Théorie de la capillarité - (4e mémoire)

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Submitted on 1 Jan 1903

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Théorie de la capillarité - (4e mémoire)

Gerrit Bakker

To cite this version:

Gerrit Bakker. Théorie de la capillarité - (4e mémoire). J. Phys. Theor. Appl., 1903, 2 (1), pp.354-366.

�10.1051/jphystap:019030020035401�. �jpa-00240762�

354

ligne ^{et que cette} décharge ^{est due au} voisinage ^{de la} ligne ^{et du fil}

de terre du bureau, ^{comme le montre la} fusion du tube de plomb placé ^{en ce} point. ^De plus, ^cette décharge ^{a été localisée sur la} ligne,

entre ce point ^{et la tour, car le reste de la} ligne ^et la sonnerie S, ^en circuit, situés dans le bureau, ^n’ont pas été endommagés.

Ces faits s’expliquent facilement si ^{on se} rapporte ^{au schéma des} connexions, ^{en ce} qu’ils ^sont la réalisation d’un cas particulier ^des expériences ^de Lodge ^{sur la} décharge dynamique.

Un fait analogue ^s’était déjà produit ^{sur cette même} ligne, ^le

février 1891, pendant ^un orage ^à neige; ^{la cause en est très} pro- bablement la même, puisque ^{les fils} passaient ^aux mêmes endroits.

On a remédié à ces inconvénients en établissant un fil de retour,

supprimant ^{ainsi toute mise à la terre à la tour et,} par suite, ^tout danger d’un nouvel accident du même genre.

THÉORIE DE LA CAPILLARITÉ

(4e mémoire) ;

Par M. GERRIT BAKKER.

§ ^{1. -} L’équ£libr’e liqttide. ^{- Ce} sont surtout les. phénomènes

de capillarité qui conduisent à admettre l’existence de deux séries de forces entièrerrtent distinctes existant entre les particules ^d’un liquide.

Les premières ^sont les forces de cohésion de Laplace, que l’on peut concevoir comme des forces à distance ; ^les autres sont des forces

calorifiques s’exerçant uniquement ^entre des éléments adjacents ^et

donnant naissance à la pression thermique. ^Pour qu’un élément de volume soit en équilibre ^sous l’influence de ces deux sortes de forces,

on doit avoir dans chaque direction, ^{0 étant la} pression thermique,

p la densité et V le potentiel des forces de cohésion (2) :

D’autre part, ~ ^étant l’énergie ^libre par unité _{de masse,} on a pour (1) ^3e série, ^t. YIII, p. ;»~ ; 1899 ; ^{- 3e} série, ^t. IX, p. 3!J4;

1000; ^{- 31} série, ^t. X, p. 135 ; 1901 ; ^{- et 4e} série, ^t. J, p. 105 ; ^1902.

(2) ^{Dans les autres} mémoires, j’ai représenté ^le potentiel par la lettre ~.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:019030020035401

355

l’équilibre de l’élément de volume dz, d’après ^le principe ^{de Gibbs :}

En exprimant que la ^masse totale doit rester invariable, ^{on a la}

condition :

L’équation (1), ^d’une part, ^les équations (2) ^et (3), ^de l’autre, expriment ^de deur manières différentes ^{la même condition} d’équi- libre ; elles doivent être équivalentes, ^{ce que} je ^{vais démontrer.}

Considérons la variation de l’intégrale ^{de volume}

dans laquelle ^{0 est} considérée comme une fonction de _p (la température

étant constante), ^{l’indice 1 se} rapportant ^{à une densité} fixe; ^{on aura :}

Avec la condition ^- _o, la variation de l’intégrale précé-

dente s’écrit encore :

en représentant ^par V4 ^le potentiel ^d’une phase homogène ^{de de n-}

sité fixe, auquel ^{cas on a aussi :}

356

La condition pour que lai variation ^de l’intégrale ci-dessus soit nulle est :

d’où l’on a nécessairement (1) ^{da = -}

Les conditions :

et

sont équivalentes ^{avec c~6 = -} rdv (4) .

Or l’équation thermodynamique ^de Clapeyron-Clausius (t) :

montre _{que T} (

On a donc :

est la pression thermique ^{0 et} la cohésion.

0 ne dépendant que de ^la densité au point considéré ; ^{d’où :}

La condition (4) ^{est donc} équivalente à :

L’intégrale représente l’énergie potentiellc ; ^à tempéra-

(1) ^{Voir J. de 3°} série, ^t. VIT, p. 1~2-l~a ; ^1898.

357 ture constante, ^la variation de l’énergie ^{totale E est} égale à ^{celle de} l’énergie potentielle ; ^{donc : - - -}

. La condition (4) devient donc :

ou

Les conditions (2) ^et (3) ^{sont donc} équivalentes avei (1) .

§ ^{2. ---} -Équation différentielle de la densité dans la couche laire. ^- Van der Waals a trouvé l’équation ^{donnant la} variation de la densité dans la couche capillaire ^en appliquant ^les équations (2)

et ~3) ^{à la couche} capillaire ^en équilibre ^{entre les} phases homogènes

du liquide ^{et de sa} vapeur. ^{Il est} donc possible, ^{en vertu de} l’équi-

valence qui vient d’être démontrée, ^{de trouver la} variation de la densité en partant ^de l’équation (1).

Soit _p la pression existant dans une masse homogène ^{de densité} égale ^{à celle} qui règne ^au point considéré de la couche capillaire ;

on a :

’

Portons dans (1); il vient :

En intégrant ^{et en} remarquant que v - 1, ^{il vient :}

P

L’indice 1 se rapportant ^{à la} phase liquide, ^{on a :}

Soit p ^le potentiel thermodynamique ^{d’une masse} homogène ^de

358

densité p :

d’où, ^{en vertu de} (6), ^{il vient :}

Substituons, ^dans (7), ^{à V,} l’expression suivante trouvée par Max- well, ^lord Rayleig~h ^{et Van der Waals :}

et dans laquelle ^{c2, c 4’ ..., sont des} constantes indépendantes ^{de la}

fonction de force, ^{et dh est la} différentielle dans une direction normale à la surface, différentielle positive ^dans la direction liquide-vapeur;

il vient alors : -.

ce qui ^{n’est autre chose que} l’équation ^de Van der Waals.

Si l’on adopte la fonction de force , on a les relations :

L’équation (8) ^{devient donc :}

S ^{3. - Le} potentiel ^{et la} force ^{en un} point de la couche capillaire.

- En adoptant ^la fonction de force précédente, ^{on a} pour le poten- tiel V (4) :

-

- (1) ^G. BAKKER, ^{J. de} Plays., ^3, série, ^t. IX, p. 396; ^1900.

359

ou bien, ^{V étant dans la couche} capillaire fonction de h seule :

Éliminons V + 2ap ^entre les relations (10) ^et (7), il viens :

Or le membre de droite de cette équation ^{n’est autre chose}

que

l’intégrale vdP

1

-NMGH +LFGlVI ^{de la} d, qui représente, ^{de H en K, la}

FiG. 1.

partie théorique de l’isothern-ie. F est le point ^où la densité ^est égale

à celle du point considéré de la couche capillaire. Si, ^en particulier,

F correspond ^au point où u. - 1L1 s’annule, ^on doit avoir : Surface NMGH ⁼ surface LFGM.

La différence s’annule donc trois fois, ^aux pointsH, ^{F et K.}

Il d. ^A d ^ae d d2V ,

’d. 1 b ^{. ,}

Il doit en être de même de

dh2 c’est-à-dire que la courbe qui repré-

sente V ^en fonction de h doit être asymptotique ^{à deux droites se} rapportant ^aux potentiels ^des phases homogènes ^du liquide ^{et de la}

vapeur; de plus, ^la courbe doit avoir un point d’inflexion Q (V. flg. 2).

360

.- cV

L’expression _dh ^au F oint Q, ui ^{n’est autre} que ^la tangente ^de l’angle ^x, représente ^en valeur absolue l’intensité maxima du champ

de force dans la couche capillaire (à l’intérieur des phases ^homo- gènes ^du liquide ^ou de la vapeur, le champ ^{de force est} nul). ^Cette

FIG. 2.

intensité maxima se calcule de la manière suivante : La pression hydrostatique perpendiculairement ^à la surface de la couche capil-

laire doit être en tout point égale ^à la tension de la vapeur ^et peut

être considérée comme la différence entre la pression thermique ^{0 et}

la cohésion dans cette même direction. Or, pour la cohésion, j’ai

trouvé (’) :

Soit p, ^la pression de la vapeur, ^{on a} donc :

d’où, ^en remarquant que ⁼ 2xfh2, ^@

Pour le point d’inflexion Q (fig. 2) . ^{o, d’où, en vertu de} (10),

Pour le point d’inflexion Q ‘? j : _dIZ2 ^{= o, d’où, en vertu de} (10),

(1) ^G. BAIiKER, J. cle Phys., ^3e série, ^t. IX, p. 400; ^1900. 1 .

361 D’autre part, soit p ^la pression ^d’une phase homogène ^{de densité}

. égale ^{à celle du} point considéré de la couche capillaire ; ^{on a aussi : -.}

En éliminant 0 et V entre (12), (i3) ^et (fà j, il vient :

ou

2)~ -- p n’est ^autre chose que ^la distance SF dans la fig, ^{~1. A mesure} que la température ^s’élève, SF diminue pour devenir nulle ^au point critique ; ^de même, tang ^oc ~) ^diminue aussi pour s’annuler ^{à la}

température critique ^{où les droites BB’ et} CC’ coïncident.

4. ^- L’épaisseur ^{de la couche} capillaire. ^{--- Dans une} théorie de la

_ r

capillarité ^{où l’on a introduit une fonction de force} connue ee

on ne peut pas, dans ^{le sens} propre du mot, parler d’une couche

capillaire d’épaisseur finie, ^{car, au} point ^{de vue} purement théorique,

les pliases liquide ^et vapeur ^ne deviennent homogènes qu’à ^{une dis-}

tance infinie de part ^et d’autre de la courbe capillaire. ^{Pour la cons-}

tante capillaire ^de Laplace, j’ai donné la formule (’ ) :

les indices se rapportant ^aux phases homogènes. Rigoureusement ^il

faut écrire :

En réalité, ^on prend l’intégrale ^entre deux limites telles qu’on puisse négliger la différence avec l’expression (17) ^{ou, ce} qui ^revient

(1) ^G. BAKKER, ^{J. de} Plzys., ^3, série, ^t. IX, p. 402; ^1902.

362

au même, ^on remplace ^{la lqg. 2} par la flg. 2 bis, ^dans laquelle

PS’ représente ^ce qu’on appelle l’épaisseur ^{de la couche} capillaire.

L’épaisseur de la couche capillaire ^n’est donc pas ^une grandeur

FIG. 2 b is.

"

comme la longueur d’onde d’une certaine radiation simple, ^{mais une}

valeur pratique au-dessous de laquelle ^{on ne} pourrait pas descendre

sans commettre une erreur sensible dans le calcul de la constante

capillaire (1).

(~) La ^surface

PSTP’ = f2

1

effet, ^en intégrant les deux membres de l’équation (10), ^il vient, ^en remarquant

s’annule pour ^les phases homogènes :

2

Or

1

donc :

Cette relation est indépendante ^{de la} fonctiun ^{de car, dans le cas} général,

2

on a, ^en intégrantles ^{deux membres de} l’équation (8),

(u

Dans le cas général, l’équation (7) ^{donne :} donc on a encore :

363

O f. lA v

L.., ^{.. ,} d h On peut _p faire la même remarque _q pour p

2013 ’ L’intensité

de force en fonction de h ^est réellement représentée par ^une courbe telle que x y’QWy 3) ; ^{mais on la} remplace ^{par la}

FIG. 3.

courbe LVQWM. La surface comprise entre cette courbe et l’axe des h représente le double de la chaleur de vaporisation ^{interne r.}

On a en effet :

Pratiquement, ^{si on considère} LVQS ^et SQ WM ^comme des seg- ments paraboliques ayant ^une tangente ^{commune en} Q ^{et LM comme} l’épaisseur de la couche capillaire, ^{on trouve,} pour la surface

LVQWML, QS ^{étant la valeur maxima de}

7h :

d’où, ^{en vertu de} l’équation (4 8),

La distance du ^centre de gravité de la surface LVQWML ^{à l’axe}

des ^est donnée par l’expression ^connue, laquelle, ^{en tenant} compte des relations (16) ^et (18), ^{donne : -}

364

D’autre parut, LVQNVyL ^{étant la somme de deux} segments ^para- boliques, ^{la même distance est aussi} représentée par :

d’où il vient, ^en égalant ^{les deux} expressions :

Selon qu’on ^élimine il», ^{- p ou r entre les} équations (19) ^et (20),

on obtient pour l’épaisseur li, de la couche capillaire :

Pratiquement, ^on peut admettre l’expression simple :

Or j’ai ^trouvé antérieurement pour la ^constante capillaire ^de

l,aplace (1): ^-

expression ^dans laquelle ~~ représente ^la pression ^à l’intérieur de la couche capillaire ^{dans une direction} perpendiculaire ^{à sa surface} (p, ^- pression de la vapeur saturée), ^{et 1J2 la} pression parallèlement

à la surface. En égalant les valeurs de H données par (22) ^et (~3), ^il

vient :

d’oÙ:

La moyenne parallèlement ^{à la} surface de la couche capil-

laire est égale ^{à la} pression de l’isother?ne théorique ^au point ^F (de ^la fig. i) ^{où le potentiel} 1fierJYiod y7ùaJniqie p ^est égal à ^{celui des} phases honzogènes.

(1) ^G. BAKKER, ^{J. de} Ph?Js., ^3e série, ^t. IX, p. ~03 ; ^1900.

365 On peut ^{encore dire : Le} potentiel thernodynanaiclue ^{a la 1nênze}

valeur aux I)oints H, ^{I et F de} l’isother»îe (fig. l ) . ^La pression ^cor- respondant ^aux I)oints ^{H et K et celle} qui correspond ^au point ^{F sont}

les pressions ^existant pe>.pe>idiculai>.eJoeie7ùt ^et par’allè-

lement cc la couche capillaire.

_

FIG. 4.

L’expérience ayant ^montré (Berthelot, Pacinotti, ^{Leduc et Sacer-} dote) que la pression ^à l’intérieur d’un liquide peut ^être négative (1),

c’est-à-dire que l’isotherme peut couper l’axe des volumes (1qg. 4), ^il

est vraisemblable que le point ^F peut tomber au-dessous de l’axe des volumes. La relation (~?~~) indique qu’il ^{doit en être ainsi. En} effet., ^{la constante} capillaire ^de Laplace, II, donnée par (23), ^{est rela-}

tivement grande ^{aux basses} températures ; ^il s’ensuit que Pt, tension de la vapeur saturée, ^étant petite, nécessairement P2clh ^doit

1

négal£ve, ^et par suite p. Le point ^{F se trouve} donc au-dessous de l’axe des abscisses.

Pour la température ^{où le} point ^{I~ est situé sur l’axe des volumes,}

on a :

(’) ^{Voir VAN DEn et J. de} Phys., ^4° série, ^t. 1, p. 718: ^1902.

366

l’épaisseur de la couche capillaire ^est égale ^au quotient ^{de la cons-}

tante capillaire par la tension de la vapeur saturée. La température

où il en est ainsi ne peut pas ^être très éloignée ^{de la} température ^cri- tique, car, ^aux températures basses, ^{H est} relativement grand et p ,

petit, tandis que h, ^{doit rester} petit. ^{Van der Waals} (’ ) ^trouve pour la

température ^où le minimum B de l’isotherme est situé sur l’axe des

volumes, ^{celui-ci étant} tangent ^à l’isotherme:

Lorsque ^la température ^{s’abaisse à} partir ^{de la} température ^cri- tique, ^{on trouve donc} relativement tôt des isothermes qui coupent l’axe des abscisses, ^ce qui ^{est d’accord avec la} petitesse du rayon de courbure au point B, ^et c’est pour ^cette raison que la relation (25) s’applique ^{à une} température ^où la tension de la vapeur ^{saturée est}

encore assez grande.

’

G. QUINCKE. 2014 ^Die Oberflächenspannung ^an der Grenze von Alkohol mit wäs-

serigen Lösungen Bildung ^{von Zellen} Sphärokrystallen ^und Krystallen (Tension superficielle à la surface de séparation ^{de l’alcool et des} dissolutions _aqueuses.

Formation de mousse, de cristaux liquides ^{et de} cristaux). ²⁰¹⁴ Drude’s Annalen der Physik, ^t. IX, p. 1-44; ^1902.

La tension superficielle à la surface de séparation ^{de l’eau et de}

l’éther est d’abord 1,25 _mmg, quand les surfaces sont fraîchement

renouvelées ; elle décroît ^avec le temps par suite de la dissolution de l’eau dans l’éther. Cette diminution est d’un tiers au bout de trois heures.

La tension superficielle ^à la surface de séparation ^{de l’eau et de}

l’alcool est très faible, ^{décroît encore} quand ^{la durée du contact} aug- mente, _provoque ^la formation de lignes ^{ondulées et} hélicoïdales dans un mince jet ^d’eau qui s’écoule lentement dans l’alcool, puis ^ne

tarde pas ^{à devenir} nulle.

Les solutions aqueuses (des sulfates de cuivre, ^de manganèse, d’aluminium, d’ammonium, ^de sodium, ^de magnésium, ^de zinc, d’alun, ^{de sel} ammoniac) présentent ^{au contact} de l’alcool une ten-

(1) ^{J. de} Phys., ^4e série, ^t. 1, p. 718 ; ^1902.