HAL Id: hal-00092384
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Submitted on 11 Aug 2008
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Une approche non destructive pour l’identification de contraintes de contact
J. Ben Abdallah, Marc Bonnet
To cite this version:
J. Ben Abdallah, Marc Bonnet. Une approche non destructive pour l’identification de contraintes de contact. Comptes Rendus de l’Academie des Sciences Serie II, Gauthier-Villars, 2000, 328, pp.525-529.
�10.1016/S1620-7742(00)00022-2�. �hal-00092384�
Une approche non destructive pour l’identification de contraintes de contact
Jalel Ben Abdallaha,b, Marc Bonnetc
a Ecole Sup´erieure d’Ingenieurs de l’Equipement Rural (ESIER). Route du Kef, Km 5. Medjez-el-bab, Tunisie.
b Laboratoire de mod´elisation math´ematique et num´erique dans les sciences de l’ingenieur (LAMSIN), Ecole Nationale d’Ing´enieurs de Tunis - BP 37, 1002 Tunis-Belv´ed`ere.
Courriel : jalel.benabdallah@enit.rnu.tn
c Laboratoire de M´ecanique des Solides (CNRS UMR 7649), Ecole Polytechnique - 91128 Palaiseau cedex Courriel : bonnet@lms.polytechnique.fr
(Rec¸u le , accept´e le )
R ´esum ´e. Cette Note concerne une m´ethode non destructive d’identification de la distribution de con- traintes de contact entre un poinc¸on rigide et un massif ´elastique semi-infini au moyen de mesures du d´eplacement normal et des d´eformations tangentielles `a la surface libre du massif. Les r´esultats num´eriques, obtenus pour des configurations axisym´etriques, valident cette m´ethode, y compris en pr´esence de donn´ees exp´erimentales inexactes et quand la zone de contact n’est pas a priori exactement connue (exp´erience d’indentation). c2000 Aca- d´emie des sciences/ ´Editions scientifiques et m´edicales Elsevier SAS
identification non destructive /contact ´elastique / probl`eme inverse / essai d’indenta- tion
A Non-destructive Approach for the Identification of Contact Stresses
Abstract. This note presents a non destructive method for the identification of contact stresses between a rigid punch and an elastic half-space from measurements of normal displacements and tangential strains on the traction-free part of the surface. Numerical results obtained on axisymmetric sample problems validate the identification method, even in the presence of imperfect data and when the contact zone is not exactly known a priori. c2000 Acad´emie des sciences/ ´Editions scientifiques et m´edicales Elsevier SAS
non destructive identification / elastic contact / inverse problem / indentation test
Abridged English version
This Note addresses the identification of contact stress distributions pi(y1, y2) (i = 1,2,3) between a rigid punch and an elastic half-space (defined by {x3 ≤ 0} in terms of adequate Cartesian coordi- nates(Ox1x2x3)) using measurements of normal displacementsu3(x1, x2)and in-plane strainsεkℓ(x1, x2) (k, ℓ= 1,2) at sensor locationsxaway from the punch. Analysis of the reconstructed contact stress distri- butions is expected to provide valuable insight about the nature and characteristics of the friction law.
Note pr´esent´ee par Everiste SANCHEZ-PALENCIA
S1620-7742(01)0????-?/FLA
c 2000 Acad´emie des sciences/ ´Editions scientifiques et m´edicales Elsevier SAS. Tous droits r´eserv´es. 1
J. Ben Abdallah, M. Bonnet
Well-known integral representation formulas allow to recast the identification problem in the form of a system of first-kind Fredholm integral equations (1,2), which constitute a linear ill-posed problem [4]
(Uik: components of the Boussinesq (k = 3) and Cerruti (k = 1,2) fundamental solutions; S: contact zone under the punch). Eqs. (1,2) are valid for a contact zone of arbitrary shape, but the present study is restricted to axisymmetric conditions about Ox3 (so that S is a disk of radius a). Using cylindrical coordinates(y1 = ρcosθ, y2 = ρsinθ), an analytical angular integration reduces (1) to (3,4) [5], from which expressions forερρ(r) =duρ/drandεθθ(r) =uρ/ρare easily derived; one thus obtains a system of first-kind integral equations of the form (5).
In practice,ερρ, εθθ, u3are only known at discrete observation pointsr1, . . . , rm. The unknownspρ, p3 must also be interpolated, here using continuous and piecewise linear functions on0≤ρ≤ˆa(ˆa: an upper bound ofaifais not known exactly). Hence, from (5), the(2n−1)-vectorp={p13, p2ρ, p23, . . . , pnρ, pn3}of unknowns and the3m-vectord={ερρ(ri), εθθ(ri), u3(ri), 1≤i≤m}T of observations satisfyGp=d, where the matrixGis found to be very ill-conditioned. Hence a Tikhonov-type regularized formulation (6) is used [7], the regularization parameterαbeing computed using the cross-validation method [3, 4].
The inversion method is numerically tested for a Hertzian load (a= 15mm) and a Coulomb friction law of coefficientf = 0.45, for which simulated data is computed using (5). Numerical inversions are made forn= 20andm= 7or70(theriare regularly spaced, with 20 mm≤r≤50 mm). Simulated Gaussian random noise with zero mean and relative standard deviationeis added to the simulated data (e= 0,0.01 or0.03). Using firstaˆ=a(i.e. assuming a known contact radius), inversion results form= 7are fair with e= 0but become poor in the presence of data noise; results form= 70are better (figure 1). Then, using only the upper boundˆa2 =δ(2R−δ)ofa(δ: indentation depth,R: punch radius), inversion results for bothm= 7andm= 70tend to oversmooth the solution and not to reflect very accurately the contact and adherence radii (figure 2).
To achieve more accurate reconstruction of contact stress distributions under the punch for indentation experiments, the inversion approach should be refined. The next step will consist of treating the contact radius as unknown (the inversion being non-linear with respect toa). More sophisticated regularization approaches, aiming at avoiding oscillating reconstructions while allowing for limited amounts of disconti- nuities [6], may also be considered in the future.
1. Introduction. Probl`emes direct et inverse
On s’int´eresse dans cette Note `a l’identification de distributions de contraintes de contact entre un poinc¸on rigide et un massif ´elastique semi-infini de caract´eristiques ´elastiques connues. La connaissance de ces con- traintes permettrait en particulier d’identifier la nature (locale ou non locale), le type (Coulomb, Tresca...) et les param`etres de la loi de frottement [2]. Ces contraintes ne sont toutefois pas directement accessibles
`a la mesure, la mise en place de capteurs sous le poinc¸on ´etant g´en´eralement impossible. Leur identifica- tion n´ecessite alors l’exploitation de mesures ext´erieures, et devient un probl`eme inverse. On se propose ici d’examiner l’exploitation de mesures de d´eplacement normal et de d´eformations tangentielles `a l’ext´erieur de la zone de contact.
Le probl`eme direct consiste donc `a calculer les d´eplacements et les d´eformations `a la surface d’un mas- sif ´elastique semi-infini, de comportement ´elastique homog`ene et isotrope, connaissant la distribution des contraintes normales et tangentielles dans la zone de contactS. Un rep`ere cart´esien(Ox1x2x3)est choisi de telle sorte que le massif occupe le domaine {x3 ≤ 0}de fronti`ere Γ = {x3 = 0}; e3 en est donc la normale unitaire sortante. Les composantesuk(x1, x2)du d´eplacement en un pointx = (x1, x2,0)de la surface sont explicitement reli´ees `a la distribution du vecteur-contrainte dans la zone de contact (com- posantespi(y1, y2) =σi3(y1, y2)) par la formule de repr´esentation int´egrale [1] :
uk(x1, x2) = Z
S
pi(y1, y2)Uik(y1−x1, y2−x2)dy1dy2 i, k∈ {1,2,3} (1) 2
o `u Uik(z1, z2)d´esigne la composante i du champ de d´eplacement au pointz d’un massif semi-infini `a surface libre par l’application au pointOd’une force ponctuelle unitaire dirig´ee selonxk (solutions fonda- mentales de Boussinesq pourk= 3et de Cerruti pourk= 1,2). Les composantes tangentielles du tenseur des d´eformationsε(x)`a la surface sont alors donn´ees par :
εkℓ(x1, x2) =− Z
S
pi(y1, y2)h
Ui,ℓk (y1−x1, y2−x2) +Ui,kℓ (y1−x1, y2−x2)i dy1dy2
(i∈ {1,2,3}, k, ℓ∈ {1,2}) (2) Le probl`eme inverse objet de cette Note consiste `a reconstruire la distribution d’effortsp(y1, y2)sur S `a partir de mesures de d´eplacement et de d´eformations en des pointsxsitu´es `a l’ext´erieur de la zone de contact, en exploitant les identit´es (1), (2). Dans ces conditions, les noyauxUik(y1−x1, y2−x2)et Ui,kℓ (y1−x1, y2−x2)sont de carr´e int´egrable surS. Les relations (1), (2) d´efinissent un probl`eme d’in- version lin´eaire mal pos´e [4] (r´esolution d’´equations int´egrales de Fredholm de premi`ere esp`ece), d’un type g´en´eral rencontr´e dans une grande vari´et´e de probl`emes inverses mais dont l’utilisation en m´ecanique du contact ne nous semble pas encore avoir ´et´e faite.
2. Mise en œuvre dans le cas axisym´etrique
Les ´equations (1), (2) sont applicables `a des situations tridimensionnelles, mais on se restreint ici `a l’hypoth`ese d’axisym´etrie autour de l’axeOx3; en particulier la zone de contactSest suppos´ee circulaire de rayona. Apr`es introduction de coordonn´ees cylindriques(y1 = ρcosθ, y2 = ρsinθ, y3 = z)et une int´egration analytique par rapport `aθ∈[0,2π], la formule (1) se r´eduit `a [5] :
uρ(r) = 2(1−ν) πµ
Z a
0
n t2+r2
2r(t+r)K(k)−t+r 2r E(k)o
pρ(t)dt−(1−2ν) 2µr
Z a
0
tp3(t)dt (3) u3(r) = 2(1−ν)
πµ Z a
0
t
t+rK(k)p3(t)dt (4)
o `u r > aest la distance du point d’observation au centre de la zone de contact etK(k), E(k)sont les int´egrales elliptiques compl`etes de premi`ere et seconde esp`ece (aveck2= 4tr/(t+r)2). Les d´eformations ερρ(r) = duρ/dr et εθθ(r) = uρ/ρ ´etant facilement obtenues `a partir de (3), on a donc un syst`eme d’´equations int´egrales de premi`ere esp`ece de la forme :
(ερρ(r) εθθ(r) u3(r)
)
= Z a
0
"
gρρ(r, t) gρ3(r, t) gθρ(θ, t) gθ3(r, t) g3ρ(r, t) g33(r, t)
# npρ(t)
p3(t)
odt (5)
Pour les applications, il faut supposer queερρ, εθθ, u3 sont mesur´es en un nombre fini de points d’ob- servationr1, . . . , rm, et discr´etiser les fonctions inconnuespρ, p3. Les r´esultats d’inversion pr´esent´es ci- apr`es reposent sur une interpolation lin´eaire par morceaux et continue depρetp3, le segment[0,ˆa]´etant d´ecoup´e ennintervalles de longueurs ´egales (ˆaest un majorant du rayon de contacta, ce dernier n’´etant pas n´ecessairement connu). En introduisant le3m-vecteurd = {ερρ(ri), εθθ(ri), u3(ri), 1 ≤i ≤ m}T des observables et le(2n−1)-vecteurp ={p13, p2ρ, p23, . . . , pnρ, pn3}des contraintes nodales inconnues (ayant pos´epiρ,3=pρ,3( (i−1)ˆa/n), impos´epρ,3(ˆa) = 0et remarqu´e que n´ecessairementpρ(0) = 0), la relation (5) et la connaissance de la force de contact r´esultante conduisent `a une relation matricielle de la forme Gp=d.
La matriceGest, comme attendu, tr`es mal conditionn´ee : on a observ´e Cond(G)≈6 10−16ou2 10−18 pour(m, n) = (7,20)et (70,20) respectivement, et la valeur singuli`ere deGde rangkse comporte approx- imativement commeexp(−k). La r´esolution directe deGp = d´etant impraticable, on introduit, suivant
J. Ben Abdallah, M. Bonnet
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
ρ
distributions de contraintes
pρ exact pz exact pρ (e=0) pz " "
pρ (e=0.01) pz " "
pρ (e=0.03) pz " "
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
ρ
distributions de contraintes
FIG. 1 – Identification de contraintes de contact hertziennes avec frottement de Coulomb : rayon de contact estim´e par exc`es, 7 points de mesure (`a gauche) et 70 points de mesure (`a droite).
Identification of Hertzian contact stresses with Coulomb friction : upper-bound estimation of the contact radius, 7 measurement points (left), 70 measurement points (right).
une d´emarche classique [7], le probl`eme r´egularis´e : pα= arg min
q Rα(q) Rα(q) = 1 2
h(Gq−d)T(Gq−d) +αqTDqi
(6) Le param`etre de r´egularisationαest d´etermin´e par un proc´ed´e it´eratif (crit`ere de validation crois´ee [3]), et la matrice (positive et sym´etrique)D, choisie dans le but de p´enaliser les solutionsptr`es oscillantes, provient de la discr´etisation de
Z ˆa
0
d dtpρ(t)2
dt+ Z ˆa
0
d
dtp3(t)2
dt (7)
3. R´esultats et discussion
Afin de tester la m´ethode d’inversion, on cherche `a reconstruire un chargement hertzien, pour une zone de contact de rayona= 15mm et une loi de frottement de Coulomb (pρ < f p3dans la zone d’adh´erence, pρ = f p3 dans la zone de glissement) de coefficient f = 0.45;les donn´ees du probl`eme inverse sont simul´ees par introduction de ce chargement dans (5), avec une subdivision n = 200. Lesm points de mesure sont r´eguli`erement r´epartis sur l’intervalle 20 mm≤r≤50 mm. Les donn´ees sont parfois bruit´ees par l’addition de nombres al´eatoires gaussiens, de moyenne nulle et d’´ecart-type relatife= 0,01ou0,03.
Les inversions reposent sur une subdivisionn= 20.
Le rayon de contact est d’abord suppos´e connu(ˆa=a). Les r´esultats obtenus par la proc´edure d’inver- sion r´egularis´ee pourm= 7sont convenables en l’absence de bruit mais m´ediocres sinon ; ceux obtenus pourm= 70sont nettement meilleurs (figure 1).
On consid`ere ensuite le cas o `u le rayon de contactan’est pas connu exactement mais estim´e par exc`es
`a partir de la profondeur d’indentationδ, suppos´ee mesur´ee ainsi que l’effort normalP (ˆa2 =δ(2R−δ) pour un poinc¸on sph´erique de rayonR). Les r´esultats d’inversion obtenus pour 7 ou 70 points de mesure (figure 2) pr´esentent des profils de contraintes convenables. On remarque cependant que, du fait de la r´egularisation adopt´ee qui favorise des profils tr`es lisses, les rayons de contact et, surtout, de s´eparation 4
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
ρ
distributions de contraintes
pρ exact pz exact pρ (e=0) pz " "
pρ (e=0.01) pz " "
pρ (e=0.03) pz " "
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
ρ
distributions de contraintes
FIG. 2 – Identification de contraintes de contact hertziennes avec frottement de Coulomb : rayon de contact connu exactement (ˆa=a), 7 points de mesure (`a gauche) et 70 points de mesure (`a droite).
Identification of Hertzian contact stresses with Coulomb friction contact radius known (ˆa=a) : 7 measure- ment points (left), 70 measurement points (right).
entre zones d’adh´erence et de glissement, qui correspondent `a des discontinuit´es de d´eriv´ee, n’apparaissent pas clairement si les donn´ees sont bruit´ees.
Dans l’optique d’une reconstruction plus pr´ecise des distributions de contraintes de contact sous le poinc¸on durant une exp´erience d’indentation (qui permettrait de d´eterminer l’existence d’une loi de frotte- ment et, dans l’affirmative, d’en identifier les param`etres) il importe donc d’affiner la m´ethode d’inversion.
Notre prochaine ´etape sera de traiter le rayon de contactacomme une des inconnues, et de discr´etiserpρ, p3 sur l’intervalle variable0≤r≤a; le probl`eme d’inversion est alors bien entendu non-lin´eaire par rapport `a a. On peut ´egalement envisager l’utilisation de techniques de r´egularisation plus sophistiqu´ees, issues de la communaut´e du traitement du signal et de l’image [6] et conc¸ues pour ´eviter les reconstructions oscillantes tout en permettant l’apparition d’un nombre limit´e de discontinuit´es.
R´ef´erences bibliographiques
[1] BONNET, M. Equations int´egrales et ´el´ements de fronti`ere.. CNRS Editions / Eyrolles, Paris, France (1995).
[2] BUI, H. D. Introduction aux probl`emes inverses en m´ecanique des mat´eriaux. Eyrolles, Paris (1993).
[3] GOLUB, G. H., VAN LOAN, C. F. Matrix computations (second edition). Johns Hopkins University Press, Baltimore (1989).
[4] HANSEN, P. C. Rank-deficient and discrete ill-posed problems. SIAM, Philadelphia, USA (1998).
[5] JOHNSON, K. L. Contact mechanics. Cambridge University Press (1985).
[6] MARTIN, TH. Inversion bay´esienne du probl`eme non-lin´eaire de tomographie d’imp´edance ´electrique mod´elis´e par une m´ethode d’´el´ements finis. Th`ese de Doctorat, Universit´e Paris XI Orsay, France (1997).
[7] TIKHONOV, A. N., ARSENIN, V. Y. Solutions to ill-posed problems. Winston-Wiley, New York (1977).
