, le rameur étant trop occupé par la conduite du bateau. II fut aussi entendu que le rameur avait le droit, en arrivant sur le bord opposé, d’y jeter ou d’y reprendre un sac, mais sans atterrir si un

autre camarade n’était pas déjà sur cette rive.

Ils triomphèrent de cette nouvelle difficulté grâce à leur ingéniosité, et I I traversées leur suflirent pour cela sans que Babylas, qui est le chef de la bande, e û t besoin d e ramer.

Les quatre ménages.

-

Nous avons déjà di t comment MM. du Mur, du Pont, du Rand e t leurs épouses purent

(30)

8 P R E M I ~ R E PARTIE

traverser une rivière en respectant les conditions imposées par leur extravagante jalousie. Ce qu e nous n’avons pas encore dit,. c’est qu’ils allaient chercher leurs bons amis :

M m e e t M. du Val, ce dernier ayant d’ailleurs le même féroce

esprit de jalousie (Qui se ressemble s’assemble !).

Une question se posa pour eux: reviendrait-on p a r le meme chemin? Grande discussion :

MM.

d u M u r , du Pont e t du Rand, forts d’un premier succès, n’y voyaient aucun inconvénient, tandis que, plus sceptique, M. du Val, qui était u n mathématicien remarquable, ne croyait pas l a chose possible.

Au fond c’est lui qui avait raison et le grand mathéma- ticien italien Tartaglia, qui vécut au xvie siècle, avait tort quand il croyait, tout comme nos trois amis, qu’une telle traversée est possible.

Si, e n effet, la traversée était possible, il arriverait un moment où sur la seconds rive il y aurait 5 personnes : ce ne pourraient être

4

femmes e t u n homme, ni 3 femmes e t

2 hommes, ni même a femmes e t 3 hommes, sans quoi s u r la première rive il y aurait a femmes e t un homme. Donc on aurait forcément I femme e t

4

hommes. Mais la der- nière traversée n’a pu amener a femmes, puisqu’il n’y en a qu’une, ni un homme e t une femme, sans quoi avant cette traversée on aurait eu ensemble I homme e t

4

femmes, ni davantage a hommes, car on aurait eu ensemble a hommes e t 3 femmes. Donc l e dernier cas ne peul pas plus se pré- senter que le précédent e t la traversée est impossible.

Ce ne fut pas sans mal que

M.

d u Val convainquit ses amis de cette impossibilité. Ils décidèrent alors de faire un détour pour passer la rivière en un point différent où un bateau plus grand pouvait contenir jusqu’à 3 personnes.

Ils traversèrent ainsi sans difficultés et nous sommes certains que vous trouverez aussi que g traversées suffisent dans ce cas.

Les n ménages.

- ^M.

du Val leur démontra même que si le nombre de leurs ménages avait été d e 5, le même bateau edt sufG avec non plus g mais 1 1 traversées. Ici encore

(31)

LES TRAVERSkES 9 il est assez facile de voir comment il faut s’y prendre.

Si le nombre des ménages est supérieur à 5, on ne peut pas se tirer d’affaire avec un bateau à 3 places. I1 arriverait en effet un moment, dans le cas d e 6 ménages, où l’on aurait sur la seconde rive 7 personnes ; dans celui de 8 mé- nage& où l’on en aurait 9, e t ainsi de suite. Comme ni s ur l’une ni s u r l’autre des rives les femmes ne peuvent être en majorité, ceci ne serait possible que si sur la première rive il ne restait plus d’hommes, tous ayant traversé ainsi que l’une des femmes. Mais alors, avant la dernière tra- versée effectuée, on aurait sur la rive de départ plus de femmes que d’hommes, ce qui n’est pas permis.

‘ Pa r contre, avec un bateau à

4

places, tous les couples de la terre pourraient se tirer d’affaire.

On

pourrait en effet passer deux ménages

A

la fois e t aprhs chaque tra- versée l’un d’eux reviendrait chercher un nouveau ménage, et ainsi de suite.

Si l’on veut résumer ce qui précède, on voit que si l’on désigne par

N

le nombre des ménages, par n le nombre maximum de places du bateau e t enûn par T le nombre de traversées, on a les résultats qu’indique le tableau suivant :

N = 2 n = s T = 5

.

^{N = 3} ^n=?l ^{T =}^{5 1}

N = 4 n = 3 T = g

N = 5 n = 3 T = I I

N > 5 n = 4 T = a N - ï .

Disons encore que le nombre d e traversées à effectuer dépend du nombre de places que contient le bateau e t l’on a par exemple établi que s’il y a n ménages qui veulent

’traverser avec un bateau de n - I places, les cas de n

=

3 et n = 4 ayant déjà été examinés et ceux de n = 2 ou n = I

étant évidemment impossibles, il s u a r a de 7 traversées quel que soit n

> 4.

Les harems en voyage. - Les mathématiciens ont pensé que vraiment ils ne pouvaient s’arrêter en si beau chemin e t c’est pourquoi l’un d’entre eux a supposé qu’il s’agissait de mahométans et que chaque homme voyageait avec un

(32)

I O PREMIÈRE PARTIE

harem de 11 épouses, qui d’ailleurs sont trop paresseuses pour pouvoir manœuvrer le bateau.

Nous laissons cet énoncé aux méditations de tous ceux de nos lecteurs, mahométans ou nun, q u i voudront bien

y

réfléchir.

Encore du Mur, du Pont, du Rand et du

Val. -

I1 faut croire que M. du Val éprouvait un malin plaisir à poser des problèmes difficiles à ses amis et à leur offrir des parties de canotage, car il les conduisit un jour en face d’une petite forêt où il aurait été bien agréable de se reposer.

I1 fallait malheureusement pour ce faire traverser encore une fois avec uu batelet à deux places.

I1

est vrai qu’au milieu de la rivière se trouvait une petite île, que l’on pouvait éviter si on le voulait, mais où il était facile de débarquer e t d’embarquer.

Après avoir laissé ses amis proposer les solutions les plus saugrenues,

M.

du Val leur indiqua une solution très simple grâce à laquelle aucune des femmes ne resta seule avec un ou plusieurs des quatre maris si le sien n’était pas là.

Sa solution est valable pour un nombre queiconque de ménages. On peut la représenter schématiquement de façon analogue à ce qui a déjà été fait, la première colonne correspondant à la rive de départ, la deuxième à l’île et la troisième à la rive d’arrivée. Deux couples passent d’abord de façon que l’un des ménages, ici celui de

M m e et

M.

du Rand, soit dans l’île, et un autre, celui de

M m e et M. du Val, sur la deuxième rive.

P R E M I h E R l V B

R

r w

W W

^{R V}

v

r v

V v

Y

(33)

LES TRAVERShES I I

Ensuite il faut faire passer un couple, par exemple celui d e Mme et

M.

du Pont, de la premikre rive sur la deuxième en le faisant passer d’abord sur l’île.

P R E M I ~ R E RIVE

M P R m p w M P R

M P R m

W

M ^m

M m

D E U X I ~ M E RITE

v v

W P R V v

P R V

W P R V p v

P

v

p v

S’il y avait plusieurs autres ménages P‘, p ‘ ; P”, p “ ;

...,

on agirait pour eux exactement comme on vient de le faire pour P, p, jusqu’à ce qu’ils soient tous sur la deuxième rive.

II ne reste plus qu’à faire passer Mme et

M.

du Mur e t Mme e t

M.

du Rand sur la seconde rive.

PREMIBKE RIVE

M R m

w

m m m m

W

ILB

r

W M R r

P ’

w

D E U X X ~ M E RIVE

P

v

p v

P V p v

W M P R V p ‘ M P R V ^Y W M P R V p r v

M P R V p v

W M P R V m p r v

On remarquera que, sauf dans les deux dernières tra- versées, tous les voyages se font de l’une‘ des rives à l’île ou inversement.

Le nombre total de traversées est, comme on le voit, pour

4

ménages de a b ; pour n ménages, il serait, avec la m h e méthode, de 8n

-

8.

Cette solution, qui est générale, n’est pas forcément la plus avantageuse, et Yon peut par exemple, pour

4

ménages, s’arranger de façon à‘n’avoir que 17 traversées au lieu de

24, ce qui constitue un gain appréciable. De mBme, dans la solution classique, due à Lucas, qui précède, on pourra remarquer qu’à deux moments il est plus simple de faire

-