Stabilisation d'un système de Timoshenko non dissipatif avec un feedback

Texte intégral

(1) REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE Ministere de l'Enseignement Superieur et de la Recherche Scienti

(2) que Universite Mentouri-Constantine Faculte des Sciences Exactes Ecole Doctorale de Mathematiques Departement de Mathematiques Nd'ordre : ............. Nserie : ................. MEMOIRE Pour l'obtention du grade de MAGISTER SPECIALIT E : Mathematiques Appliquees OPTION : Theorie du contrôle Presente par : LABED BOUDJEMA Intitule :. STABILISATION D'UN SYSTEME DE TIMOSHENKO NON DISSIPATIF AVEC UN FEEDBACK INTERNE Soutenu publiquement le 12/04/2010 a Universite de Constantine devant le jury compose de : Mr Denche Mohamed Mr Ayadi Abdelhamid Mr Assa Guesmia Mr Djezzar Salah Mr Djebarni Marzoug. Prof Prof M-C-H M-C M-C. Universite de Constantine Universite de O-E-Bouaghi Universite de Metz Universite de Constantine Universite de O-E-Bouaghi. President Rapporteur Directeur de these Examinateur Examinateur.

(3) Remerciements. Grâce a mon Dieu le tout puissant, j'ai pu terminer ce travail. Tous mes remerciements et respects les plus profonds aux messieurs AISSA GUESMIA , ma^tre de conferences habilite au departement de mathematiques de l'universite de Metz, et AYADI ABDELHAMID , professeur au departement de mathematiques de l'universite de Oum El Bouaghi qui m'ont guide et encadre pour realiser ce travail. Mes sinceres remerciements a Monsieur DENCHE MOHAMED, professeur au departement de mathematiques de l'universite de Constantine, d'avoir accepte de presider le jury de soutenance. Je tiens a remercier Monsieur DJEZZAR SALAH, ma^tre de conference au departement de mathematiques de l'universite de Constantine, et DJEBARNI MARZOUG, ma^tre de conference au departement de mathematiques de l'universite de Oum El Bouaghi d'avoir examine mon travail et d'être membres de mon jury, sans oublier tous mes enseignants. MERCI.

(4) Dedicace. C'est avec plaisir que je presente mes meilleurs voeux et sentiments a toute ma famille, en particulier mes parents. Je dedie ce travail a tous mes chers amis sans exception. Sans oublier mes collegues de travail..

(5) Table des matieres Notations. 5. Introduction. 6. 1 Rappels et notions preliminaires 1.1 Quelques espaces et inegalites connus . . . . 1.1.1 Espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Espace de Sobolev W m;p ( ) (m 2 N; 1.1.3 Inegalite d'interpolation : . . . . . . 1.1.4 Inegalite de Holder : . . . . . . . . . 1.1.5 Formule de Green : . . . . . . . . . . 1.1.6 Inegalite de Young : . . . . . . . . . 1.1.7 Inegalite de Poincare : . . . . . . . . 1.2 Theorie de semi-groupes . . . . . . . . . . . 1.3 Operateur maximal monotone . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . p 2 [1; +1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. 10 10 10 11 13 13 13 14 14 14 19. 2 Inegalites integrales 21 2.1 Cas dissipatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Cas non dissipatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 Stabilisation non dissipative du systeme (P) 28 3.1 Existence et unicite de solution du systeme (P) . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2 Stabilisation de systeme (P) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Bibliographie. 47. 4.

(6) Notations un ouvert borne de Rn . = @ la frontiere de l'ensemble . H espace de Hilbert. A adjoint de A. 0 operateur de trace. C k ( ) l'espace des fonctions k fois derivable et la derive d'ordre k est contuine. Cc1( ) l'espace des fonctions inde

(7) niment derivable a support compact. Lp ( ) l'espace de Lebesgue, 1 p 1. D( ) l'espace des distributions. rf (x) = @x@f (x); : : : ; @x@f (x) , le gradient de la fonction f en x 2 Rn. W m;p ( ) l'espace de Sobolev, 1 p 1. W0m;p ( ) la fermeture de Cc1 ( ) dans W m;p ( ) , 1 p < 1. H m ( ) = W m;2 ( ). @ . le Laplacian = ni=0 @x Im(A) l'image de A. p:p: presque partout. 0 't = @' erivee de ' par rapport a t. @t = ' la d = @@t = 0 la derivee de par rapport a t. t 'tt = @@t' la derivee d'ordre 2 de ' par rapport a t. = @@t la derivee d'ordre 2 de par rapport a t. tt 'x = @' erivee de ' par rapport a x. @x la d = @@x la derivee de par rapport a x. x 'xx = @@x' la derivee d'ordre 2 de ' par rapport a x. = @@x la derivee d'ordre 2 de par rapport a x. xx @ ' la d 'xt = @x@t erivee d'ordre 2 de ' par rapport a x par rapport a t. @ = @x@t la derivee d'ordre 2 de par rapport a x par rapport a t. xt. 1. n. 2. 2 i. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 5.

(8) Introduction Un modele simple decrivant la vibration transversale d'un faisceau a ete developpe dans [30] et donne par le systeme des equations hyperboliques couplees suivant : (. utt = (k(ux '))x dans (0; L) (0; +1) (1) I 'tt = (EI'x )x + k(ux ') dans (0; L) (0; +1); ou t designe la variable de temps, x est la variable de l'espace le long du faisceau de longueur L dans sa con

(9) guration d'equilibre, u est le deplacement transversal du faisceau, ' est l'angle de rotation du

(10) lament du faisceau, et ; I ; E; I et k designent, respectivement, la densite (la masse par unite de longueur), le moment polaire de l'inertie d'une coupe, module de Young d'elasticite, le moment de l'inertie d'une coupe, et le module de cisaillement. Kim et Renardy [24] ont considere (1) avec deux contrôles sur le bord de la forme (. @u k'(L; t) k @u @x (L; t) = @t (L; t); 8t 0 @' EI @' @x (L; t) =

(11) @t (L; t); 8t 0 et ont utilise les techniques de multiplicateurs pour etablir un resultat de stabilite exponentielle pour l'energie normale de (1). Ils ont egalement fourni des evoluations numeriques aux valeurs propres de l'operateur liees au systeme (1). Un resultat analogue a ete egalement etabli par Feng [12] ou la stabilisation d'un systeme de Timoshenko a ete etudiee. Raposo et al [9] ont etudie (1) avec des conditions aux limites de type Dirichlet homogenes et des contrôles lineaires ; ils ont regarde le systeme suivant :. 8 > > <. 1 utt k(ux ')x + ut = 0 dans (0; L) (0; +1) (2) 2 'tt b'xx k(ux ') + 't = 0 dans (0; L) (0; +1) > > : u(0; t) = u(L; t) = '(0; t) = '(L; t) = 0; 8t 0 et ont montre que l'energie liee a (2) decroit exponentiellement. Ce resultat est semblable celui obtenu par Taylor [31]. La methode utilisee est di erente de l'habituelle telle que la methode classique d'energie. Il emploie principalement la theorie de semi-groupes. Soufyane 6.

(12) Introduction. et Wehbe [8] ont prouve que c'est possible de stabiliser uniformement (1) en employant un feedback localement distribue unique. Ainsi ils ont considere 8 > > <. utt = (k(ux '))x dans (0; L) (0; +1) I 'tt = (EI'x )x + k(ux ') b't dans (0; L) (0; +1) > > : u(0; t) = u(L; t) = '(0; t) = '(L; t) = 0; 8t 0; ou b est une fonction positive et continue qui satisfait b(x) b0 > 0;. (3). 8x 2 [a0; a1] [0; L] :. En fait, ils ont montre quela stabilit e uniforme de (3) tient si et seulement si les vitesses k EI de propagation sont egales = ; autrement, seulement la stabilite asymptotique I a ete prouvee. Xu et Yung [17] ont etudie un systeme de Timoshenko et ont examine la stabilite du systeme en utilisant les valeurs propres et les fonctions propres. M~unoz Rivera et Racke [22] ont traite un systeme non lineaire de la forme 8 > > <. 1 'tt ('x + )x = 0 dans (0; L) (0; +1) 2 tt b xx + k('x + ) + x = 0 dans (0; L) (0; +1) > > : 3 t Kxx + xt = 0 dans (0; L) (0; +1); ou '; et sont des fonctions de (x; t) modelisant le deplacement transversal du faisceau, l'angle de rotation du

(13) lament et la temperature de di erence, respectivement. Sous des conditions appropriees sur ; i ; b; k; ; (i = 1; 2; 3), ils ont prouve la stabilite exponentiel du systeme dans le cas des mêmes viteses de propagation. Ammar Khodja et al [14] ont considere un systeme de Timoshenko lineaire avec un contrôle de type memoire de la forme (. 1 'tt k('x + )x = 0 (4) R 2 tt b xx + 0t g(t s) xx (s)ds + k('x + ) = 0 dans (0; L) (0; +1), avec conditions aux limites de type Dirichlet homogenes. Ils ont employe la technique de multiplicateur et ont montre que le syst ement eme est uniform b k = et g decroit stable si et seulement si les vitesses de propagation sont egales 1 2 exponentiellement vers 0, et la stabilite polynômiale si g decroit polynômialement. Ils ont egalement considere quelques conditions techniques supplementaires sur g0 et g00 pour obtenir leur resultat. Les feedbacks de type memoire ont ete egalement employe par De Lima Santos [25] ou ils ont considere un systeme de Timoshenko et ont montre a que la presence des deux feedbacks du type memoire sur une partie de la frontiere stabilise le systeme uniformement. 7.

(14) Introduction. Ils ont egalement obtenu le taux de decroissance de l'energie en fonction des feedbacks. Shi et Feng [11] ont etudie un systeme de Timoshenko non uniforme rayonne de relaxation soumis a des contrôles localement distribues et ont montre la stabilite exponentielle du systeme. A. Guesmia et S. A. Messaoudi [3] ont considere le systeme suivant : 8 > > > > > > > < > > > > > > > :. ('x + )x = 0 ; (0; 1) R+ Rt tt xx + 'x + + 0 g (t s)(a(x) x (s))x ds + b(x)h( t ) = 0 ; '(0; t) = '(1; t) = (0; t) = (1; t) = 0 ; t 0 '(x; 0) = '0 (x); 't (x; 0) = '1 (x) ; x 2 (0; 1) (x; 0) = 0 (x); t (x; 0) = 1 (x) ; x 2 (0; 1). 'tt. (0; 1) R+. (5). (soumis a un contrôle frictional et un contrôle de type memoire complementaires) et ont etudie l'in uence de ces contrôles sur le taux de stabilite des solutions. Ils ont obtenu la stabilite exponentielle et polynômiale sous des conditions plus faibles sur la fonction de relaxation g. Dans ce travail, nous considerons le systeme suivant : 8 > > > > > > > <. 1 'tt k1 ('x + )x = 0 ; (0; L) R+ 2 tt k2 xx + k('x + ) + h( t ) = 0 ; (0; L) R+ (6) '(0; t) = '(L; t) = (0; t) = (L; t) = 0 ; t 0 > > > > '(x; 0) = '0 (x); 't (x; 0) = '1 (x) ; x 2 (0; L) > > > : (x; 0) = 0 (x); t (x; 0) = 1 (x) ; x 2 (0; L); ou 1 ; 2 ; k1 ; k2 ; k; L 2 R+ et h : R ! R une fonction donnee, et nous montrerons la stabilite exponentielle de (P) ; c'est-a-dire. 9 c; w > 0. tq E (t) ce. wt ;. 8t 0;. (7). ou E : R+ ! R+ est l'energie de (P) (voir chapitre 3 pour la de

(15) nition) dans le k k cas 1 = 2 et k k1 est assez petit. 1 2 Notre que, si k1 6= k, alors (6) n'est pas necessairement dissipatif (c'est-a-dire son energie E n'est pas necessairement decroissante) contrairement au cas des systemes cites ci-dessus. L'objectif de ce travail est de montrer que la stabilite exponentielle (7) reste vrai si k k1 est assez petit. Sans perte de generalite (et juste pour simpli

(16) er les calculs), on suppose que. 1 = 2 = k1 = k2 = L = 1: 8.

(17) Introduction. Donc on va considerer la forme suivante : 8 > > > > > > > < > > > > > > > :. ('x + )x = 0 dans (0; 1) R+ tt xx + k ('x + ) + h( t ) = 0 dans (0; 1) R+ '(0; t) = '(1; t) = (0; t) = (1; t) = 0 ; t0 '(x; 0) = '0 (x); 't (x; 0) = '1 (x) ; x 2 (0; 1) (x; 0) = 0 (x); t (x; 0) = 1 (x) ; x 2 (0; 1):. 'tt. Notre travail est partage en trois chapitres :. . Chapitre 1 : Rappels. Chapitre 2 : Inegalites integrale. Chapitre 3 : Stabilite exponentielle.. 9. (P).

(18) Chapitre 1 Rappels et notions preliminaires 1.1. Quelques espaces et inegalites connus. 1.1.1 Espaces. L. p. De

(19) nition 1.1.1 : Lp ( ); p 2 [1; +1]. On de

(20) nit Lp ( ) (p 2 [1; +1]) par : Si p 2 [1; +1[ :. Lp ( ). . = f :. !R. tq. Z. . jf (x)j dx < 1 : p. On de

(21) nit sur Lp ( ) la norme. kf kL ( ) =. Z. p. Si p = +1 : L1 ( ) = ff :. !R. 1 p. jf (x)jp dx :. tq 9 c 2 R veri

(22) ant : jf j c p : p sur g :. On de

(23) nit sur L1 ( ) la norme. kf kL1( ) = inf fc 2 R. tq jf j c p : p sur g :. Proposition 1.1.2 : 1) Si p 2 [1; +1], alors Lp ( ) est un espace de Banach (i.e. norme complet). 2) Si p 2 [1; +1[, alors Lp ( ) est separable (i.e. il existe un ensemble denombrable dense dans Lp ( )). 10.

(24) Rappels et notions preliminaires. 3) L2 ( ) est un espace de Hilbert avec le produit scalaire. < f; g >L ( ) =. Z. 2. f (x)g(x)dx:. Theoreme 1.1.3 : Soit un domaine ouvert de Rn de frontiere de classe C m . Pour tous m 1 p < 1, on a 1 m 1 1 m 1) > 0 =) W m;p ( ) ,! Lq ( ); 8q 2 [p; q ] ou = . p n q p n 1 m = 0 =) W m;p ( ) ,! Lq ( ); 8q 2 [p; +1]. 2) p n 1 m 3) < 0 =) W m;p ( ) ,! L1 ( ). p n. 1.1.2 Espace de Sobolev. W. m;p. ( ) (. m. . 2 N 2 [1 +1]) ;. p. ;. De

(25) nition 1.2.1 : W m;p ( ). Soient (m; p) 2 N [1; +1]. On de

(26) nit W m;p ( ) par :. W m;p ( ) = ff R. 2 Lp( ) tq 8 2 Nn avec j j m; 9$ 2 Lp( ) veri

(27) ant :. f (x)D. On pose D f = $. '(x)dx. = ( 1)j j. On de

(28) nit sur W m;p ( ) la norme. kf kW. m;p. ( ) =. X. j jm. R. $ (x)'(x)dx;. k$ kL ( ) : p. Si 1 p < +1, on peut considerer sur W m;p ( ) la norme equivalente 0. kf kW. m;p. ( ). =@. X. j jm. Cas particulier : 1) W 0;p ( ) = Lp ( ). 2) p = 2 : W m;2 ( ) = H m ( ).. 11. 11. k$ (x)k. p. p A Lp ( ). :. 8' 2 D( ). .. 1 et.

(29) Rappels et notions preliminaires. Proposition 1.2.2 : H m ( ) est un espace de Hilbert pour le produit scalaire. 8f; g 2. H m ( ). : hf; gi =. X Z. j jm. D f (x)D g(x)dx =. X. j jm. hD f; D giL ( ) : 2. Remarque : C m ( ) H m ( ) mais l'inverse n'est pas vrait. Proposition 1.2.3 :. D(Rn) est dense dans H 1(Rn): Remarque : en general D( ) n'est pas dense dans H 1 ( ). De

(30) nition 1.2.4 : H0m ( ). On de

(31) nit H0m ( ) = D( ) (par rapport a la norme de H m ( )) ; c'est-a-dire :. H0m ( ). n. = f. 2. H m ( )=. 9('k ) 2 D( ) veri

(32) ent : k'k f kH. o. m. ( ). ! 0 tand k ! +1 :. De même W0m;p ( ) = D( ) par rapport a la norme de W m;p ( ).. De

(33) nition 1.2.5 : Derivee normale.. n @f (x) P @f On de

(34) nit la derivee normale d'une fonction f , notee par , comme etant i (x) @ i=1 @xi pour tout x 2 . On pose : D( ) ! L2 ( ) @' ' ! (') = = ; @ 0 : D( ) ! L2 ( ) ' ! 0 (') = '= . L'application 0 se prolonge par continuite a H 1 ( ) 0 : H 1 ( ) ! L2 ( ) f ! 0 (f ) = n lim '= ! +1 n ( 0 est dit l'application de trace).. 12.

(35) Rappels et notions preliminaires. Theoreme 1.2.6 : Si est de classe C 2 alors se prolonge sur H 2 ( ) : H 2 ( ) ! L2 ( ) @f f ! (f ) = = . @. De

(36) nition 1.2.7 : H02 ( ). H02 ( ) = D( ) (par rapport la norme de H 2 ( )).. Proposition 1.2.8 : T. Si est de classe C 2 , alors H02 ( ) = ker 0 ker (i.e. f 2 H 2 ( ) tq : f = 0 p . p sur @f et = 0 p . p sur ). De même, H01 ( ) = ker 0 = ff 2 H 1 ( ) tq : f = 0 p . p sur @ si est de classe C 1 .. g. 1.1.3 Inegalite d'interpolation :. 1 1 1 1. On pose Soit m 2 N= f0; 1g et p1 ; p2 ; :::::::; pm 2 [1; +1] tq : + + :::::: + p1 p2 pm 1 1 1 1 = + + :::::: + . On a : 8fi 2 Lp ( ); i = 1; :::::::; m, alors f = f1 :f2 :::::::::fm 2 Lp ( ) p p1 p2 pm m et on a : kf kL ( ) i kfikL ( ). =1 i. pi. p. 1.1.4 Inegalite de H older :. 1 1 Soient p; q 2 [1; +1] tq 1 = + . Alors pour tous f 2 Lp ( ) et g 2 Lq ( ) : fg 2 L1 ( ) p q et on a : kfgkL ( ) kf kL ( ) kgkL ( ) 1. ( R. p. q. 1 R. R. !. 1. j f (x)g(x)j dx jf (x)jp dx j g(x)jq dx si p; q 2]1; +1[;. i:e: R : R 1 j f ( x ) g ( x ) j dx k g k j f ( x ) j dx si p = 1 et q = + 1 L ( ). p. q. 1.1.5 Formule de Green : Soient f; g 2 H 1 ( ) (ou Rn un ouvert borne) de frontiere Z. @f (x) g(x)dx =. @xi. Z. @g(x) f ( x) dx + @xi. 13. Z. de classe C 1 . Alors. f (x)g(x)i (x)dx:.

(37) Rappels et notions preliminaires. 1.1.6 Inegalite de Young : Pour tous a; b 2 R (ou C ) et pour tous p; q 2]1; +1[ avec. jabj p1 jajp + 1q jbjq :. 1 1 + = 1, on a : p q. 1.1.7 Inegalite de Poincare : Soit Rn un ouvert borne. Il existe une constante c > 0 veri

(38) ant :. kf kL ( ) c krf kL ( ) ; 8f 2 H01( ); 2. ou rf =. . @f @f ; :::::::::; , c'est-a-dire : @x1 @xn Z. 1.2. 2. . f 2 (x)dx. .

(39) 2 Z X n

(40)

(41)

(42) @f

(43)

(44) dx: c

(45)

(46). i=1 @xi. Theorie de semi-groupes. Soit H un espace de Hilbert reel ou complexe muni de la norme x ! kxkH . On designe par L(H ) l'espace vectoriel des applications lineaires continues de H en lui même. L(H ) est un espace de Banach pour la norme S ! kS k de

(47) nie par : kH : kS k = sup kSxkH = sup kkSx (1.1) x6=0 xkH kxk =1 H. De

(48) nition 1.2.1 : On appelle l'application S : [0; +1[ si elle veri

(49) e les proprietes suivantes :. i) S (0) = Id . ii) S (t + s) = S (t)S (s),. ! L(H ) semi-groupes fortement continu dans H. 8t 0, 8s 0.. iii) 8x 2 H , l'application S (:)x est continue sur [0; +1[ dans H . Dans la suite, on appelle une telle application semi-groupes de classe C0 et on la note par C0 -semi-groupe.. Proposition 1.2.2 : Si (S (t))t0 est un C0 -semi-groupes dans H , alors l'operateur adjoint (S (t))t 0 est aussi semi-groupes de classe C0 dans H . 14.

(50) Rappels et notions preliminaires. Lemme 1.2.3 : Soit S (t) un C0 -semi-groupes Alors. 9M 1; 9w 2 R tels que : kS (t)k Mewt; 8t 0:. (1.2). Preuve : Considerons le compact [0; 1], comme (S (t))t0 est fortement continue, alors l'application t 7 ! S (t)x est continue. Donc l'image de [0; 1] par cette application est compacte, et par consequent. 9Mx. tel que :. kS (t)xk Mx; 8t 2 [0; 1] :. D'apres le theoreme de Banach-Steinhauss :. 9M. tel que :. kS (t)k M; 8t 2 [0; 1] :. On remarque que la constante M 1 (1 = kS (0)k M ). Maintenant si t 2= [0; 1], on ecrit t = n + avec n 2 N et 2 ]0; 1[ donc. S (t) = S (n + ) = S (n)S () = (S (1))n S (): Alors. kS (t)k = k(S (1))nS ()k k(S (1))nk kS ()k M nM Men log M On pose log M = w, donc. kS (t)k Menw Metw : Remarque : Si (S (t))t0 est un semi-groupes fortement continu a l'origine veri

(51) ant la majoration (1.2), alors il est fortement continue.. 15.

(52) Rappels et notions preliminaires. Preuve :. Si s 0 :. kS (t + s)x S (t)xkH = kS (t):S (s)x S (t)xkH :. On pose y = S (t)x donc. kS (t + s)x S (t)xkH = kS (s)y ykH s ! 0 !0. (car (S (t))t0 est fortement continue a l'origine).. Si s < 0 : kS (t + s)x S (t)xkH = kS (t + s)x S ( s)S (t + s)xkH = k S (t + s) [S ( s)x x]kH. kS (t + s)kH kS ( s)x xkH Mew(t+s) kS ( s)x xkH s ! 0: !0. Maintenant on va voir que l'estimation (1.2) peut être amelioree. En e et, posons w(t) : w(t) = log kS (t)k ; 8t > 0 et w0 = inf t>0 t Soit " 0 susamment petit, alors il existe une constante 0 telle que :. w( ) w0 + ". Soit t = k + r avec k 2 N ; 0 < r < , donc : w(t) w(k + r) = t k + r ) + w(r) kw(k +r. d'ou. w0 + " + w(tr) kS (t)k Met(w +"): 0. Si en plus w0 =. 1, alors il existe N > 0 tel que kS (t)k Me tN : 16.

(53) Rappels et notions preliminaires. De

(54) nition 1.2.4 : On dit que S (t) est un semi-groupes borne si. 9M 0 tel que kS (t)k M; 8t 0: Remarque : Si M. 1, S (t) est dit de contraction.. De

(55) nition 1.2.5 :. S (h)x x Soit S (t) est C0 -semi-groupes, et soit Ax = lim . L'operateur A est un h !0 h operateur lineaire et continue. On de

(56) ni son domaine A par : +. . . S (h)x x existe : D(A) = x 2 H; tel que : lim h !0 h L'operateur A est appelle generateur in

(57) nitesimal de semi-groupe S (t) sur H: +. Proposition 1.2.6 : Pour tout x 2 D(A), veri

(58) ant S (t)x 2 D(A), on a : d S (t)x = AS (t)x = S (t)Ax: dt. Preuve : Soit x 2 D(A). Posons y(t) = S (t)x; h. 8t 0 on a :. y(t + h) y(t) S (t + h)x S (t)x = lim !0 h !0 h h. lim. +. +. = lim S (t) h. !0. +. S (h)x x h. = S (t)Ax: De même maniere on a aussi : h. y(t + h) y(t) S (t + h)x S (t)x = lim !0 h !0 h h. lim. +. +. S (h) I S (t)x !0 h. = lim h. +. = AS (t)x: 17.

(59) Rappels et notions preliminaires. Theoreme 1.2.7 : Si A est un generateur in

(60) nitesimal de semi-groupes S (t), alors A est un operateur ferme.. Preuve : Pour la demonstration, voir [19]. Proposition 1.2.8 : Le domaine D(A) d'un generateur in

(61) nitesimal A de semi-groupes S (A) est un espace vectoriel dense dans H .. Preuve : Pour la demonstration, voir [19]. Corollaire 1.2.9 : Soit S (t) un C0 -semi-groupes sur H de generateur in

(62) nitesimal A. Alors pour tout u0 2 D(A), le systeme : (. u0 (t) + Au(t) = 0 ; u(0) = u0. 8t 0. (1.3). T. admet une unique solution u 2 C 1 ([0; +1[ ; H ) C ([0; +1[ ; D(A)) donnee par. u(t) = S (t)u0 :. (1.4). Preuve : Pour la demonstration, voir [7]. Corollaire 1.2.10 : Supposons que u0 dans D(A) et f est continue sur R+ , alors. u(t) = S (t)u0 +. Z +1 0. S (t s)f (s)ds. (1.5). est la solution du systeme non homogene suivant : (. u0 (t) + Au(t) = f (t) ; u(0) = u0 :. 18. 8t 0. (1.6).

(63) Rappels et notions preliminaires. Exemple de semi-groupes 1.2.11 : Exemple 1 : Soit H espace de Hilbert, soit A un operateur lineaire continue sur H . Alors S (t) =. eAt. =. +1 i i X tA. i=0. i!. est un C0 -semi-groupes puisque : eAt x x S (0) = I , S (t + s) = eA(t+s) = eAt eAs = S (t)S (s) et lim = Ax: t !0 t Donc A est generateur in

(64) nitesimal d'un semi-groupes S (t). +. Exemple 2 : Soit H = C ([ 1; +1]) l'espace des fonctions uniformement continues muni de la norme : kx(t)k = sup jx(t)j : Soit (S (t)x)(s) = x(t + s). Alors S (t) est un operateur t0 d lineaire de C0 -semi-groupes, et son generateur in

(65) nitesimal est de

(66) ni par : Ax = x. ds Exemple 3 : Soit H = C ([. 1; +1]). et kx(t)k = sup jx(t)j. Soit Kt (y) = (2t) e 1 2. t0 R +1. y. 2. 2t. pour tous y 2 ] 1; +1[ et t > 0. On pose Ss (t)x = 1 Kt (s y)x(y)dy, 8t > 0. L'operateur S (t) est un semi-groupes de classe C0 et A son generateur in

(67) nitesimal est 1 d2 donne par : Ax = x. 2 ds2. Exemple 4 : Soit `2 l'espace de

(68) ni par : (. `2 = x = (x1 ; ::::xn ; ::::::); . +1 X. i=1. x2i < +1. ). . (S (t)x)n = e xn est un C0 -semi-groupes et (Ax)n = n2N generateur in

(69) nitesimal.. 1.3. t n. . xn n. n2N. est son. Operateur maximal monotone. Soit H un espace de Hilbert et A : D(A) ! H un operateur donne ou D(A) est son domaine de de

(70) nition de

(71) ni par D(A) = fu 2 H tq Au 2 H g.. De

(72) nition 1.3.1 : On dit que A est monotone si. hAu Av; u viH 0; 8u; v 2 D(A): 19.

(73) Rappels et notions preliminaires. Remarque : Si A est lineaire, alors A est monotone si hAu; uiH 0;. 8u 2 D(A).. De

(74) nition 1.3.2 : On dit que A est maximal si Id + A : D(A). 8f 2 H; 9u 2 D(A). ! H est surjectif ; c'est-a-dire. tq : u + Au = f:. Proposition 1.3.3 : Soit H un espace de Hilbert (reel). Les propriete suivantes sont equivalentes :. 1) A est maximal monotone dans H . 2) (I + A) 1 est de contraction pour tout 0. 3) A est monotone et il existe positif tel que (I + A) est surjectif. Theoreme 1.2.4 : Supposons que A est maximal monotone. Alors : 1) Pour tout u0 2 D(A), le systeme (1.3) admet une solution unique u 2 C (R+; H ) (c'est-a-dire 8t0 2 R+ : ku(t) u(t0 )kH ! 0 quand t ! t0 ). La solution u est dite faible (u n'est pas derivable au sens classique mais veri

(75) e (1.3) au sens des distributions hu0(t) + Au(t); viH = 0; 8v 2 H ). T. 2). Si u0 2 D(A), alors u 2 q W 1;1 (R+ ; H ) W 0;1 (R+ ; D(A)) ou sur D(A) on considere la norme du graphe kukD(A) = kuk2H + kAuk2H : La solution u est dite forte (la regularite de u signi

(76) e que : sup ku(t)kH < 1; sup ku(t)kD(A) < 1 et u est derivable au sens des distributions).. t0. t0. T. 3). Si A est lineaire et u0 2 D(A), alors u 2 C (R+ ; D(A)) C 1 (R+ ; H ): La solution u est dite classique.. Remarque : Si A est lineaire, alors D(A) = H: Remarque : Si A est lineaire, alors on a le resultat plus general que (3) suivant : 8n 2 N; 8u0 2 D(An); u 2 Tnk=0 C n k (R+; D(Ak )) ou D(A0) = H , D(A1) = D(A), D(An ) = fu 2 D(An 1 ) tq Au 2 D(An 1 )g ; 8n 1 et q. kukD(A ) = kuk2H + kAuk2H + kA2uk2H + ::::::: + kAnuk2H : n. 20.

(77) Chapitre 2 Inegalites integrales 2.1. Cas dissipatif. Les resultats de nombreux auteurs concernant l'estimation de decroissance de l'energie de certaines problemes dissipatifs sont bases sur le lemme suivant :. Lemme 2.1.1 (A. Haraux [5, 6], V. Komornik [32], P. Martinez [28]) : Soient E : R+ ! R+ une fonction continue decroissante et : R+ strictement croissante de classe C 1 telle que. (0) = 0 et t lim (t) = +1: !+1. ! R+ une fonction (2.1). Supposons qu'il existe r 0 et d > 0 tels que Z +1. 1 0 (t)E r+1 (t)dt E r (0)E (s) ; d s Alors E veri

(78) e les estimations suivantes :. E (t) E (0)e1. d(t). si r = 0;. . 1. 8s 0:. (2.2). (2.3). 1+r E (t) E (0) si r > 0: (2.4) 1 + rd(t) Ce lemme a ete demontre et utilise par A. Haraux [6] dans le cas r = 0 et (t) = t sur R+ pour l'etude de la stabilisation de certains problemes lineaires dissipatifs. A. Haraux [5] 1 a demontre aussi le lemme 1.1 dans le cas particulier r = et (t) = t sur R+ , et 2+ V. Komornik [32] l'a generalise au cas r > 0 et (t) = t sur R pour etudier la stabilisation r. 21.

(79) Inegalites integrales. des problemes dissipatifs non necessairement lineaires. V. Komornik [32] a demontre aussi l'optimalite de (2.3) et (2.4) dans ce cas-la. Quand (t) = t sur R+ , la fonction E est forcement integrable sur R+ et converge vers zero au moins polynômialement. En utilisant un changement de variables, P. Martinez [28] a demontre (2.3) et (2.4) ce qui lui a permis de considerer des fonctions decroissantes qui 1 convergent vers zero plus lentement que t ! pour tout p > 0 (comme par exemple, (t + 1)p 1 E (t) = ). ln(t + 2) En combinant la methode des multiplicateurs et les techniques d'analyse micro-locale developpees par C. Bardos, G. Lebeau et J. Rauch [10], I. Lasiecka et D. Tataru [20] et I. Lasiecka et R. Triggiani [21] ont traite le cas de l'equation des ondes dissipative (avec des conditions de Dirichlet ou de Neumann sur le bord) sous des hypotheses geometriques plus generales avec un feedback non lineaire sans hypothese de croissance a l'origine. Le taux de decroissance obtenu pour l'energie depend de celui d'une equation di erentielle ; plus precisement, ils ont deduit l'estimation . . t E (t) h 1 ; 8t t0 ; t0 ou t0 > 0 et h est la solution de l'equation di erentielle h0 (t) + q(h(t)) = 0 ;. (2.5). 8t 0 et h(0) = E (0);. (2.6). et q est une fonction qui fait intervenir implicitement la nonlinearite du feedback, en montrant que E veri

(80) e (Id q) 1 (E ((m + 1)t0 )) E (mt0 ) ;. 8m 2 N:. Dans l'objectif de trouver une formule generale qui permet d'obenir le taux de decroissance de l'energie de certains systemes hyperboliques dissipatifs en fonction du comportement au voisinage de zero du terme de dissipation (ce qui permet d'uni

(81) er tous les cas et notamment ceux pour lesquels le feedback cro^t polynômialement et ceux pour lesquels il s'ecrase exponentiellement en zero lorsque t ! +1), M. Eller, J. E. Lagnese et S. Ncaise [26] et F. Alabau-Boussouira [13] ont considere le cas d'une fonction decroissante E : R+ ! R+ veri

(82) ant : Z +1 s. 1 '(E (t))dt E (s) ; d 22. 8s 0;. (2.7).

(83) Inegalites integrales. ou d est un reel strictement positif et ' : R+ ! R+ est une fonction convexe et strictement croissante veri

(84) ant '(0) = 0 et ils ont montre les resultats suivants :. Lemme 2.1.2 (M. Eller , E. Lagnese et S. Nicaise [26]) : Soit E : R+ ! R+ une fonction continue decroissante veri

(85) ant (2.7). Alors il existe trois reels strictement positifs t0 ; c0 ; c1 tels que. E (t) ' ou. : R+. 1. . 1 (c. c1 t. ! R est de

(86) nie par : (s) =. Z 1 s. 0 t). . 1 dt; '(t). ;. 8t t0;. 8s 0:. (2.8). (2.9). Lemme 2.1.3 (F. Alabau-Boussouira [13]) : Soit E : R+. ! R+ une fonction continue decroissante veri

(87) ant (2.7) avec '(t) = tF 1 (t);. 8t 0. (2.10). et F : R+ ! [0; b[ est une fonction strictement croissante veri

(88) ant, pour un reel b > E (0); F (0) = 0 et t lim F (t) = b: Alors il existe trois reels strictement positifs ! +1 t0 ; c0 ; c1 tels que. E (t) F ou. : [c0 t0 ; +1[. 1 1 (c0 t) ;. 8t t0. (2.11). 1 dt; ) '(t). 8s c0t0:. (2.12). ! R est de

(89) nie par : (s) = s +. 2.2. . . Z c1. F ( 1s. Cas non dissipatif. Lemme 2.2.1 (A. Guesmia [2]) : Soient E : R+ ! R+ une fonction derivable, a : R+ fonctions continues. Supposons qu'il existe r 0 tel que ( R +1 r+1 s E (t)dt. ! R+ et : R+ ! R+ deux. a(s)E (s); 8s 0 E 0 (t) (t)E (t); 8t 0: 23. (2.13).

(90) Inegalites integrales. Alors E veri

(91) e, pour tout t 0, les estimations suivantes :. E (t) E (t) w(h(t))e(t). E (0) w(h(t))e(t) w(0). (h(t)). . ou. (t) = avec =. Z t 0. w(0) E (0). (. ( )d; h(t) =. r. (h(t)) e. +r. R h(t) 0. Z h(t) 0. w( )d. si r = 0; !. (w( ))r+1 d. (2.14). 1 r. si r > 0. . (2.15). . 0 si t 2 0; D 1 ( w ) g 1 (t) = K 1 (D(t)) si t 2 D 1 ( w ); +1 r. r. 1 1 et w = et K , D sont les deux fonctions de

(92) nies sur R+ par : E (0) a. K (t) =. . . r ; D(t) = rt + w. D(t) + e(r+1)(t). Z t 0. e(r+1)( ) d:. Lemme 2.2.2 (A. Guesmia [1]) : Sous les hypotheses du Lemme 2.2.1, E veri

(93) e pour tout t > 1, les estimations suivantes :. E (t) . E (0) (t) e w(0). E (t) . e(t). Z t t 1. Z t. . t 1. w(0) E (0). e( ) d. e(r+1)(t) d r. +r. 1. r+11. Z t 1 0. e. Rt 0. 1. w( )d. si r = 0;. (2.16). . (w( )))r+1 d. 1 r(r+1). si r > 0:. (2.17). Lemme 2.2.3 (A. Guesmia [1]) : Sous les hypotheses du Lemme 2.2.1 et si 2 R+ et a(s) = c1 e c s avec c1 > 0 et c2 2 R, alors il existe une constante c > 0 telle que E veri

(94) e, pour tout t > 1, les estimations suivantes : 2. E (t) E (t) E (t). . E (t). . ce t e ce ct (r+1)c (t e c c2 1. c1. c2 e c1 c2. c2 t. 1. r (r +1). 2. 1). 1. 1 r(r+1). 24. si r = c2 = 0; si r = 0 et c2 6= 0; si r > 0 et c2 = 0; si r > 0 et c2 6= 0:.

(95) Inegalites integrales. Lemme 2.2.4 (A. Guesmia [1]) : Sous les hypotheses du Lemme 2.2.1 et si 2 R+ et a(s) = c1 (s + 1) c avec c1 > 0 et c2 2 R, alors il existe une constante c > 0 telle que E veri

(96) e, pour tout t > 1, les estimations suivantes : 2. E (t) E (t) E (t) E (t). ct t ce c(ln(t)) 1. c1. 1 c1 (c2 +1). c2 +1. 1. r (r +1). . c (r+1)+1 t2. 1 c c2 (r + 1) + 1. 1 r(r+1). si r = 0 et c2 = 1; si r = 0 et c2 6= 1; 1 si r > 0 et c2 = ; r+1 1 : si r > 0 et c2 6= r+1. Lemme 2.2.5 (A. Guesmia [1]) : Sous les hypotheses du Lemme 2.2.1 et si 2 R+ et a(s) = c1 (ln(s +2)) c avec c1 > 0 et c2 2 R, alors il existe une constante c > 0 telle que E veri

(97) e, pour tout t > 1, les estimations suivantes : 2. E (t) E (t) E (t) E (t). c(ln(t + 1)) (ln(t+1)) ce c(ln(ln(t + 1))) 2. c1. 2 c1 (c2 +1). c2 +1. 1. r (r +1). . . (ln(t + 1))c (r+1)+1 c c2 (r + 1) + 1. 1. 2. 1 r(r+1). si r = 0 et c2 = 1; si r = 0 et c2 6= 1; 1 si r > 0 et c2 = ; r+1 1 si r > 0 et c2 6= : r+1. Lemme 2.2.6 (A. Guesmia [2]) : Soient E : R+ ! R+ une fonction derivable, a3 2 R+ ; a1 ; a2 : R+ : R+ ! R+ trois fonctions continues. Supposons qu'il existe r; p 0 tels que. ! R+. et. a3 (r + 1)sup f(t)g < 1 t0. et, pour tout 0 s T < +1; ( RT s. E r+1 (t)dt E 0 (t). a1(s)E (s) + a2(s)E p+1(s) + a3E r+1(T ); 80 s T (t)E (t); 8t 0:. Alors E veri

(98) e (2.14) et (2.15) ou. 25. (2.18).

(99) Inegalites integrales Z 1. (t) =. 0. (. d(s) = min. 1 a (s) + a2 (s)(d(s))p + a3 (s)(d(s))r ( )d; w = ; a = 1 ; a 1 a3 (r + 1)sup f(t)g t0. E (0)e(s) ;. . b(0)E (0) f0 (s). . 1. ). r +1. 8s 0. ;. et. f0 (s) = e. (r+1) (s). Z s 0. e(r+1)( ) d:. Lemme 2.2.7 (A. Guesmia [1]) :. ! R+ une fonction derivable, a1; a2 2 R+ et a3; r; p; 2 R+:. Soient E : R+ Supposons que ( RT s. E r+1 (t)dt a1 (s)E (s) + a2 E p+1 (s) + a3 E r+1 (T ); 0 s T E 0 (t) (t)E (t); 8t 0:. Si a3 (r + 1) < 1; alors il existe deux constantes strictement positives w et c telles que, pour tout t 0;. E (t) ce. wt. E (t) c(1 + t) E (t) c(1 + t). r = 0;. si. (2.19). si r > 0 et = 0;. 1 r. 1. r (r +1). (2.20). si r > 0 et > 0:. (2.21). Lemme 2.2.8 (A. Guesmia [1]) : Soient E : R+ ! R+ une fonction derivable, 2 R+ et ' : R+ convexe et strictement croissante veri

(100) ant : '(0) = 0: Supposons que ( R +1 s '(E (t))dt E (s) si s 0 E 0 (t) E (t) si t 0: Alors E veri

(101) e l'estimation suivante :. E (t) g. 1. e(t. h(t)) '. 1 (h(t) +. ou (t) =. Z 1 t. 1 ds; '(s). 8 <. . (E (0))) ;. '(t). 8t > 0; g(t) = : R t '(s) 0. 26. s. ! R+ une fonction. 8t > T0. si = 0;. ds si > 0;. 8t 0;. (2.22).

(102) Inegalites integrales (. h(t) =. Z 1 (D(t)); 8t > T0 0; t 2 [0; T0 ]. avec T0 = D. 1. . . E (0) ; '(E (0)). et 8 > < > :. Z (t) = D(t) +. '( R t s D(t) = 0 e ds;. 1 (t +. (E (0))) t e ; (E (0)))) 8t 0:. 1 (t +. Remarque : Pour la demonstration de ces lemmes, voir [1].. 27. 8t 0. (2.23).

(103) Chapitre 3 Stabilisation non dissipative du systeme (P) Hypotheses : Dans l'etude du systeme de Timoshenko (P), nous considerons les hypotheses suivantes : H1) h : R. ! R est une fonction continue croissante tel que : 9c1; c2 > 0 : c2jsj jh(s)j c1jsj ; 8s 2 R:. Remarque : L'hypothese (H1) =) sh(s) 0;. 3.1. 8s 2 R.. Existence et unicite de solution du systeme (P). Proposition 3.1.1 : Soient ('0 ; '1 ) ; ( 0 ; 1 ) 2 H01 (0; 1) L2 (0; 1). Alors le systeme (P) admet une solution globale (faible) unique veri

(104) ant :. '; Si. 2 C R+; H01(0; 1). \. . ('0 ; '1 ) ; ( 0 ; 1 ) 2 H 2 (0; 1). . C 1 R+ ; L2 (0; 1) :. \. . H01 (0; 1). (3.1). H01(0; 1);. alors la solution satisfait (dite forte) :. ';. . \. 2 L1 R+; H 2(0; 1) H01(0; 1). \. \. W 1;1 R+ ; H01 (0; 1) 28. . W 2;1 R+ ; L2 (0; 1) :.

(105) Stabilisation non dissipative de systeme (P). Remarque : Si h est lineaire et . ('0 ; '1 ) ; ( 0 ; 1 ) 2 H 2 (0; 1). \. . H01 (0; 1). H01(0; 1). alors. ';. . \. \. 2 C R+; H 2(0; 1) H01(0; 1). \. C 1 R+ ; H01 (0; 1). . C 2 R+ ; L2 (0; 1) : (3.2). Remarque : Ce resultat peut être prouve en utilisant des arguments standards de la methode de semi-groupes non lineaire. Il est important de montrer ces resultats d'existence de la solution en ecrivant (P) sous la forme (1.3), en montrant que A est maximal monotone et en appliquant le Theoreme 1.2.4. Maintenant ; nous presentons la fonction d'energie de

(106) nie par : 1 E (t) := 2. Z 1 0. '2t +. 2 2 t + x + ('x +. . )2 dx:. (3.3). Le resultat de stabilite de notre travail est le suivant :. Theoreme 3.1.2 : Supposons que jk 1j est assez petit. Soient ('0 ; '1 ) ; ( 0 ; 1 ) 2 H01 (0; 1) L2 (0; 1). Alors il existe deux constantes positives c et w telles que la solution de (P) satisfait :. E (t) ce. 3.2. wt ;. 8t 0:. (3.4). Stabilisation de systeme (P) :. Dans cette section nous prouvons notre resultat principal. Pour cela, nous allons demontrer plusieurs lemmes.. Lemme 3.2.1 : Soit ('; ) une solution de (P), alors l'energie satisfait :. 29.

(107) Stabilisation non dissipative de systeme (P). E 0 (t) =. Z 1. t h( t )dx + (1. 0. k). Z 1 0. ('x + ) t dx. (3.5). Donc. E 0 (t) j1 kj E (t);. 8t 0:. Preuve : En multipliant les deux equations de (P) par 't et t , respectivement, integrant sur (0; 1), utilisant l'integration par partie et la formule de Green, on obtient (. ('tt ( tt. ('x + )x ) 't = 0 xx + k ('x + ) + h( t )). t. = 0;. Donc Z 1 0. =). Z 1 0. ('tt. Z 1. ('x + )x )'t dx +. Z 1. 'tt 't dx. 0. 'xx 't dx. 0. Z 1. =). 0. Z 1. 'tt 't dx. 0. + 1 =) 2. Z 1 0. Z 1. Z 1 0. 1 2. Z 1 0. (. Z 1 0. Z 1 0. 0. Z 1. tt t dx. 0. t h( t )dx. x 't dx +. 0. 2 t )t dx +. x xt dx +. Z 1. Z 1. t h( t )dx +. 0. ('2t )t dx + +. 'xx 't dx. xx + k ('x +. tt. x 't dx +. 0. + Z 1. (. Z 1. Z 1. ('x + ) t dx. Z 1 0. 'x 'xt dx +. t h( t )dx +. 30. Z 1 0. Z 1. xx t dx + k. 0. Z 1 0. ('x + ) t dx. =0. tt t dx. 0. ) + h( t )) t dx = 0. 0. Z 1 0. Z 1. xx t dx + k. 0. Z 1 0. ('x + ) t dx. ('x + ) t dx = 0. 'tx dx + (k. 'x t dx +. Z 1 0. 1) t dx. Z 1 0. =0. ('x + ) t dx.

(108) Stabilisation non dissipative de systeme (P). 1 =) 2 + 1 =) 2. Z 1. ('2t )t dx +. 0. Z 1 0. 0. + 1 =) 2. Z 1. 1 =) 2. Z 1 0. Z 1 0. (. ('2t )t dx +. Z 1 0. 1 2. Z 1 0. (. ('x )t dx + (k. 1 2. 2 t )t dx +. ( 'tx + 'x t )dx + (k. Z 1. 0. 1 2. 1). 1). Z 1 0. 0. Z 1 0. 1 2. 2 t )t dx +. Z 1. ('2x )t dx +. Z 1 0. ('2t + t2 + '2x + x2 + 2 + 2'x. )2 ). Z 1 0. ('2x )t dx +. =. 0. Z 1. 0. (. 0. Z 1. t h( t )dx. 0. ( 2 )t dx = 0. 2 x )t dx +. 1 2. Z 1 0. ( 2 )t dx. =0. t h( t )dx + (1. 0. Z 1. Z 1. t h( t )dx. 0. Z 1. )t dx =. t dx. Z 1. 1 2. 2 x )t dx +. (. 1 ('x + ) t dx + 2. ('x + ) t dx +. ('2t + t2 + + x2 + ('x +. 1 2. t h( t )dx + (1. k). k). Z 1. Z 1 0. 0. ('x + ) t dx. ('x + ) t dx:. On pose 1 E (t) := 2. et on a. E 0 (t) =. Z 1 0. Z 1 0. ('2t +. 2 2 t + x + ('x +. t h( t )dx + (1. k). Z 1 0. )2 )dx;. ('x + ) t dx:. On plus et en utilisant l'inegalite de Young et le fait que sh(s) 0; 8s 2 R. E 0 (t) . Z 1 0. Z j 1 kj 1 ('x + t h( t )dx + 2 0. )2 +. Z j 1 kj 1 2 ('x +. )2 +. 2 t dx. Z j 1 kj 1 2 ('x +. )2 +. 2 2 2 t + x + 't dx. 0. 0. 31. 2 dx t. (car sh(s) 0; 8s 2 R).

(109) Stabilisation non dissipative de systeme (P). j1 kj E (t): Et par consequent 0 E 0 (t) j1 kj E (t) =) e j1 kjt E (t) 0. =) e j1 kjt E (t) E (0) 0 =) E (t) E (0)ej1 kjt :. Remarque : Nous obtenons donc (3.5) pour n'importe quelle solution reguliere. Cette egalite reste valable pour toute solution faible (par arguments simples de densite). Pour montrer la stabilite exponentielle, on va construire une fonction de Lypunov F equivalente a E veri

(110) ant :. 9 > 0 tel que F 0(t) F (t); 8t 0: Pour cela, nous allons de

(111) nir plusieurs fonctions qui nous permetterant d'obtenir des estimations necessaires. Dans toute la suite, c designe une constante positive generique (qui peut changer d'une ligne a une autre) mais qui ne depend pas de k.. Lemme 3.2.2 : La fonction J de

(112) nie par :. J (t) := satisfait l'estimation :. J 0 (t) . Z 1 0. (. 2 2 t + 't )dx. +c. Z 1 0. Z 1 0. t + ''t )dx. (. (1 k). Z 1. 2 x dx + c. 32. 0. Z 1 0. ('x + )dx +. h2 ( t )dx:. Z 1 0. ('x + )2 dx. (3.6).

(113) Stabilisation non dissipative de systeme (P). Preuve : L'exploitation des equations (P) implique J 0 (t) = = =. Z 1 0. Z 1 0. Z 1 0. 2 tt + 't + ''tt )dx. 2 t +. (. (. 2 2 t + 't )dx. (. 2 2 t + 't )dx. Z 1. (. 0. Z 1. k('x + ) h( t ))dx. xx. xx dx + k. 0. Z 1 0. Z 1. Z 1 Z 1. ''xx dx. ('x + )dx +. 0. 0. 0. Z 1 0. '('x + )x dx h( t )dx. ' x dx:. En utilisant la formule de Green, on a :. J 0 (t) =. Z 1 0. (. 2 2 t + 't )dx +. + =. Z 1 0. (. =. 0. (. 0. Z 1 0. '2x dx. 2 2 t + 't )dx +. 2 x dx. 0. Z 1. '2x dx. 2 2 t + 't )dx +. + Z 1. Z 1. Z 1. 0. Z 1 0. Z 1 0. Z 1 0. +. (1 k). ' x dx +. 2 x dx. 2 x dx. Z 1 0. 0. Z 1. Z 1. ('x + )dx +. Z 1 0. ('x + )dx +. 'x dx +. 0. (1 k). Z 1 0. h( t )dx. ('x + )dx. 0. (1 k). ' x dx +. Z 1. Z 1 0. Z 1 0. Z 1 0. h( t )dx. 2 dx. ('x + )dx +. Z 1 0. h( t )dx. ('x + )2 dx:. D'apres l'inegalite de Young et l'inegalite de Poincare :. J 0 (t) . Z 1 0. (. 2 2 t + 't )dx. +c. Z 1 0. (1 k). Z 1. 2 x dx + c. 33. 0. Z 1 0. ('x + )dx +. h2 ( t )dx:. Z 1 0. ('x + )2 dx.

(114) Stabilisation non dissipative de systeme (P). Lemme 3.2.3 : La fonction K de

(115) nie par :. K (t) :=. Z 1. t ('x +. 0. )dx +. Z 1. x 't dx. 0. satisfait l'estimation :. K 0 (t) ['. x=1 x x ]x=0 + (1. k). Z 1. +. Z 1 0. ('x +. 2 t dx +. 0. )2 dx. c ". Z 1. (1 "). Z 1 0. ('x + )2 dx. (3.7). h2 ( t )dx. 0. pour tout 0 < " < 1:. Preuve : En exploitant les equations de (P) et on repetant le même procede, on a : K 0 (t) = =. Z 1. tt ('x +. 0. Z 1 0. )dx +. ('x + )(. =. Z 1 0. ('x + ) +. = +. Z 1 0. Z 1. =. 0. Z 1 0. Z 1. 2 x dx + 2 t dx + 2 x dx. Z 1 0. xx dx. Z 1 0. Z 1 0. Z 1 0. xt 't dx +. Z 1 0. t 'xt dx +. 0. t ('x +. 0. Z 1. )t dx +. Z 1. xx dx. 0. 2 x dx. Z 1 0. Z 1 0. Z 1 0. k('x + xt 't dx +. k('x + 34. 0. )2 dx. )t dx. h( t )('x + )dx +. Z 1. )2 dx. 0. x 'tt dx. )x dx. x 'xx dx +. Z 1. 0. t ('x +. 0. Z 1. )2 dx. xt 't dx +. 0. Z 1. x ('x +. 0. k('x +. Z 1. t 'xt dx +. Z 1. Z 1. xt 't dx +. 0. k('x + ) h( t ))dx +. xx. +. Z 1. 0. Z 1 0. 0. 0. 2 x dx. h( t )('x + )dx. x 'xx dx +. Z 1. Z 1. Z 1 0. 'x. xx dx. h( t )('x + )dx. 2 t dx.

(116) Stabilisation non dissipative de systeme (P). +. =. Z 1 0. Z 1 0. 2 t dx +. Z 1 0. ('x x )x dx + (1 k) +. =. t 'xt dx +. ['x x ]xx=1 =0 + (1. Z 1 0. k). Z 1 0. Z 1. xt 't dx +. 0. Z 1 0. ('x + Z 1 0. 0. Z 1 0. ('x. Z 1. )2 dx. ('x +. ('t t )x dx. Z 1. 0. xx + 'xx x )dx. h( t )('x + )dx +. Z 1 0. 2 t dx. ('x + )2 dx Z 1. )2 dx. h( t )('x + )dx +. 0. Z 1. 2 t dx. 0. ('x + )2 dx:. Et en utilisant l'inegalite de Young :. K 0 (t) ['. x=1 x x ]x=0 + (1. k) +. . ['x x ]xx=1 =0 + (1. 0. ('x +. Z 1 0. k) +. Z 1. Z 1 0. Z 1 0. 2 t dx. ('x + 2 t dx +. )2 dx + Z 1 0. Z 1 0. ('x +. )2 dx +. c ". Z 1 0. h2 ( t )dx. ('x + )2 dx. )2 dx. c ". " 2. Z 1 0. (1 "). Z 1 0. ('x + )2 dx. h2 ( t )dx:. Lemme 3.2.4 : Soit m 2 C 1 ([0; 1]) une fonction veri

(117) ant m(0) = m(1) = 2 (on peut prendre m(x) = 2 4x). Il existe une constante c > 0 telle que, pour tout " > 0,. d dt. Z 1 0. m(x). t x dx. +". . Z 1 0. ('x +. 2 2 x (1; t) + x (0; t) + (1. )2 dx + c. Z 1 0. 2 t dx +. 35. c ". k) Z 1 0. Z 1 0. x ('x +. 2 x dx + c. Z 1 0. )dx. h2 ( t )dx:. (3.8).

(118) Stabilisation non dissipative de systeme (P). et. d dt. Z 1 0. '2x (1; t) + '2x (0; t) + c. m(x)'t 'x dx . Z 1 0. 2 x dx:. '2t + '2x +. (3.9). Preuve : En exploitant les equations de (P) et en repetant le même procede, on obtient d dt. Z 1 0. m(x). t x dx. = = =. =. Z 1 0. Z 1 0. Z 1 0. Z 1 0. +. m(x)( m(x). tt x + t xt )dx. tt x dx +. m(x) x ( m(x) Z 1 0. . +(1 k). 0. 2 x. 0. t xt dx. 1 2. x=0. k). Z 1. Z 1. t xt dx. x=1. Z 1. m(x). k('x + ) h( t ))dx +. xx. x xx dx +(1. m(x). 1 = m(x) 2. Z 1. 0. Z 1 0. 0. +(1 k) 1 = 2. 2. 0. 2. 2 x (0; t). 36. t xt dx. Z 1. m(x) x h( t )dx. 0. x=1 1 0 2 2 m (x) x dx + m(x) t. m(x) x ('x + )dx. 2. m(x). m(x) x ('x + )dx. m(x) x ('x + )dx. 2 x (1; t). 0. m(x) x ('x + )dx. Z 1 0. 1 2. Z 1 0. Z 1 0. Z 1 0. 1 2. x=0. m(x) x h( t )dx. 1 1 = m(1) x2 (1; t) m(0) x2 (0; t) 2 2 Z 1. Z 1. Z 1 0. 1 2. m0 (x) x2 dx. m(x) x h( t )dx. m0 (x) x2 dx. 1 2. Z 1 0. Z 1 0. Z 1 0. m0 (x) t2 dx. m(x) x ('x + )dx Z 1 0. m0 (x) t2 dx. m(x) x ('x + )dx. m0 (x) t2 dx.

(119) Stabilisation non dissipative de systeme (P). +(1 k). Z 1. m(x) x ('x + )dx. 0. +(1 k). Z 1 0. +(1 k). 0. Z 1 0. 0. +c. 1 m0 (x) x2 dx. m(x) x ('x + )dx + ". Z 1 0. 2 t dx +. c ". Z 1 0. 0. Z 1 0. Z 1. k). Z 1 0. Z 1 0. 2 x dx + c. 0. x ('x +. 0. Z 1 0. m(x) x h( t )dx. c m0 (x) t2 dx+. ". )2 dx + c. ('x +. Z 1. m(x) x ('x + )dx. m0 (x) t2 dx. m(x) x ('x + )dx. 2. 0. 2 2 x (1; t) + x (0; t) + (1. . 1 2. m0 (x) x2 dx. Z 1. Z 1. 1 2. 2 2 x (1; t) + x (0; t). . Z 1. m(x) x ('x + )dx. Z 1. m(x) x h( t )dx. 0. 1 2. 2 2 x (1; t) + x (0; t). =. Z 1. Z 1. )dx + ". 0. Z 1 0. m(x)'t 'x dx = = = =. Z 1 0. Z 1. Z 1 0. ('x + )2 dx. h2 ( t )dx:. 0. Z 1 0. Z 1 0. . m(x)('tt 'x + 't 'xt )dx m(x)'tt 'x dx +. Z 1 0. m(x)'t 'xt dx. m(x)'x ('x + )x dx + m(x)'x 'xx dx +. 1 = m(x)'2x 2. x=1 x=0. 1 2. Z 1 0. Z 1. 37. 0. Z 1 0. m(x)'t 'xt dx. m(x)'x x dx + m0 (x)'2 dx + x. Z 1. Z 1 0. 0. 0. 2 x dx. h2 ( t )dx. De même. d dt. Z 1. m(x)'t 'xt dx. m(x)'x x dx.

(120) Stabilisation non dissipative de systeme (P) . 1 + m(x)'2t 2. x=1. 1 2. x=0. Z 1 0. m0 (x)'2t dx. 1 = m(1)'2x (1; t) m(0)'2x (0; t) 2. +. Z 1 0. 1 = 2. m(x)'x x dx. +. 0. 1 2. m(x)'x x dx. +. 0. Z 1 0. 0. 0. m0 (x)'2x dx. Z 1 0. m0 (x)'2x dx. m0 (x)'2t dx. Z 1. m0 (x)'2 dx x. 0. 1 2. Z 1 0. m0 (x)'2t dx. m(x)'x x dx. '2x (1; t) + '2x (0; t) + c. . Z 1. m0 (x)'2t dx 1 2. Z 1. 1 2. '2x (1; t) + '2x (0; t). =. Z 1. 2'2x (0; t). 2'2x (1; t) Z 1. 1 2. 1 2. Z 1 0. ('2x +. 2 2 x + 't )dx:. Lemme 3.2.5 : La fonction L de

(121) nie par : Z. 1 1 m(x) L(t) := K (t) + 4" 0 ou " 2 ]0; 1[ , satisfait l'estimation :. L0 (t) . . 3 4. "c c + ". Z 1 0. Z 1 0. ('x +. c 2 t dx + "2. )2 dx + (1 Z 1 0. t x dx + ". k). 2 x dx + "c. 38. Z 1 0. Z 1 0. Z 1 0. m(x)'t 'x dx;. . 1 ('x + ) 'x + + 4". '2t dx +. c ". Z 1 0. h2 ( t )dx:. x. dx (3.10).

(122) Stabilisation non dissipative de systeme (P). Preuve : Lemme 3.2.3, Lemme 3.2.4 et l'inegalite de Young impliquent 1 d L0 (t) = K 0 (t) +. Z 1. 4" dt. . ['x x ]xx=1 =0 +(1. 1 + 4". c + ". . 0. . Z 1 0. m(x). k). Z 1 0. t. d x dx + " dt )2 dx. ('x +. 2 2 x (1; t) + x (0; t) + (1. 2 x dx + c. 0. 1 4". ['x x ]xx=1 =0. +(1 k). Z 1. h2 (. c + 4". ('x +. Z 1 0. t )dx. 2 t dx +. )2 + . m(x)'t 'x dx. (1 "). k). +". 0. Z 1. . Z 1 0. ('x +. x ('x +. 0. )dx + ". ". . Z 1 0. . 2 x dx +. 1 ". c. c + " 4". Or. '2x 2('x + )2 + 2 2 ; et. 'x. x. "'2x + 41" x2 ;. et d'apres l'inegalite de Poincare, on trouve. 39. Z 1 0. Z 1 0. c 2 t dx + ". Z 1 0. " 4" Z 1 0. Z 1 0. )2 dx + c. ('x +. h2 ( t ) Z 1 0. 2 t dx. 2 2 2 ('x + x + 't )dx. '2x (1; t) + '2x (0; t) + "c. 1 (' + ) dx 4" x x. c + "c 4"2. )2 dx +. '2x (1; t) + '2x (0; t) + c. 2 2 x (1; t) + x (0; t). Z 1 0. . Z 1. Z 1. Z 1 0. 0. ('2x + '2t )dx. ('x + )2 dx. h2 ( t ):.

(123) Stabilisation non dissipative de systeme (P). . L0 (t) " '2x (1; t) + '2x (0; t) + ". 1 4. 1 ". Z 1 0. . c + 2 + "c 4". . 3 4. "c c + ". Z 1 0. Z 1 0. k). )2 dx +. ('x + Z 1. c 4". 2 x dx + 2"c. 0. c 2 t dx + "2. Z 1. Z 1 0. 2 x dx + "c. 0. 2 t dx + "c. Z 1 0. Z 1 0. Z 1 0. )2 dx +. ('x +. k). . 1 ('x + ) 'x + + 4". 0. 0. 2 2 x (1; t) + x (0; t). . Z 1. Z 1. )2 dx + (1. ('x +. 1 4". 2 2 x (1; t) + x (0; t). '2x (1; t) + '2x (0; t) + (1. . . 1 4". x. '2t dx + 2"c. c ". Z 1 0. dx. Z 1 0. h2 ( t )dx. . 1 ('x + ) 'x + + 4". '2t dx +. c ". Z 1 0. 2 dx. x. dx. h2 ( t )dx:. Lemme 3.2.6 : Soit la fonction L1 de

(124) nie par :. L1 (t) := L (t) + 2c"J (t) : Alors nous avons l'inegalite suivante :. L01 (t) . 1 2. Z 1 0. +c. Preuve :. ('x + Z 1 0. )2 dx + c. 2 x dx. c. j1 kj. Z 1 0. Z 1 0. '2t dx + c. ('2x + x2 )dx + c. Z 1 0. Z 1 0. 2 t dx. (3.11). h2 ( t )dx:. L1 (t) = L (t) + 2c"J (t) =) L01 (t) = L0 (t) + 2c"J 0 (t) :. Les Lemme 3.2.5 et 3.2.2 impliquent. L01 (t) . . 3 4. "c. Z 1 0. ('x +. )2 dx+(1. k). Z 1 0. 40. . 1 ('x + ) 'x + + 4". x. c dx+ ". Z 1 0. 2 t dx.

(125) Stabilisation non dissipative de systeme (P). c + 2 " +. . Z 1 0. . Z 1 0. ('x +. 3 4. 2 x dx + "c. 0. )2 dx + c. "c 2c" Z 1. c. Z 1. Z 1. Z 1 0. '2t dx + 2 x dx. 0. Z 1 0. h2 (. (1 k). )2 dx+(1. ('x +. 2 dx+ c t "2. c ". t )dx + 2c". Z 1. Z 1. L0 (t) 1. 1 2. Z 1. 0. 0. +c. ('x + Z 1 0. 2 x dx. c. j1 kj. Z 1 0. Z 1 0. '2t dx + c. Z 1 0. h2 (. t )dx. . 1 ('x + ) 'x + (1 2c") + 4". Z 1 2 2 + 2c " x dx+("c 0. )2 dx + c. 0. 2 2 t + 't )dx. (. . 2c" " 0 Donc, avec " 2]0; 1[ assez petit, on obtient +. Z 1. ('x + )dx + c. 0. k). . 2c"). Z 1 0. '2t dx+. ('2x + x2 )dx + c. Z 1 0. Z 1 0. c. ". x. dx. Z 1 2 + 2c " h2 ( t )dx: 0. 2 t dx. h2 ( t )dx:. Comme dans [14], nous considerons la fonction w de

(126) nie par :. wxx =. ou w (0) = w (1) = 0:. x. On a : Z x. w(x) =. 0. (y)dy + x. Z 1 0. Lemme 3.2.7 : La solution w de (3.12) satisfait : Z 1 0. wx2 dx. . Z 1 0. 2 dx;. et Z 1 0. wt2 dx. 41. Z 1 0. 2 t dx:. (y)dy:. (3.12).

(127) Stabilisation non dissipative de systeme (P). Preuve : On multiplie l'equation (3.12) par w et on integre par partie, on obtient Z 1. wxx wdx =. 0. =). Z 1 0. wx2 dx. Z 1. =. Z 1. x wdx. 0. x wdx. 0. =. Z 1. wx dx:. 0. L'inegalite de Couchy-Schwarz implique alors Z 1 0. wx2 dx. . 1 2. Z 1 0. 2 dx +. 1 2. Z 1 0. wx2 dx. =). Z 1 0. wx2 dx. . Z 1 0. 2 dx:. De même Z 1 0. 2 dx wxt. . Z 1 0. 2 t dx:. Et d'apres l'inegalite de Poincare, on a Z 1. wt2 dx. 0. . Z 1 0. 2 dx; wxt. alors Z 1 0. wt2 dx. . Z 1 0. 2 t dx:. lemme 3.2.8 : La fonction J1 de

(128) nie par :. J1 (t) := satisfait l'estimation :. J1 (t) . 1 2. Z 1 0. 2 x dx + (1. k). Z 1 0. +c. Z 1 0. (. t + w't ) dx. c ('x + )dx + "1 Z 1 0. h2 ( t )dx. pour tout 0 < "1 < 1: 42. Z 1 0. 2 t dx + "1. Z 1 0. '2t dx. (3.13).

(129) Stabilisation non dissipative de systeme (P). Preuve : J 0 (t) =. Z 1. 1. =. =. =. 2 t +. 0. Z 1. tt + wt 't + w'tt. 2 t dx +. 0. Z 1. 2 t dx+. 0. Z 1. 0. wt 't dx+. Z 1 0. Z 1. tt dx +. 0. Z 1. 2 t dx +. 0. Z 1. 0. Z 1. Z 1 0. Z 1 0. . Z 1 0. 2 t dx +. +c. . 1 2. Z 1 0. Z 1 0. Z 1 0. h2 (. t )dx. 2 x dx + (1. 0. Z 1 0. k). Z 1. wt 't dx +. 0. Z 1. xx. 2 x dx. k('x + ) h( t )) dx+. k. Z 1. ('x + )dx. 0. 2 x dx + (1. k). Z 1. Z 1. Z 1. wx ('x + )dx. 0. c ('x + )dx + "1. 0. +c. w'tt dx. 0. Z 1 0. w('x + )x dx. h( t )dx. wx ('x + )dx. Z 1. wt 't dx. dx. (. 0. wt 't dx. . Z 1 0. 0. Z 1 0. h2 ( t )dx:. Pour tous N1 > 1 et N2 > 1, On pose $ (t) = N1 E (t) + N2 J1 (t) + L1 (t) :. Alors $ est equivalent a E et il existe c > 0 veri

(130) ant. cE 0 (t);. 43. Z 1 0. ('x + )dx. Lemme 3.2.9 :. $0 (t) cE (t). 1 ('x + )dx + 2. 8t 0:. 2 t dx + "1. Z 1 0. '2t dx. 2 x dx.

(131) Stabilisation non dissipative de systeme (P). Preuve : $ (t) = N1 E (t) + N2 J1 (t) + L1 (t). =) $0 (t) = N1 E 0 (t) + N2 J10 (t) + L01 (t) : Par l'addition des estimations (3.5), (3.11) et (3.13), on obtient $0 (t) N. . Z 1. 1. 1 2. t h( t )dx + (1. 0. Z 1. 2 x dx +. 0. +cj1 kj. Z 1 0. j1 kj N1. ("1 N2. cj1 kj. Z 1 0. cN2 "1. N1. c). Z 1. Z 1 0. Z 1. 2 t dx + "1. 0. ('2x + x2 )dx + c. . . c "1. k). 0. j('x + c. 0. Z 1. 2 t dx + c. 0. . 2 t dx. 0. N1. Z 1 0. ("1 N2. c). 0. '2t dx. +N2 c. Z 1 0. Z 1 0. 0. Z 1 0. N2 2. N1. h2 (. Z 1 0. . 1 2. t). c. Z 1 0. ('2x + x2 )dx + N2. . 1 2. . h2 (. 2 x dx. c. Z 1. Z 1. cN2 "1. ('x +. t )dx + c. 44. Z 1 0. c. )2 dx Z 1 0. h2 (. Z 1. Z 1. h2 ( t )dx. 0. Z 1 0. h2 ( t ). ('x + )dx. 0. 0. 2 t dx. 0. ('x + )2 dx. '2t dx + c. . ('x + )2 dx. t )dx + c. Z 1. N1. 0. ('x + )dx. 0. Z 1. Z 1. 1 2. 2 x dx. 0. t h( t )dx + N2 c. '2x + x2 + t2 dx Z 1. Z 1. '2t dx + c. 0. Z 1. . ('x + ) t dx +N2 (1 k). ) t jdx + c. Z 1. '2t dx. Z 1. Z 1. . 0. h2 ( t )dx. N2 2. t h( t )dx. c. Z 1 0. 2 x dx.

(132) Stabilisation non dissipative de systeme (P) . cj1 kjE (t) ("1 N2. c). Z 1 0. cN2 "1. N1. '2t dx. 1 2. Z 1 0. c. Z 1 0. )2 dx + c. ('x +. . 2 t dx. Z 1. N2 2. Z 1. c. 0. t h( t ) + h. 0. 2(. 2 x dx. t ) dx:. Nous choisissons N1 et N2 assez grands et "1 assez petit tels que. cN2 "1. N1 On obtient $0 (t) c. Z 1. N2 2. c > 0;. c > 0 et "1 N2. )2 dx + c. 2 2 2 t + x + 't + ('x +. 0. Z 1. c > 0;. 2 2 t h( t ) + h ( t ) + t dx. 0. +cj1 kjE (t): Nous choisissons j1 kj assez petit, on trouve $0 (t) c. Z 1 0. cE (t) + c Or. )2 dx + c. 2 2 2 t + x + 't + ( 'x +. Z 1 0. Z 1. t h( t ) + h. 0. 2(. 2 2 t h( t ) + h ( t ) + t dx:. h2 ( t ) +. 2 t. c t h ( t );. donc, d'apres (3.5), Z 1 0. t h( t. ) + h2 (. t) +. 2 t dx. c . Z 1 0. t h( t ). cE 0 (t) + c(1. k). Z 1 0. ('x + ) t dx. cE 0(t) + cj1 kjE (t): Donc $0 (t) cE (t). cE 0 (t) + cj1 kjE (t): 45. 2 t ) + t dx.

(133) Stabilisation non dissipative de systeme (P). Avec j1 kj assez petit, on obtient ($ + cE )0 cE (t): D'autre par, on a (. Donc. jJ1(t)j cE (t) ; 8t 0: jL1(t)j cE (t) $(t) cE (t):. De même, $(t) N1 E (t) N2 cE (t) cE (t): Avec N1 assez grand, on a $(t) cE (t): D'ou donc $ E On pose maintenant F = $ + cE , on obtient F est equivalante a E et. F 0 (t) cF (t);. 8t 0:. Alors. 9 0. tel que F 0 (t) F (t) =) et F (t). 0. 0. =) et F (t) F (0) 0 =) F (t) F (0)e =) F (t) ce Donc, comme F. t :. E, E (t) ce. t ;. 46. 8t 0:. t.

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(138) Resume. Dans ce le travail, nous considerons le systeme de Timoshenko suivant : 8 > > > > > > > < > > > > > > > :. ('x + )x = 0; (0; 1) R+ (0; 1) R+ tt xx + k ('x + ) + h( t ) = 0; '(0; t) = '(1; t) = (0; t) = (1; t) = 0; t 0 '(x; 0) = '0 (x); 't (x; 0) = '1 (x); x 2 (0; 1) (x; 0) = 0 (x); t (x; 0) = 1 (x); x 2 (0; 1). 'tt. ou k 2 R et h : R ! R une fonction donnee. Nous montrons, sous des hypotheses sur la fonction h et la constante k, que ce systeme est exponentiellement stable ; c'est-a-dire. 9 c; w > 0. tq E (t) ce. wt ;. 8t 0;. ou E : R+ ! R+ est l'energie du systeme. La methode de la demonstration est basee sur la methode des multiplicateurs et quelques inegalites integrales.. Mots cles : stabilite exponentielle, multiplicateurs, Timoshenko, inegalites itegrales..

(139) Abstract. In this work we consider the following Timoshenko system 8 > > > > > > > < > > > > > > > :. ('x + )x = 0; (0; 1) R+ (0; 1) R+ tt xx + k ('x + ) + h( t ) = 0; '(0; t) = '(1; t) = (0; t) = (1; t) = 0; t 0 '(x; 0) = '0 (x); 't (x; 0) = '1 (x); x 2 (0; 1) (x; 0) = 0 (x); t (x; 0) = 1 (x); x 2 (0; 1);. 'tt. where k 2 R and h : R ! R is given function. We establish that, under some hypotheses on the function h and the constant k, this system is exponentially stable ; that is. 9 c; w > 0 = E (t) ce wt; 8t 0; where E : R+ ! R+ is the energy of system. The method of proof is based on the multiplier method and some integral inequalities.. Key words : exponential decay, fractional damping, multipliers, Timoshenko, integral inequalities..

(140) . jÊÓ. 8 > > > > > > > < > > > > > > > :. ø@. AJ @. èQ®JÓ. :. éJ Ë AJË @ ñºJñÒJ K. . . éÊÒk. QJ.JªK ÉÒªË @ @ Yë ù¯. ('x + )x = 0; (0; 1) R+ (0; 1) R+ tt xx + k ('x + ) + h( t ) = 0; '(0; t) = '(1; t) = (0; t) = (1; t) = 0; t 0 '(x; 0) = '0 (x); 't (x; 0) = '1 (x); x 2 (0; 1) (x; 0) = 0 (x); t (x; 0) = 1 (x); x 2 (0; 1); . ù¢ªÓ ©K A h: R !R . K. 'tt. éÊÒm.Ì '@. 9. à@. k c; w > 0 =. è Yë. . éJÊÓ Aº K H Ajk. @QJÓ. ð. h éË @ YË @ úÎ« H AJ Q¯ E (t) ce wt ; 8t 0 . éÊÒmÌ '@ é¯ A£ ùë E : R+ .. IK. AJË @. ð. . è Y« ð H A®« AÖÏ @. k2R Im'. ! R+. é®K Q£ úÎ« YÒJªK à AëQJ.Ë @. IJ. k. QK áë .. IJ. k é®K Q£. . iJK A®ÖÏ @. , . éJÊÓ Aº , ' K H Ajk. @QÓ ,ñºJñÒJ. K ú» A¾Jk B @ È ð AJË @ ù B @ A¢m B @.

(141)