2nd10 DS 8 Correction : Probabilit´e et fonctions 18 avril 2019
Exercice 1 : Cours (10 minutes) (6 points)
Partie A : Fonctions de r´ef´erence Soientf,g les fonctions carr´e et inverse. Pour chaque fonction 1. Donner leur ensemble de d´efinition.
2. Donner leur tableau de variations surR. 3. Les repr´esenter sch´ematiquement.
4. Comment se nomme leur courbe repr´esentative.
5. Leur courbe v´erifie-elle une sym´etrie ? Si oui don- ner cette sym´etrie.
Partie B :
Soient AetB deux ´ev´enements quelconques. Recopier et compl´eter : 1. P(A) +P(B) =. . . 2. P(A) +P( ¯A) =. . .
Solution: Voir cours
Exercice 2 : ´Equations et in´equations (15 minutes) (6 points) R´esoudre :
1. x2+ 5x= 0 2. 3x+ 6
6x−3 >0
3. 3x+ 5 6x+ 2 >1
4. −(2x−3)(x−5) + (x−5)> x2−25
Solution:
1. Les solutions sont 0 et−5 2. S=]− ∞;−2]∪]0,5; +∞[
3. 3x+ 5
6x+ 2 >1⇔ 3x+ 5−6x+ 2
6x+ 2 >0⇔ −3x+ 3
6x+ 2 >0.S=]− 13; 1]
4. −(2x−3)(x−5) + (x−5)> x2−25⇔(−2x+ 3 + 1−x−5)(x−5)>0⇔(−3x+ 1)(x−5)>0.
S=]−13; 5[.
Exercice 3 : Fonctions de r´ef´erence (10 minutes) (5 points)
On se donne 3 fonctions f, g et h repr´esent´ees graphiquement ci-contre 1. Donner un nom `a chaque courbe.
2. D´eterminer une expression alg´ebrique pour chaque fonc- tions ( Mˆeme si vous n’arrivez pas `a ´ecrire enti`erement l’ex- pression, dites-tout ce que vous savez).
−5.−4.−3.−2.−1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
−5.
−4.
−3.
−2.
−1.
1.
2.
3.
4.
5.
0 Cf
Cf
Cg
Ch
Solution:
Cf est une hyperbole,Cg est une parabole etCh est une droite.
On conjecture que f(x) = 1 + 1
x−2,g(x) = 2(x+ 1)2−3 et h(x) = 25x+ 1.
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Exercice 4 : Probl`eme proba (35 minutes) (10 points)
Dans un a´eroport, les portiques de s´ecurit´e servent `a d´etecter les objets m´etalliques que peuvent emporter les voyageurs.
On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.
On note :
• S l’´ev´enementle voyageur fait sonner le portique;
• M l’´ev´enementle voyageur porte un objet m´etallique.
On consid`ere qu’un voyageur sur 500 porte sur lui un objet m´etallique.
Partie A On admet que :
• Lorsqu’un voyageur franchit le portique avec un objet m´etallique, la probabilit´e que le portique sonne est ´egale `a 0,98 ;
• Lorsqu’un voyageur franchit le portique sans objet m´etallique, la probabilit´e que le portique ne sonne pas est aussi ´egale `a 0,98.
1. Recopier et compl´eter l’arbre pond´er´e ci-dessous illustrant cette situation.
Durée : 3 heures
! Baccalauréat Terminale ES/L – Liban 29 mai 2018 "
Exercice 1 6 points
Commun à tous les candidats
Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs.
On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.
On note :
• Sl’événement « le voyageur fait sonner le portique » ;
• Ml’événement « le voyageur porte un objet métallique ».
On considère qu’un voyageur sur 500 porte sur lui un objet métallique.
1. On admet que :
• Lorsqu’un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le por- tique sonne est égale à 0,98;
• Lorsqu’un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le por- tique ne sonne pas est aussi égale à 0,98.
a. À l’aide des données de l’énoncé, préciser les valeurs deP(M),PM(S) etPM(S).
b. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous illustrant cette situation.
M
···
··· S
··· S
M
··· ··· S
··· S
c. Montrer que :P(S)=0,02192.
d. En déduire la probabilité qu’un voyageur porte un objet métallique sachant qu’il a fait son- ner le portique. (On arrondira le résultat à 10−3.)
2. 80 personnes s’apprêtent à passer le portique de sécurité. On suppose que pour chaque per- sonne la probabilité que le portique sonne est égale à 0,02192.
SoitXla variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique, parmi les 80 personnes de ce groupe.
a. Justifier queX suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
b. Calculer l’espérance deXet interpréter le résultat.
c. Sans le justifier, donner la valeur arrondie à 10−3de :
• la probabilité qu’au moins une personne du groupe fasse sonner le portique ;
2. (a) D´ecrire par une phrase l’´ev´enementS∩M; (b) Calculer P(S∩M)
3. (a) Montrer que :P(S) = 0,021 92.
(b) D´ecrire par une phrase l’´ev´enement ¯S; (c) Calculer P( ¯S)
4. (a) D´ecrire par une phrase l’´ev´enementS∪M; (b) Calculer P(S∪M)
5. Calculer la probabilit´e qu’un voyageur porte un objet m´etallique sachant qu’il a fait sonner le portique.
(On arrondira le r´esultat `a 10−3.) Partie B
1. 3 personnes s’apprˆetent `a passer le portique de s´ecurit´e. On suppose maintenant que pour chaque personne la probabilit´e que le portique sonne est ´egale `a 0,1.
Sans le justifier, donner la valeur arrondie `a 10−3 de :
• la probabilit´e qu’aucune personne du groupe ne fasse sonner le portique ;
• la probabilit´e qu’au moins une personne du groupe fasse sonner le portique ;
2. Combien de personnes au minimum doivent passer le portique de s´ecurit´e pour qu’il ait plus d’une chance sur deux de sonner
Solution:
Partie A :
1. D’apr`es l’´enonc´e, nous avons l’arbre suivant :
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Durée : 3 heures
! Corrigé du baccalauréat ES/L – Liban 29 mai 2018 "
Exercice 1 6 points
Commun à tous les candidats
Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs.
On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.
On note :
• Sl’évènement « le voyageur fait sonner le portique » ;
• Ml’évènement « le voyageur porte un objet métallique ».
On considère qu’un voyageur sur 500 porte sur lui un objet métallique.
1. On admet que :
• Lorsqu’un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le por- tique sonne est égale à 0,98;
• Lorsqu’un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le por- tique ne sonne pas est aussi égale à 0,98.
a. D’après l’énoncé,P(M)= 1
500=0,002,PM(S)=0,98 etPM! S"
=0,98.
b. L’arbre pondéré ci-dessous illustre cette situation :
M 0,002
0,98 S
1−0,98=0,02 S
M 1−0,002
=0,998 S
1−0,98=0,02
0,98 S
c. D’après la formule des probabilités totales : P(S)=P(S∩M)+P!
S∩M"
=PM(S)×P(M)+PM(S)×P! M"
=0,002×0,98+0,998×0,02= 0,02192.
d. Par définition :PS(M)=P(M∩S)
P(S) =PM(S)×P(M)
P(S) =0,002×0,98 0,02192 ≈0,089
2. 80 personnes s’apprêtent à passer le portique de sécurité. On suppose que pour chaque per- sonne la probabilité que le portique sonne est égale à 0,02192.
SoitXla variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique, parmi les 80 personnes de ce groupe.
a. On répète de manière identique et indépendante (situation assimilée à un tirage avec re- mise) 80 fois de suite cette épreuve. Il s’agit d’un schéma de Bernoulli donc la variable aléatoireXsuit une loi binomiale de paramètresn=80 etp=0,02192.
2. (a) S∩M Le voyageur fait sonner le portique et port un objet m´etallique.
(b) P(S∩M) = 0,002×0,98 = 0,00196
3. (a) P(S) =P(S∩M) +P( ¯S∩M) = 0,002×0,98 + 0,998×0,02 = 0,02192 (b) ¯S :Le voyageur ne fait pas sonner le portique;
(c) P( ¯S) = 1−0,02192 = 0,97808
4. (a) S∪M :Le voyageur fait sonner le portique ou porte un objet m´etallique.
(b) P(S∪M) =P(S) +P(M)−P(S∩M) = 0,02196
5. La probabilit´e qu’un voyageur porte un objet m´etallique sachant qu’il a fait sonner le portique est d’environ P(S∩M)
P(S) ≈0,089.
Partie B :
Dans cette partie, on pourra s’aider d’un nouvel arbre.
1. SoitS1,S2 etS3 les ´ev´enements : La 1`ere (2`eme puis 3`eme) personne fait sonner le portique.
Nous pouvons mod´eliser cette situation par l’arbre suivant :
S¯1
S¯2 0,9 S¯3 S3 0,1
0,9
S2 0,9 S¯3 S3 0,1
0,1 0,9
S1
S¯2 0,9 S¯3 S3 0,1
0,9
S2 0,9 S¯3 S3 0,1
0,1
0,1
On en d´eduit que P( ¯S1∩S¯2∩S¯3) = 0,93 = 0,729. La probabilit´e que le portique ne sonne pas est de 0,729.
Au moins une personne fait sonner le portique est l’´ev´enement contraire qu’aucune personne ne fasse sonner le portique. La probabilit´e est 1−0,729 = 0,271.
2. En utilisant les arguments de la question pr´ec´edente, on peut dire que la probabilit´e qu’au moins une personne fasse sonner le portique sinpersonnes passent ce portique est 1−0,9n, pourn= 6, cette probabilit´e est d’environ 0,47. Pour n= 7, cette probabilit´e est de 0,52.
Il faut donc 7 personnes.
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Exercice 5 : ´Etude d’une fonction (35 minutes) (10 points)
Partie A
Soit f d´efinie par f(x) = 16x+ 33 x+ 3
1. D´eterminer l’ensemble de d´efinition de f.
2. Donner (`a l’aide de la calculatrice), le tableau de variations de f sur ]−10; 10[.
3. Commet s’appelle la courbe repr´esentative def? 4. Tracer sch´ematiquement cette courbe.
5. D´emontrer que pour x∈[0; 10], f(x) = 16− 15 x+ 3 6. En d´eduire le nombre de solution de f(x) = 16.
7. Justifier les variations def sur ]−3; +∞[
Solution: Partie A
1. f est d´efinie sur ]− ∞;−3[∪]−3; +∞[ ;
2. `A la calculatrice,
x f
−∞ -3 +∞
3. Cette courbe s’appelle une hyperbole ;
4. On pensera `a tracer les deux droites d’´equation y= 16 etx=−3 ; 5. 16−x+315 = 16x+ 48−15
x+ 3 = 16x+ 33
x+ 3 =f(x) ; 6. Il n’y a pas de solution `a l’´equation ;
7. Soientaetb deux r´eels dans ]−3; +∞[
a > b >−3 donca+ 3> b+ 3>0.
Or la fonction inverse est d´ecroissante sur ]0; +∞[, donc 1
a+ 3 < 1 b+ 3, donc 16− 15
a+ 3 >16− 15 b+ 3,
doncf(a)> f(b), doncf est strictement croissante sur ]−3; +∞[.
Partie B
Sur la figure ci-dessous,ABC etAM N sont deux triangles isoc`eles enA. Les pointsA,M etB d’une part etA,N etC d’autre part sont align´es. De plus (M N)//(BC).
On donne :
• AM =AN =x avec x∈[0; 10] ; • N C=M B = 3 etBC = 5.
Problèmes
112 • Chapitre 4 • Études de fonctions
53 Un problème d’aires
ABCD est un carré de côté x. L’unité est le centimètre. On prolonge le côté 6 @BC de 3 cm et le côté 6 @BA de 2 cm comme l’indique le dessin ci-dessous.
Le but de cet exercice est de savoir pour quelle(s) valeur(s) de x l’aire du rectangle BEFG est le double de l’aire du carré ABCD.
1. Conjecture à l’aide d’un tableur
a. À l’aide d’un tableur, réaliser une feuille de calcul similaire à celle qui fi gure ci-dessous.
b. Donner une valeur de x qui répond au problème posé.
2. Résolution algébrique
a. Exprimer en fonction de x l’aire f x^ h du carré ABCD et l’aire g x^ h du rectangle BEFG.
b. Montrer que résoudre l’équation g x^ h=2f x^ h est équivalent à résoudre l’équation -x2+5x+6=0. c. Démontrer que x 5x 6 x 25
4 49
2 2
- + + =-c - m + . d. Résoudre l’équation -x2+5x+6=0 et trouver la valeur de x répondant au problème. Comparer avec la conjecture faite dans la question 1.
3. La question 2. apporte-t-elle des informations supplé- mentaires à la question 1.b. ?
54 Variations de l’aire d’un triangle
ABCD est un carré de côté 1.
On place les points E et F respectivement sur les côtés 6 @AB et 6 @BC tels que EB=BF=x.
On étudie les variations de l’aire du triangle EFD en fonction de x.
1. À quel intervalle x appar- tient-il ?
2. Exprimer en fonction de x les aires des triangles EBF, FCD et AED.
3. Montrer que l’aire du triangle EFD en fonction de x est :
f x x2 x
2
=- +
^ h .
4. a. Résoudre l’équation f x^ h=0.
b. En déduire l’écriture de f x^ h sous la forme :
f x 21 x 2
=- -a +b
^ h ^ h .
5. Donner le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle 6 @0 1; .
55 Une confi guration de Thalès
Sur la fi gure ci-dessous, ABC et AMN sont deux triangles isocèles en A. Les points A, M, B d’une part et A, N, C d’autre part sont alignés. De plus ^MNh//^BCh.
On donne :
AM=AN=x avec x ! 60 10; @ ; NC=MB=3 et BC=5.
On se propose d’étudier les variations du périmètre du trapèze isocèle MBCN lorsque x varie de 0 à 10.
1. Exprimer en fonction de x la longueur MN.
2. Déduire de la question précédente que le périmètre p x^ h du trapèze MBCN est donné par :
p x xx 3
16 33
= +
^ h + .
3. Tracer la courbe représentative de la fonction p sur l’écran de la calculatrice. Conjecturer le sens de variations de cette fonction sur l’intervalle 60 10; @.
4. a. Démontrer que pour tout x ! 60 10; @ : p x 16 x153
= -
^ h + .
b. Démontrer la conjecture du 3.
5. Est-il possible d’avoir p x^ h=15 ? Justifi er.
56 Des paraboles en architecture
Construits par Eugène Freyssinet (1879-1962), les hangars d’Orly sont des chefs-d’œuvre incontestés de l’architecture du
XXe siècle. Les voûtes sont formées d’arcs en béton armé dont les dimensions sont les suivantes : une portée de 75 m, une largeur de 86 m. La structure est une grande voûte formée par un voile plié constitué de 40 ondes de forme parabolique.
1
D 1
A E B
C F x x
Utilisation réservée à l’examen du CAPES externe de mathématiques – Avril 2014
On se propose d’´etudier les variations du p´erim`etre du trap`ezeM BCN lorsquexvarie de 0 `a 10.
1. Exprimer en fonction dex la longueurM N (on pourra utiliser Thal`es).
2. En d´eduire que le p´erim`etre du trap`ezeM BCN est donn´e par f(x).
2nd10 DS 8 Page 5 sur 5 3. Que peut-on dire de ce p´erim`etre lorsque x croit. On justifiera la r´eponse.
4. Est-il possible d’avoir un p´erim`etre de 16 ? Solution:
1. M N
BC = AN
AC ⇔M N = AN ×BC
AC = 5x
x+ 3. 2. Le p´erim`etre estM N+N C+CB+BM = 5x
x+ 3+ 11 = 5x+ 11(x+ 3)
x+ 3 = 16x+ 33
x+ 3 =f(x) ; 3. f est croissante. Donc le p´erim`etre devient plus grand lorsquex croit.
4. Un p´erim`etre de 16 revient `a r´esoudref(x) = 16. Le p´erim`etre ne pourra donc jamais ˆetre 16.
Exercice 6 : Prise d’initiative (15 minutes) (3 points)
D’apr`es l’Enquˆete nationale pr´enatale de 2010 r´ealis´ee par l’Inserm, la probabilit´e d’une grossesse donnant lieu `a une naissance pr´ematur´ee en France est de 6,6% mais est accentu´ee par le fait que la grossesse soit multiple (jumeaux, tripl´es, etc) ou non.
Plus pr´ecis´ement, cette probabilit´e est de 41,7% en cas de grossesse multiple contre 5,5% sinon.
On choisit une grossesse au hasard en France, quelle est la probabilit´e qu’elle soit multiple ? Solution: On s’aide d’un arbre pour r´epondre `a la question.
Soient M l’´ev´enement :La grossesse est multiple et
P la grossesse est pr´ematur´ee.
Les donn´ees nous donnent l’arbre suivant :
M¯ 0,945 P¯ 0,055 P M 0,583 P¯
0,417 P
Nous avons P(P) =P(M∩P) +P( ¯M∩P) = 0,066.
C’est-`a-direP(P) =P(M)×0,417 + (1−P(M))×0,055,
ce qui est ´equivalent `a P(M)×(0,417−0,055) =P(P)−0,055 o`u encore P(M) = 0,011
0,362 ≈0,030.
La probabilit´e d’avoir une grossesse multiple est donc de 0,030.
