sujet : Liban 2018 Exercice 1 : 1-

sujet : Liban 2018 Exercice 1 :

1- On admet que :

Lorsqu'un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à 0,98 ; Lorsqu'un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à 0,98.

a) À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de p(M) ; pM(S) et 𝑝_𝑀̅( 𝑆̅)

 Un voyageur sur 500 porte sur lui un objet métallique d'où p(M) = 0,002

 Lorsqu'un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à 0,98 d'où pM(S) = 0,98

b) Lorsqu'un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à 0,98 d'où et 𝑝_𝑀̅( 𝑆̅) =0,98

c) Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous illustrant cette situation.

d) Montrer que : p(S) =0,02192.

Les évènements M et S sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales : p(S) =p(M ∩S) +p( 𝑀̅∩S) Or

p(M∩S)=pM(S)×p(M) soit p(M∩S) =0,002×0,98=0,00196 Et p(𝑀̅∩S) =𝑝_𝑀̅ (S)×p(𝑀̅) soit p(𝑀̅∩S) =0,02×0,998=0,01996 On obtient alors p(S) =0,00196 + 0,01996 = 0,02192

La probabilité qu'un voyageur fasse sonner le portique est égale à 0,02192.

e) En déduire la probabilité qu'un voyageur porte un objet métallique sachant qu'il a fait sonner le portique.

(On arrondira le résultat à 10-3). Commenter le résultat obtenu.

pS(M)= ^{𝑝(𝑀 ∩𝑆)}_𝑝(𝑆) Soit pS(M) = ^0,00196_0,02192 ≈ 0,089

La probabilité qu'un voyageur porte un objet métallique sachant qu'il a fait sonner le portique est d'environ 0,089.

Quand le portique sonne, la probabilité qu'un voyageur porte un objet métallique est faible.

Dans près de 91 % des cas où le portique sonne, le voyageur ne porte pas d'objet métallique.

2- 80 personnes s'apprêtent à passer le portique de sécurité. On suppose que pour chaque personne la probabilité que le portique sonne est égale à 0,02192.Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique, parmi les 80 personnes de ce groupe.

a- Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

Pour chaque personne qui passe le portique, il n'y a que deux issues possibles, le portique sonne ou pas.

Il s'agit d’une expérience à deux issues possibles que l’on répète 80 fois de manière s identiques et indépendantes dont la probabilité du succès est égale à 0,02192.

X suit la loi binomiale de paramètres n=80 et p=0,02192. X



E(X) =n.p soit E(X)= 80×0,02192 =1,7536.

Sur l'ensemble des groupes de 80 personnes qui passent le portique de sécurité, celui-ci va sonner en moyenne pour près de deux personnes du groupe.

c- Sans le justifier, donner la valeur arrondie à 10^-3 de :

La probabilité qu'au moins une personne du groupe fasse sonner le portique ; La probabilité qu'au maximum 5 personnes fassent sonner le portique.

 p(X

⩾

⩾

 p(X

⩽

La probabilité qu'au moins une personne du groupe fasse sonner le portique est 0,83 et, la probabilité qu'au maximum 5 personnes fassent sonner le portique est 0,992.

d- Sans le justifier, donner la valeur du plus petit entier n tel que p(X

⩽

⩾

Avec la calculatrice, on trouve p(X

⩽

⩽

Le plus petit entier n tel que p( X

⩽

⩾

Exercice 2 :

Montrer que la somme d'argent contenue dans la tirelire de Maya à la fin du 1er mois est de 35 €.

U1 = 20×(1 - ¹₄) + 20 =35

À la fin du 1er mois, la somme d'argent contenue dans la tirelire de Maya est de 35 €.

Calculer U2. U2=35×0,75 + 20=46,25

À la fin du 2e mois, la somme d'argent contenue dans la tirelire de Maya est de 46,25 €.

On admet que pour tout entier naturel n, Un+1=0,75Un+20.

On considère l'algorithme suivant : U←20

N←0

Tant que U<70 U←0,75×U+20 N←N+1 Fin Tant que Afficher N

a- Recopier et compléter le tableau ci-dessous qui retrace les différentes étapes de l'exécution de l'algorithme. On ajoutera autant de colonnes que nécessaire à la place de celle laissée en pointillés. Arrondir les résultats au centième.

Valeur de U 20 35 46,25 54,69 61,02 65,76 69,32 71,99 Valeur de N 0 1 2 3 4 5 6 7 Condition U<70 vrai vrai vrai vrai vrai vrai vrai faux

b- Quelle valeur est affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme ? Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

La valeur est affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme est N=7. À la fin du 7e mois, la somme d'argent contenue dans la tirelire de Maya sera supérieure ou égale à 70 €.

Pour tout entier n, on pose Vn = Un - 80. Montrer que la suite (Vn ) est une suite géométrique de raison 0,75.

Remarque : Vn = Un - 80

⇔

Vn+1 = Un+1 - 80 ⇔ Vn+1 = 0,75Un+20 - 80 ⇔ Vn+1 = 0,75Un – 60

⇔ Vn+1 = 0,75×(Vn + 80) – 60 ⇔ Vn+1 = 0,75Vn + 60 – 60 ⇔ Vn+1 = 0,75Vn

Ainsi, pour tout entier naturel n, Vn+1=0,75Vn donc (Vn) est une suite géométrique de raison 0,75.

Préciser son premier terme V0. V0= U0 - 80 = 20 - 80= -60.

c- En déduire que, pour tout entier n, Un = 80 - 60×0,75ⁿ.

(Vn) est une suite géométrique de raison 0,75 et de premier terme V0= - 60 donc pour tout entier naturel n, on a : Vn = -60×0,75ⁿ Comme pour tout entier naturel n Vn = Un - 80

⇔

on en déduit que : pour tout entier naturel n, Un= 80 - 60×0,75ⁿ.

d- Déterminer, au centime près, le montant que Maya possèdera dans sa tirelire au 1er juin 2019.

U12 = 80 - 60×0,75¹² ≈ 78,10

Au bout d'un an, la somme d'argent contenue dans la tirelire de Maya est de 78,10 €.

e- Déterminer la limite de la suite (Vn)

0 < 0,75 < 1 donc lim_𝑛→∞(0.75)^𝑛 = 0 d'où, lim_𝑛→∞−60. (0.75)^𝑛 =0.

Soit lim_𝑛→∞𝑉𝑛 =0. La suite (Vn) converge vers 0.

f- En déduire la limite de la suite un et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

donc lim_𝑛→∞−60. (0.75)^𝑛= 0 d’où lim_𝑛→∞80 − 60. (0.75)^𝑛= 80

La suite un converge vers 80. À partir d'un certain nombre de mois, la somme d'argent contenue dans la tirelire de Maya sera toujours proche 80 €.

Exercice 3 :

Pour les questions 1 ;2 et 3, on a représenté ci-dessous la courbe représentative d'une fonction f ainsi que deux de ses tangentes aux points d'abscisses respectives 2 et 4.

Courbe représentative de la fonction f :

1- f ′(4) est égal à :

Le nombre dérivé f′(4) est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 4. Cette tangente passe par l'origine du repère et le point de coordonnées (4 ;2) d'où

f ′(4) = ²₄ = ¹₂ réponse c 2- f est convexe sur l'intervalle :

La courbe traverse sa tangente au point d'inflexion d'abscisse 2. La courbe est située au-dessus de ses tangentes sur l'intervalle ]0 ; +∞[ donc la fonction f est convexe sur cet intervalle. Réponse d 3- Une valeur approchée au dixième de la valeur moyenne de f sur l'intervalle [0 ;5] est :

La valeur moyenne de de f sur l'intervalle [0 ; 5] est : m= ¹₅∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥₀⁵

Comme la fonction est positive sur l'intervalle [ 0 ;5], l'intégrale ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥₀⁵ est égale à l'aire, en unité d'aire, du domaine colorié compris entre la courbe, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x = 5.

Or l'aire de ce domaine est visiblement inférieure à l'aire d'un rectangle de côtés 5 et 4 et supérieure à l'aire de 13 carrés de côté 1 donc ¹³₅ < m < ²⁰₅ réponse c : la seule des quatre réponses susceptible de

convenir.

4- Dans le repère ci-dessous, on a tracé la courbe représentative de la fonction de densité de probabilité d'une variable aléatoire X qui suit une loi normale et telle que p(X⩽649) ≈0,1587.

On note respectivement μ et σ l'espérance et l'écart-type de cette loi normale.

La courbe admet pour axe de symétrie la droite d'équation x = 650. Par conséquent, μ = 650.

Remarque : 650 -1 = 649 650 +1 = 651 donc par symétrie de la courbe, on en déduit que : p(X⩾651) = p (X⩽649) soit p(X ⩾ 651) ≈ 0,1587

Et p(649 ⩽ X ⩽ 650) = p(X⩽650) + p(X⩽649) soit p( 649 ⩽ X ⩽ 650) ≈ 0,5 - 0,1587 ≈ 0,3413 Par conséquent :

p(X⩽651) = 1- p(X⩾651) soit

p( X⩽651) ≈ 1-0,1587 ≈ 0,8413 et p( 649⩽X⩽651) =2×p( 649 ⩽ X ⩽ 650) soit p (649⩽X⩽651) ≈ 2×0,3413 ≈ 0,6826 réponse b

Exercice 4 : 1-

a- Soit f la fonction définie et dérivable sur l'intervalle [ 1 ; 25] par f(x) = ^{𝑥+2−ln (𝑥)}

𝑥

La fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables.

f = ^𝑈_𝑉 avec v≠0 d'où f′ = ^{𝑈′𝑉 − 𝑉′𝑈}_𝑉² u′⁢ avec u(x ) = x+2 - ln(x) d'où u′(x) =1- ¹_𝑥

et v(x) = x d'où v′(x) =1 Soit pour tout réel x de l'intervalle [1 ;25], f′(x) = ⁽¹⁻

1

𝑥 ).𝑥−( 𝑥+2−ln(𝑥)).1

𝑥² = 𝑥−1−𝑥−2+ln (𝑥)

𝑥² =^{−3+ln (𝑥)}_𝑥² b- Résoudre dans [1 ; 25] l'inéquation -3+ln(x) >0.

-3+ln(x) > 0 ⇔ln(x) >3 ⇔ x > e³ S= ] e³ ; 25]

c- Dresser le tableau des variations de la fonction f sur [1 ; 25]

Pour tout x [1 ; 25] , x² est toujours positif, donc f’(x) est du signe de ( -3 + ln(x) ) x 1 e³ 25

-3 + ln(x) - +

d'où le tableau de variations :

d- Démontrer que dans l'intervalle 125, l'équation f(x) =1,5 admet une seule solution. On notera α cette solution.

 Sur l'intervalle [ 1 ;e³] , la fonction f est continue, strictement décroissante f(1) =3 et f(e³) ≈0,95. Or 1,5  [0,95 ; 3]

donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires : l'équation f(x) =1,5 admet une unique solution α ∈[1 ; e³]

 Sur l'intervalle [e³ ; 25] la fonction f est strictement croissante et f(25) ≈0,951. Par conséquent, pour tout réel x de l'intervalle [ e³ ;25 ] on a f(x<1,5) donc l'équation f(x) = 0 n'a pas de solution sur cet intervalle.

Ainsi, l'équation f(x) =1,5 admet une seule solution α∈ [1 ; e³] e- Déterminer un encadrement d'amplitude 0,01 de α à l'aide de la calculatrice.

À l'aide de la calculatrice on trouve 2,31 ⩽ α ⩽ 2,32.

2- Une entreprise fabrique chaque jour entre 100 et 2500 pièces électroniques pour des vidéoprojecteurs. Toutes les pièces fabriquées sont identiques. On admet que lorsque x centaines de pièces sont fabriquées,

avec 1⩽ x ⩽25, le coût moyen de fabrication d'une pièce est de f(x) euros.

En utilisant les résultats obtenus à la question 1 :

a- Déterminer, à l'unité près, le nombre de pièces à fabriquer pour que le coût moyen de fabrication d'une pièce soit minimal. Déterminer alors ce coût moyen, au centime d'euro près.

Le minimum de la fonction f est atteint pour x = e³ ≈ 20,086. Or f(20,08) ≈ 0,95 et f(20,09) ≈0,95.

Le coût moyen minimal de fabrication d'une pièce est de 95 centimes obtenu pour une production de 2008 ou 2009 pièces.

b- Déterminer le nombre minimal de pièces à fabriquer pour que le coût moyen de fabrication d'une pièce soit inférieur ou égal à 1,50 euro.

Le coût moyen de fabrication d'une pièce est inférieur ou égal à 1,50 euro pour une production comprise entre 232 et 2500 pièces.

c- Est-il possible que le coût moyen d'une pièce soit de 50 centimes ? Justifier.

Le coût moyen minimal de fabrication d'une pièce est de 95 centimes donc il n'est pas possible que le coût moyen d'une pièce soit de 50 centimes.