Exercice Interféromètre de Fabry Pérot
1. Rappelez succintement le modèle de la lumière utilisé en optique ondulatoire.
On considère le dispositif interférométrique suivant : deux miroirs semi rééchissants identiques, de coecientrde réexion en amplitude ettde transmission en amplitude, séparés d'une distance e, sont éclairés par un rayon incident monochromatique d'amplitude A0 et d'angle d'incidenceθ. On note Ai l'amplitude duiieme rayon émergeant à la sortie du dipositif et Ti son amplitude lors de l'observation à l'inni.
2. Exprimez l'amplitude du sortie A1 en fonction deA0, r, t,eet θ; puis l'amplitudeAi en fonction deAi−1 et des mêmes grandeurs. En déduire l'expression deAi en fonction deA0.
3. Exprimez le déphasage entre Ti et Ti−1. En déduire le déphasage entreTi et T1, puis la relation Tn=A0e−i4πλ2acosθ tr22
r2e2ia2πλ cosθn
4. Exprimez l'amplitude résultante à l'inni. En déduire que l'intensité totale se met sous la forme Itot=I0 1
1+Fsin2(2aπλ cosθ),
oùF est la nesse de la cavité, à exprimer en fonction du coecient de réexion en amplitude des miroirsr. On pourra utiliser la relationr2+t2= 1.
5. Quelle gure d'interférence observe-t-on dans le plan focal d'une lentille placée en sortie du dispo- sitif ? Que se passe t il si la source lumineuse est étendue ? Interprétez la gure ci dessous
Evaluation
Connaissance du cours (/10)
• Modèle de la lumière (champ scalaire correspondant à un champ électrique polarisé, propoga- tion, théorème de superposition, relation entre amplitude et intensité)
• Notion de cohérence spatiale (superposition des intensités, localisation des franges)
• Notion de cohérence temporelle (superposition de franges pour des longueurs distinctes, des amplitudes pour une longueur d'onde donnée)
Calcul (erreurs, rapidité, homogénéïté, vérications) (/4) Sens physique (contextualisation, analyse) (/4)
Comportement (/2)
• Prise en compte des indications
• Adaptation au contexte de l'exercice
• Mojo
1 Daniel Suchet - 2012
• Champ considéré en optique = une composante d'une onde électromagnétique polarisée rectilignement. On peut donc utiliser les propriétés des équations de Maxwell et en particulier
leur linéarité qui implique superposition des amplitudes,
La forme de l'équation de propagation (d'Alembert) qui implique
∗ la formeE(−→r , t) =E0ei−→k .−→re−iωt d'où la relationϕ(M) =ϕ(O) +−→ k .−−→
OM
∗ la relation de dispersionk= nωc . Dénition de l'intensité : I(M) =h−→π(M, t)i= µ1
0c
E2(M, t)
• L'onde numéro n ≥ 1 a pour amplitude à la sortie du dispositif An = A0t2ei2πλδ0r2(n−1)ei2πλδ02(n−1) = A0t2e−i2πλδ0r−2r2nei22πλδ0n.
δ0 est la distance d'un aller dans la lame : δ0=cosθa .
• A l'inni s'ajoute une diérence de marche supplémentaire par rapport à l'ondeA1 : Tn =A1e−i2πλ(n−1)δ1. δ1 est la distance entre deux rayons émergeants : δ1=b sinθ= 2a tanθ sinθ= 2asincosθ2θ.
• On a donc nalementTn=A0t2e−i2πλ(δ0−δ1)r−2r2nei2πλ(2δ0−δ1)ndonc, avec2δ0−δ1= 2acosθ
Tn=A0e−i2πλ(δ0−δ1)tr22
r2e2ia2πλ cosθn
L'amplitude totale résultante est donnée par la somme des Tn : Atot=A0e−i(δ0−δ1)rt22
+∞
P
n=1
r2e2ia2πλ cosθn
=
A0e−i(δ0−δ1)tr22 r2
1−r2e4aπλ cosθ.
En considérantItot=|Atot|2=AtotA∗tot, on aItot=I0 t4
1+r4−2r2cos(4aπλ cosθ) et avecr2+t2= 1,
Itot = I0
t4 1 +r4−2r2cos 4aπλ cosθ
+ 2r2−2r2
= I0
1−r22
(1−r2)2+ 2r2 1−cos 4aπλ cosθ
= I0
1
1 +(1−r4r22)2sin2 2aπλ cosθ
• Dans le plan focal d'une lentille, tous les rayons avec le même angle convergent vers le même point. Figure de diraction indépendante de l'angleϕ→cercles concentriques. La gure ne dépend que de l'angle d'incidence donc une source étendue augmente la luminosité de la gure.
Sur la photo, on voit des cercles concentriques (ok avec l'analyse précédente) et on remarque que les cercles sont dédoublés. Il y a donc 2 longeurs d'ondes dans la source (non cohérence temporelle entre des longueurs d'onde distinctes => superposition des intensités). Cet eet a été obtenu en utilisant l'eet Zeeman (cf sujet Centrale PC 2012).
2 Daniel Suchet - 2012
