Cohérence aux échelles mésoscopiques : réponse électromagnétique d'anneaux isolés et supercourants dans les nanotubes de carbone

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électromagnétique d’anneaux isolés et supercourants

dans les nanotubes de carbone

Richard Deblock

To cite this version:

Richard Deblock. Cohérence aux échelles mésoscopiques : réponse électromagnétique d’anneaux isolés

et supercourants dans les nanotubes de carbone. Physique [physics]. Université Paris Sud - Paris XI,

2001. Français. �tel-00002327�

ORSAY

n° d’ordre :

6636

UNIVERSITE DE PARIS-SUD

CENTRE D’ORSAY

THESE

présentée

pour obtenir

Le grade de DOCTEUR EN SCIENCE

Spécialité Physique des Solides

par

Richard DEBLOCK

SUJET :

Cohérence aux échelles mésoscopiques :

réponse électromagnétique d'anneaux isolés

et supercourants dans les nanotubes de carbone

Soutenue le 12 octobre 2001 devant la commission d’examen :

MM.

Y. Blanter

Rapporteur

H. Bouchiat

C. Glattli

D. Mailly

G. Montambaux

Président

B. Reulet

Invité

M. Sanquer

Rapporteur

Remerciements

Cette thèse est le fruit du travail réalisé dans l'équipe d'Hélène Bouchiat, Bertrand Reulet etSophieGuéron. Jeleur suis très reconnaissant pour lapatience et l'énergiedont ilsonttoujoursfaitpreuveàmonégardaucoursde cestrois ansainsi quepourl'ambiance trèssympathiquequ'ilsmaintiennentdanslegroupe.JetiensàexprimermagratitudeàH. Bouchiatpourm'avoirencadréaucoursdecettethèseetpouravoirtoujourssusemontrer disponible tant sur les expériences que pour les discussions. Merci à B. Reulet pour son dynamismeetl'inventivitédontilafaitpreuvesur lesexpériencesquenousavons réalisées ensemble et au cours des discussions que nous avons eues. Je le remercie aussi d'être revenudesEtats-Unispour participeràmonjuryde thèse.JeremercieS.Guéronpournos nombreuses discussions et pour ses remarques pertinentes sur mon travailtantsur le fond que sur la forme. Je laremercie aussi d'avoir pris le tempsde me former à la lithographie électronique.

Je remercie Y. Blanter etM. Sanquer d'avoir accepté d'être rapporteurs de ma thèse. Je suis très reconnaissant à G. Montambaux de son intérêt pour mon travail ainsi que pour avoir accepté d'être président de mon jury. Je remercie égalementC. Glattlipour sa participation à mon jury de thèse. Merci aussi à D. Mailly pour sa patience etson talent dans la fabrication de nombres d'échantillons étudiés au cours de cette thèse ainsi que d'avoir bien voulu être membre de mon jury.

LapartiedemathèseportantsurlesnanotubesdecarbonedoitbeaucoupàA.Kasumov quinousapermisdedisposerd'échantillonsuniques.Jetienségalementàleremercierpour sa bonne humeur etles rires sonoresdont ila gratié notrecouloir.

Un grand merci àtoute l'équipeQuantronique pour m'avoirlaissé utilisé leur installa-tiondenanofabricationainsiquepourleursconseilsetleuraideaucoursdecesfabrications. Cetravailalargementbénéciédenombreusesdiscussionsscientiquesavecentreautres G.Montambaux, Y. Noat, M. Kociak, D. Ullmo,F. Piéchon.

Au cours de cette thèse j'ai eu l'occasion d'enseigner dans deux services diérents. Je voudraisremercier l'ensembledes équipesenseignantes de chacun d'eux ettout particuliè-rement B. Pansu etH. Ngo.

Je remercie vivement pour leur soutien technique M. Nardone, P. Aymard, O. Duarte ainsi que lesmembres de l'atelier.

Je tiens à remercier l'administration pour leur aide ecace en maintes occasions. Je remercieY.Dufourpoursapatienceetsagentillessefaceàmes demandesdereprographie.

(pour lacourseetleséchangesd'impression),Yves, Laurent,Fabrice,Stéphanie,Dorothée, Christophe, Philippe etbien d'autres.

Ungrandmerciaussi auboutdu couloir3èmeailenord pourlasympathiqueambiance du dit couloiret pour les nombreux repaspris en commun.

Table des matières

1 Résumé de la thèse 9

1.1 Réponses magnétique etélectrique d'anneaux isolés . . . 9

1.1.1 Anneaux semi-conducteurs . . . 10

1.1.2 Anneaux métalliques . . . 14

1.1.3 Eetsnon-linéaires . . . 14

1.2 Supercourant dans des nanotubes de carbone . . . 14

1.3 Organisationde lathèse . . . 18

2 Introduction 19 2.1 Cohérence de phase . . . 20

2.2 Diérentes approches théoriques . . . 20

2.3 Conductance aux échelles mésoscopiques: systèmes connectés . . . 22

2.4 Interférences quantiques . . . 23

2.4.1 Conductance d'un anneau . . . 24

2.4.2 Localisationfaible. . . 26

2.4.3 Eet du couplage spin-orbite. . . 28

2.5 Propriétés d'échantillons non connectés . . . 29

2.5.1 Spectre discret . . . 30

2.5.2 Ensemble canoniqueet grandcanonique . . . 32

2.6 Réponse magnétique orbitale:lescourantspermanents . . . 33

2.6.1 Anneau 1D . . . 33

2.6.2 Anneau réel . . . 36

2.6.3 Mesure des courants permanents . . . 37

2.7 Réponse électrique: magnétopolarisabilité . . . 38

2.8 Eetde fréquence nie . . . 40

2.9 Eetde proximitédans lesnanotubes de carbone . . . 42

2.9.1 Réexion d'Andreev . . . 42

I Réponse électrique et magnétique d'anneaux mésoscopiques 51

1 Dispositif expérimental 55

1.1 Micro-résonateur supraconducteur . . . 55

1.2 Couplage électrique . . . 58

1.3 Couplage magnétique . . . 58

1.4 Mesure des propriétés du résonateur. . . 59

1.4.1 Détection de la fréquencede résonance . . . 59

1.4.2 Mesure du facteur de qualité . . . 60

1.4.3 Estimationdes champsvus par les anneaux . . . 61

2 Anneaux semi-conducteurs 63 2.1 Hétérojonction AlGaAs/GaAs . . . 63

2.2 Fabrication des anneaux . . . 63

2.3 Eetde l'éclairement . . . 64

3 Magnétopolarisabilité 69 3.1 Résultatsexpérimentaux . . . 69

3.2 Magnétopolarisabilitéd'anneaux mésoscopiques . . . 70

3.2.1 Ensemble GrandCanonique . . . 72

3.2.2 Ensemble Canonique . . . 74

3.3 Eetde latempérature . . . 76

3.4 Eetde l'éclairement . . . 77

4 Absorption électrique 81 5 Magnétisme orbital 85 5.1 Dépendance en ux du magnétismeorbital . . . 85

5.2 Lien avec lescourants permanents . . . 86

5.3 Eetde fréquence nie . . . 87

5.4 Eetde l'éclairement . . . 89

6 Réponse magnétique d'anneaux métalliques 93 6.1 Fabrication de l'échantillon. . . 94

6.2 Magnétisme orbitaldes anneauxd'argent . . . 96

6.3 Interprétation . . . 97

7 Eet Photovoltaïque 101 7.1 EetPV sur un anneauAharonov-Bohm . . . 102

7.1.1 Dispositif expérimental . . . 104

7.1.2 Résultats . . . 105

II Supraconductivité induite dans les nanotubes de carbone 117

1 Les nanotubes de carbone 119

1.1 Introduction . . . 119

1.1.1 Descriptiondes nanotubesmonoparois . . . 119

1.1.2 Diérentes formes de nanotubes de carbone . . . 120

1.1.3 Méthodes de fabrication . . . 120

1.2 Transport électronique dans lesnanotubes . . . 123

1.2.1 Relationde dispersiond'un nanotube monoparoi. . . 123

1.2.2 Densité d'état . . . 126

1.2.3 Lesnanotubes de carbone: des conducteurs unidimensionnels? . . . 126

1.3 Méthode de fabricationdes contacts. . . 126

1.3.1 Tubes déposés . . . 128

1.3.2 ((Soudure )) des tubes . . . 128

2 Supercourant dans des nanotubes de carbone 131 2.1 JonctionSNS avec des cordesde nanotubes. . . 133

2.2 JonctionsSNS avec des nanotubes individuels . . . 140

2.3 Analyses et conclusions . . . 145

III Annexes 147 A Modélisation du couplage anneaux-résonateur 149 A.1 Estimationdu couplage magnétique . . . 149

A.2 Estimationdu couplage électrique . . . 150

B Magnétopolarisabilité d'un anneau quasi-1D 153 C Résultats sur quelques fonctions de corrélation dans les systèmes diu-sifs. 155 C.1 Corrélationentre niveaux d'énergie . . . 155

C.1.1 Corrélationà deux niveaux . . . 155

C.1.2 Corrélationà trois niveaux . . . 155

C.2 Corrélationsentre fonctionsd'onde . . . 156

C.2.1 Corrélationsdiagonales . . . 156

C.2.2 Corrélationsnon-diagonales . . . 157

D Modèle d'Anderson 159

Chapitre 1

Résumé de la thèse

Aux échelles mésoscopiques età bassetempérature, les fonctionsd'ondeélectroniques, dans un échantillonmétallique,conservent une phase bien dénie sur une longueur L

 , la longueur de cohérencede phase,quipeutêtre de l'ordrede latailleL de l'échantillon. Les propriétésdetransportetlespropriétésthermodynamiquesdetelssystèmessontmodiées par les interférences électroniques ausein du matériau. Dansune géométrie annulaire, ces correctionssontrévéléesparuncomportementpériodiqueenfonctionduuxmagnétique autraversdel'anneauavecuneéchelledeuxdéterminéeparlequantumdeux

0

=h=e. En eet on peut montrer que la phase accumulée par la fonction d'onde d'un électron le longd'unetrajectoirequifaitletour del'anneau est 2=

0

.Leuxmagnétique estdonc un moyen de modier la phase électronique et par voie de conséquence les interférences électroniques [1,2].

Dans des échantillons connectés, à cause du fort couplage du système avec l'environ-nement de mesure, les corrections dues à la cohérence quantique restent petites et les propriétés du système sont donc dominées par les eets classiques. Au contraire dans la limite de faible couplage, lorsque l'échantillon n'est pas connecté, les eets liésà la cohé-rencequantiquepeuventêtreprépondérants.Unepartiedecettethèseaconsistéenlamise en évidence de tels eets sur des anneaux désordonnés isolés en mesurant la dépendance en fonction du ux magnétique de leur réponse électriqueet magnétique.

1.1 Réponses magnétique et électrique d'anneaux isolés

Laréponseélectrique ,oupolarisabilité,d'unsystèmerelieledipôleélectriquedinduit auchampélectriqueEappliquéausystème.Plus précisément,onpeutécriredans lecadre de la réponse linéaire:

d= E

La polarisabilité est une mesure de l'écrantage du système électronique. En eet les élec-trons,soumisauchampE,vontécranterce champ etainsiannuler ausein de l'échantillon

a accumulationde charges sur les bords de l'échantillon, d'où un dipôleinduit. Classique-mentla polarisabilitéest essentiellement déterminéepar levolume du système. Dufait de lacompressibiliténie du gaz électronique ilexiste de plus une correctionnégative quiest de l'ordrede

s

=Lavec  s

lalongueurd'écrantage[3,4].L'existence d'unecorrectiondue à lacohérence de phasesur lapolarisabilitémoyenne n'a été prévueque trèsrécemmentpar Efetov [5], Noat et al. [6] et Blanter et Mirlin [7]. Une telle signature de la cohérence de phasen'étaita priori pas prévisible.Eneet,dans unmodèle naïf,onpourraitpenser que cettesignatureest liéeàladépendanceen uxde lalongueurd'écrantagedansune géomé-trie annulaire du fait de la cohérence quantique. Or 

s

est essentiellementdéterminée par la densité d'états au niveau de Fermi, quantité qui est indépendante du ux magnétique une fois moyennéesur ledésordre.

La réponse magnétique orbitale est associée, à fréquence nulle, à la notion de courant permanent.L'énergie E

0

de l'état fondamentaldans un anneaudépendantdu ux magné-tique, il existe donc un courantI qui circule dans l'anneau en présence de ux:

I = dE

0 d

Ce courant non-dissipatif, qui est une propriété d'équilibre du système, est à mettre en relation avec le courant circulant dans des molécules aromatiques en présence de champ magnétique [8]àceci près quecet eetexiste dansdes anneauxmétalliquesde latailledu micron.

Lamesuredescesdeuxtypesderéponseestfaiteencouplantlesanneauxavecun micro-résonateur supraconducteur dont la partie capacitive et la partie inductive sont séparées physiquement.Lesmodicationsdes propriétésdu résonateurpermettentde remonter aux parties réelles et imaginaires de la réponse des anneaux. Ces mesures ont porté sur deux typesd'anneaux, d'unepart desanneaux gravésdans une hétérojonction semi-conductrice GaAs/AlGaAsdegrandemobilitéet,d'autrepart,dansdesanneauxmétalliquesenargent. Deparnotresystèmededétectionlamesuresefaitàfréquencenie,entre200et400MHz. Lesexpériences sont eectuées à basse température(18 mK <T <100 mK).

1.1.1 Anneaux semi-conducteurs

Les anneaux GaAsque nous avons mesurés ont une taillede l'ordredu micronet sont semi-balistiques.Ilssonteneetdiusifslelongdel'anneauetbalistiquesdansladirection transverse.Nousavons utilisé lapossibilitéde modierladensitéélectroniquedans de tels systèmesen leséclairantavec une diodeélectroluminescente.L'échantillonest constituéde 10

5

anneaux.

Correction à l'écrantage électrique

Pour la mesurede lacorrection due à la cohérencequantique sur la réponse électrique des anneaux,ceux-ci sontplacés sur lapartiecapacitivedu résonateur, commeschématisé

-40

-20

0

20

40

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

(b)

(a)

f=348.7 MHz

T=19 mK

- 1

0

6

δ

f / f

B (G)

-40 -20 0

20 40

-300

0

300

B (G)

- d

f/d

B

(H

z

/G

)

Fig. 1.1  Variation en fonction du champ magnétique de la fréquence de résonance due aux anneaux. Cette variation est directement proportionnelleà la correction liée à la cohé-rence quantique de la réponse électrique des anneaux. Insert gauche: schéma d'un micro-résonateursupraconducteurcouplécapacitivementauxanneaux.Lacapacitance(a)est phy-siquement séparée de l'inductance (b). Insert droit: dépendance en champ magnétique de la dérivée par rapport au champ magnétique de la fréquence de résonance du résonateur avec les anneaux.

du résonateur avec les anneaux fait apparaître un comportement essentiellement linéaire en champ magnétique, qui est dû au caractère supraconducteur du résonateur, auquel se superpose un comportement oscillantattribuéaux anneaux (insert droit de la gure1.1). Cette dernière composante, une fois intégrée (gure 1.1), est directement proportionnelle àlavariationen uxdelapolarisabilité .Lefaitquecettequantité aitun comportement périodiqueavec lechampmagnétiquerévèlel'existence d'unecorrectiondueàlacohérence quantique sur l'écrantage électrique. La périodicité du signal, correspondant à un demi quantum de ux dans la surface de l'anneau, est compatible avec un eet moyenné sur le désordredu faitdugrandnombred'anneaux considérés.Cettecorrectionestpositiveàbas champ, signeque l'écrantage est augmentélorsque lasymétriepar renversement du temps est brisée par le champ magnétique. Les prédictions théoriques pour des anneaux isolés à fréquence nie conduisent à une magnétopolarisabilitémoyenne Æ



 positive dont l'ordre de grandeur pour un anneau de longueur L et de largeur W est:

Æ    =f( L W )  s W 1 g G(!)

-30

-20

-10

0

10

20

30

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0,00

T = 20 mK

f

₀

= 350 MHz

- 10

6

δ

f/f

0

B (G)

-0,06

-0,04

-0,02

0,00

- 10

6

δ

f/f

0

Fig. 1.2  Courbe du bas: variation de la fréquence de résonance due aux anneaux à 20 mK et sans éclairement.Courbe du haut: le signal précédent est décomposé en une partie périodique, présentant une périodicité compatible avec un demi quantum de ux dans la surface de l'anneau, et une partie apériodique.

f(L=W)est un facteurgéométrique, g laconductance du système en unité de e 2

=het  1D la polarisabilité calculée d'un anneau circulaire. G(!) est un facteur correctif qui prend en compte l'eet de la fréquence et qui, dans notre cas, est de l'ordre de 1. L'ordre de grandeur etle signe de l'eet mesuré sont compatibles avec cette prédiction. La longueur de cohérence de phase déduite de ces mesures est bien plus grande que celle mesurée sur des échantillons connectés et possède une dépendance en température compatible avec l'élargissement des niveaux d'énergie dans une boite quantique du fait des interactions électron-électron. L'eet de l'éclairement des anneaux est qualitativement en accord avec ladépendance en 1=g de l'eet.

La partie dissipative de la réponse électrique présente également une correction due à la cohérence quantique, dont le signe conduit à une magnétoconductance négative, c'est à dire opposée à la localisation faible. Ce signe particulier est à mettre en relation avec la statistique des niveaux d'énergie dans un système diusif dans une limite de spectre discret.

Correction au magnétisme orbital

Lorsquelesanneauxsontcouplésàlapartieinductivedurésonateurl'expériencedonne accès à lacorrection due à lacohérence quantiquesur lemagnétisme orbital.La variation

-30

-20

-10

0

10

20

30

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

T = 40 mK

f

₀

= 217 MHz

B (G)

δ

f (

H

z

)

Fig. 1.3  Variation de la fréquence de résonance due aux anneaux d'argent en fonction du champ magnétique. Insert: photographie optique des anneaux d'argent alignés sur le résonateur.

unecomposanteoscillanteprésentantlapériodicitéattendue,àsavoirundemiquantumde uxdans lasurface de l'anneau,et une composanteapériodique (gure1.2, partie haute). Cettevariationdefréquence estdirectementproportionnelleàlasusceptibilitémagnétique des anneaux. La partie oscillante est attribuée aux trajectoires enserrant l'anneau tandis quelapartieapériodiquecorrespondauxtrajectoiresconnées danslalargeurdel'anneau. En analysant la partie oscillante dans un modèle considérant que le signal est relié à la dérivée par rapport au ux magnétique des courants permanents, on trouve des courants diamagnétiques de l'ordre de 0.2 nA. Le signe du courant n'est pas compatible avec les prédictionsthéoriquesdanslecadred'électronssansouavec interaction.Unepistepossible serait laprise en compted'eets non linéairesainsi que d'eets de fréquence nie.

Les mesures présentées jusqu'à présent concernent des anneaux bidimensionnels semi-balistiquesavecun faiblenombred'électrons(1000)etdansunelimitedespectrediscret. Nous nous sommes intéressés également à la mesure de la réponse magnétique sur des anneaux métalliques en argent qui permettent d'avoir accès à une limite diérente. En l'occurrence, les anneaux d'argent sont diusifs et se placent dans une limite de spectre continu.De plus, l'argent présente un fortcouplage spin-orbite qui peut induire, selon les

1.1.2 Anneaux métalliques

L'échantillon utilisé pour la mesure de la réponse magnétique orbitale des anneaux d'argent est montré sur la photographie optique de la gure 1.3. Il est constitué d'envi-ron 10

5

anneaux alignés sur la partie inductive d'un résonateur supraconducteur. Dans ces conditions, le signal obtenu (gure 1.3) conduità des courants permanents également diamagnétiques del'ordrede0.3nA.Lesignede l'eetesten contradictionavecles prédic-tions théoriques y compris cellesbasées sur des eets non linéairesdans une limitede fort couplage spin-orbite.Lafréquence est sans douteun ingrédientimportantdanslesystème que nous considérons, en particulier nous pourrions mesurer en plus des courants perma-nentsunecomposanteliéeàlapartieimaginairede laconductancedans lalimite!

 1, avec 



letemps de cohérence de phase.

On remarquera quelesigne etl'ordrede grandeur des courantsmesurés sontsimilaires danslesanneauxGaAsetdanslesanneauxmétalliquesalorsquelesprédictionsthéoriques laissaient présager une réponse plus importante dans les anneaux GaAs. Cette diérence est attribuéeaurégimeenfréquence quiesttrès diérentdans cesdeux typesdesystèmes.

1.1.3 Eets non-linéaires

Une des analyses récentes des courants permanents fait intervenir de manière cruciale les non-linéaritésd'un système mésoscopique [9]. Ainsi des anneaux soumis à un ux ma-gnétiquehautefréquencepourraientêtrelesiègedecourantsDC,impairsenux, résultant duredressementdusignalAC,quinepeuventêtredistinguésdecourantspermanents.Nous nous sommes intéressés à ce type d'eet de redressement en mesurant la tension DC qui apparaît aux bornes d'un échantillonconnecté soumis à un rayonnement hyperfréquence. Ceteet, l'eet photovoltaïque(PV),aétémesurésur un anneauetsur unegrille permet-tant ainsi de comparer l'eet PV typique et moyen. Nos mesures semblent indiquer, sur l'eet PV de la grille, l'existence d'une composanteimpaire et périodique en champ, avec une période correspondant à un demi quantum de ux dans lasurface d'une cellule de la grille.

1.2 Supercourant dans des nanotubes de carbone

Dansunegéométrieannulaire,unuxmagnétiquepermetdemodierlesconditionsaux limites pour les fonctions d'onde électroniques. Une autre façon d'imposer ces conditions aux limites est de connecter un système à des contacts supraconducteurs. En eet les excitations électroniques dans un supraconducteur ne pouvant exister pour des énergies, repéréesparrapportauniveaudeFermi,inférieuresau((gap ))supraconducteur,unélectron, avec uneénergielégèrementsupérieureauniveaudeFermi,incidentsur uneinterfaceentre une zone normaleet unezone supraconductrice ne peut pénétrer dans le supraconducteur et est rééchi sous la forme d'un trou, l'excédent de charge étant emporté sous la forme d'une paire de Cooper dans le supraconducteur: c'est la réexion d'Andreev. Dans ce

feuille de graphène

nanotube

Fig. 1.4  Un nanotube de carbone peut être vu comme résultant de l'enroulement d'une feuillede graphène.

estdéterminéeparlaphaseduparamètresupraconducteur.Silazonenormaleestcomprise entre deux supraconducteurs un électron va se rééchir en trou à une interface, trou qui va à son tour serééchirsous la formed'un électron sur l'autre interface. Comme chaque réexionsefaitavecunfacteurdephaseliéàlaphaseduparamètresupraconducteur, l'état qui va résulter de ces réexions multiples est un état corrélé électron-trou dont la phase est déterminéeparladiérencedes phasessupraconductricesdes contacts.Lasignaturede cet état corrélé est l'existence d'un supercourant traversant la jonction supraconducteur-normal-supraconducteur. Ce courant est non dissipatif car il ne s'accompagne d'aucune chute de tensionaux bornes delajonction. Toutefoispourqu'un telcourant puisseexister il faut que la paire électron-trou demeure corrélée sur une longueur au moins égale à la longueur de lazone normale.L'amplitudedu supercourantdépend donc de l'ensemble des phénomènesagissantsurlacohérencedanslapartienormale.L'existenced'unsupercourant est un test de la cohérence dans lesystème étudié.

Le système quenous avons considéré est un nanotube de carbone. On peut voir un tel tubecommerésultantdel'enroulementd'unebandedécoupéedansunefeuilledegraphène (gure1.4). Du fait des conditions imposéesà lafonction d'ondeélectronique par l'enrou-lement de la bande de graphène, la relation de dispersion d'un nanotube conduit, pour certains types de repliements, à un comportement métallique unidimensionnel. Aussi les nanotubesdecarbone seprésentent-ilscommedessystèmesmodèlespour l'étudedu trans-port à une dimension. Pour tester la possibilité d'avoir un transport cohérent dans un tel

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0

10

20

30

R (

k

Ω

)

T (K)

300 nm

Contact

nanotube

Fig. 1.5  Résistance en fonction de la température de la résistance d'une jonction supraconducteur-nanotube-supraconducteur. Insert: image obtenue par microscopie élec-tronique en transmissiond'un nanotube suspendu entre deuxcontacts supraconducteurs.

La technique utilisée, développée par A. Kasumov, permet d'obtenir des tubes suspendus et ((soudés )) aux contacts (image de la gure 1.5). Le transport dans ces jonctions est de nature ohmique.Nousavons fabriqué des jonctions avec d'une part, des nanotubes mono-parois individuelset, d'autre part,des cordesde nanotubes, constituées d'unecentaine de tubesindividuelsenparallèle.Nousprésentonsicibrièvementlesrésultatssurune jonction constituée d'un tubeindividuel (noté ultérieurementAu1).

La jonction supraconducteur-nanotube-supraconducteur transite à basse température vers un état de résistance nulle (gure 1.5) à une température qui est de l'ordre de la transition du contact supraconducteur. La caractéristique tension-courant présente une branche non-dissipative pour laquelle la tension aux bornes de la jonction est nulle alors que le courant qui la traverse est non nul (gure 1.6, partie haute). Cet eet se retrouve souslaformed'unerésistancediérentiellenullesuruneplagedecourantdéterminéeparle courantcritique(gure1.6,partiebasse).Cesrésultatsmontrentqu'ilestpossibled'induire de lasupraconductivité dans un nanotubede carbone par eetde proximité.Les courants critiques mesurés, qui correspondent au passage d'un comportement non-dissipatif à un comportement dissipatif, dans de tels systèmes sont étonnamment élevés par rapport à ce qui est attendu dans des jonctions SNS constituées d'un métal normal. Ces jonctions présentent également des comportements avec la température ou le champ magnétique

-400

-200

0

200

400

-3

-2

-1

0

1

2

3

V (

m

V)

I (nA)

-400 -200

0

200

400

0

20

40

60

H=8kG

H=4kG

H=0

d

V

/d

I (k

Ω

)

I (nA)

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

-200

0

200

T=130mK

I (nA)

V (

m

V)

Fig.1.6 En haut: caractéristique tension-courant de l'échantillon Au1.Les deuxcourbes correspondent à des vitesses de balayage du courant diérentes. En bas: résistance dié-rentielle du même échantillon.

1.3 Organisation de la thèse

Le plan de la thèse suit celui adoptédans ce brefrésumé. Dansle chapitre d'introduc-tion nous rappelons un certainnombre de concepts utilisés pour l'analyse et ladiscussion desrésultatsexpérimentaux.Lapremièrepartiedelathèseestconsacréeauxmesures dela correctiondue àlacohérencequantiquesur laréponse magnétiqueetélectriqued'anneaux mésoscopiques isolés. Elledébute par une présentation détaillée de la technique résonante utiliséepourlamesuredelaréponsedesanneaux.Ellesepoursuitparl'exposéetl'analyse des résultatsobtenus. Lapartie suivante,consacrée àlamesure de supercourantsdans des nanotubesde carbone, commencepar une présentationde ces systèmes.Lesmesures eec-tuées sur des jonctions supraconducteur-nanotube-supraconducteur sont détailléesdans le dernier chapitre.

Chapitre 2

Introduction

Cettethèses'inscritdanslecadredelaphysiquemésoscopique,physique consacréeaux propriétés électroniques à des échelles intermédiairesentre l'atomeet le monde macrosco-pique.Lessystèmesétudiéssontsusammentpetitspourêtrequantiquementcohérents,ce qui exclut unedescription en termes de mécanique classique,et susamment grandspour qu'unedescriptionstatistiquesoitpertinente.Plusprécisément,lessystèmesauxquelsnous nous intéresserons sont tels que leur taille est inférieure à la longueur L



sur laquelle les fonctions d'onde électroniques conservent une phase bien dénie. A basse température, la longueur de cohérence de phase peut être de l'ordrede plusieursmicrons ce quidétermine latailleLdes échantillonsétudiés.Deux autreslongueursvontintervenirdans laphysique de tels systèmes: la longueur d'onde de Fermi 

F

et le libre parcours moyen élastique l e

, quiest la longueurmoyenne entre deux collisionsélastiques.Nousnous placeronstoujours dans la limite de faible désordre 

F  l

e

, pour laquelle le mouvement d'un électron peut être vu comme une succession de collisions non-corrélées entre elles. Deux cas de gure peuvent alors se présenter: soitl

e

>Let un électron qui traverse l'échantillonne subit en moyenne aucune collision, on parle alors de régimebalistique, soitl

e

L et l'électron au cours de sa traversée de l'échantillonsubit un grand nombre de collisions élastiques: c'est lerégime diusif.Dans ce derniercas, le mouvement classiquede l'électronest un mouve-mentbrowniencaractérisé par une constantede diusionD =v

F l

e

=d,avec d ladimension du système.

Nous avons passé sous silence le cas d'un fort désordre. Dans ce régime, une autre longueur intervient, la longueur de localisation . En eet, en désordre fort, les fonctions d'onde sont localisées et décroissent exponentiellement à longue distance avec une échelle de longueur caractéristique déterminée par . De ce fait, si  < L on se trouve dans le régimelocalisépuisqu'onest sensibleauconnementspatialdes électrons. Aucontraire,si L<onretrouvelerégimediusifconsidéréprécédemment.Leproblèmedelalocalisation par le désordre, à savoir la détermination de la force du désordre nécessaire pour induire un connement des fonctions d'ondes, dépend fortementde la dimensiondu système(voir

2.1 Cohérence de phase

La propriété de cohérence de phase est sans doute la plus importante pour caracté-riser un système mésoscopique. La longueur de cohérence de phase L



est associée aux collisionsinélastiquessubiespar un électron. Eneet, silescollisionsélastiques,telles que celles induites par un désordre xe, rendent les états propres du système très complexes spatialement,elles n'amènentpas d'indéterminationsur laphasedes fonctionsd'onde. Les collisionsinélastiques,aucontraire,par l'irréversibilitéqu'elles introduisent,vontconduire à une incertitude sur la phase des fonctions d'onde. Laperte de cohérence est associée au couplage d'un électron avec un environnement, qui peut être par exemple constitué des phonons duréseauoudesautresélectrons

1

.Letempsdecohérence dephase 

estalors le temps de vie d'une particuleau niveau de Fermi. Dans la limite des basses températures, seules les collisions électron-électron vont contribuer aux collisions inélastiques. Dans ces conditions, à trois dimensions, 



(T) peut sedéduire du temps lié aux collisions électron-électron

ee 2

suruneéchelled'énergiedonnéepar k B

T,danslamesureoùl'on tientcompte de l'ensemble des processus inélastiques, et tout particulièrement de ceux mettant en jeu de très faiblesénergies. Ce n'estpas le cas en dimension1ou 2pour lesquellesle calculde 



faitapparaîtreunedivergenceduejustementauxprocessusdebasseénergie. 

estalors déterminé de manièreauto-cohérente en invoquant lefait que,puisque 



dénitle temps de vie des états propresau niveau de Fermi, iln'est pas possible de résoudre àmieux que 



les processus d'échange d'énergie. Ces considérations sont détaillées par exemple par Imry [1] ouAltshuler et al. [2]dans leurs ouvrages respectifs d'introductionà la physique mésoscopique.Letempsde cohérenceaugmentantlorsquelatempératurediminue,onaura intérêtàtravailleràtrèsbassetempératurepourmaximiserleseets decohérencedephase (dans notre cas onaura typiquement T <100 mK).

2.2 Diérentes approches théoriques

Pour étudierles systèmes mésoscopiquesun certainsnombre d'analysesthéoriques ont étéutilisées.Nousdonnonsdanslasuiteunrésumébrefetforcémentincompletdecertaines d'entre elles dansle but de préciser dans quelcadrecertains des résultatsutilisésaucours de cette thèse ont été établis:

 Analyse semi-classique. L'idée du développement semi-classique est d'écrire l'am-plitude de probabilité pour aller d'un point r à un autre r

0

(la fonction de Green G

R (r;r

0

;t)) comme la somme des amplitudes associées à chaque chemin classique

1.D'autres types de processus peuvent agir sur la phase électronique. C'est par exemple le cas des collisions avec des impuretés magnétiques qui s'accompagnent d'un retournement du spin de l'électron (collisionsspin-ip).

2. ee

r

r ’

r

r ’

(a)

_impureté

(b)

trajectoire électronique

Fig.2.1(a)Illustrationdel'interférenced'unetrajectoireélectroniqueavecellemême.Ce type de contribution correspond au diuson. (b) Illustration des trajectoires correspondant au cooperon: une trajectoire interfère avec sa renversée par le sens du temps.

possible [12]: G R (r;r 0 ;t)= Z r 0 r D[x]exp  i ~ S[x]  avecS[x]= R

pdx,l'actionassociéeaucheminx(t)allantderàr 0

.Danscettesomme onnevagarderquelestermesdontl'actionestminimale.Dece faitseules les trajec-toiresclassiquesvontdonnerune contributionimportante. Cetyped'analysepermet donc, par la prise en compte des trajectoires classiques,de prédire lecomportement quantiquedes systèmes étudiés.

 Analyse diagrammatique.Dans cetteanalyse ledésordre est traitéperturbativement en eectuant un développement des fonctions de Green par rapport au désordre, supposé être faible. Danscette analyse certainstypes de contributions sont particu-lièrementimportants:ils'agit,d'unepart,dudiuson,quicorrespondàl'interférence d'une trajectoire avec elle-mêmeet d'autre part du cooperon, qui correspond à l'in-terférenced'unetrajectoireaveclatrajectoirequiluicorrespondparrenversementdu sens du temps. Cesdeux contributionssont illustréessur lagure 2.1. Cetteanalyse est valablepour desdésordres faiblescar ellecorrespond aupremierordred'un déve-loppement en 1=(k

F l

e

permettent de s'aranchir de cette limite.

 Sypersymétrie.L'analysesupersymétrique,développéeparEfetov[14],est,commeles deux autres techniques citées précédemment, perturbative par rapport au désordre, c'estàdirequ'ellecorrespondàundéveloppementenfonctionduparamètre1=(k

F l

e ). Toutefois elle permet d'atteindre les échelles d'énergies inférieures à l'écart moyen entreniveaux.Nousutiliseronsaucoursdecettethèseuncertainnombrederésultats obtenus àl'aide de cette technique (voirannexe C).

Ce survol rapide de quelques théories largement utilisées en physique mésoscopique ne prétend pas à l'exhaustivité. En particulier nous n'avons pas abordé la théorie des ma-tricesaléatoires,surlaquellenousreviendronsultérieurementdanscetteintroduction.Nous n'avons pas non plus considéré l'outil numérique,outil quenous avons utilisé au cours de cette thèse (voir annexe D).

2.3 Conductance aux échelles mésoscopiques: systèmes

connectés

La physique mésoscopique est consacrée, entre autres, à l'étude du transport électro-nique lorsque l'on atteint les échelles nécessaires pour avoir un échantilloncohérent. A de telles échelles,laconductance est reliéeàla transmissiond'un système.Uneexpériencede transportconsiste, de ce pointde vue, àinjecter des électrons par un l d'amenée,qui est un guide d'onde pour les électrons, et à récupérer les électrons transmis par le système via un autre l. Cette approche du transporta été introduite par Landauer [1517]. Pour un système cohérent (L < L



), il n'y a aucune dissipation dans l'échantillon lui-même et celle-ci s'eectue dans les réservoirs. Considérons dans un premier temps le cas d'un l unidimensionnel, de longueur L, relié à deux contacts (gure 2.2 (a)). Le courant qui traverse lesystème,lorsque ladiérencede potentielentre lesdeux contacts est V,est dé-terminépar lenombre d'étatsdans labanded'énergie eV, quiest n(e

F

)eV =2LeV=(hv F

) (comptetenuduspindel'électron),etparlecourantportéparundecesétats,ev

F

=L,d'où G = I=V = 2e

2

=h. La conductance est donc donnée par e 2

=h par canaux de conduction, avec, dans le cas présent, deux canaux du fait du degré de liberté de spin de l'électron. h=e

2

 25:8kest le quantum de résistance. Ce type de raisonnement peut segénéraliser àun systèmede sectionnie S àplusieurscanaux de conduction

3

M S= 2 F

. On prévoit danscecasuneconductancequiestMe

2

=h,onadoncunequanticationdelaconductance. Cette quanticationaété mise en évidencedans des constrictionsdans un gaz d'électrons par Van Wees et al. [18]. Il faut bien serendre compte que l'on calcule icila conductance du système l+contacts dans son ensemble. La conductance est alors une conductance de contact. Ainsi si on mesure la chute de tension au sein de l'échantillon (entre les points A et B de la gure 2.2 (b)) on trouve une tension nulle: la chute de tension se fait à la jonction l-contact. Ce résultat a été très récemment conrmé expérimentalementpar les

(a)

contact 1

contact 2

µ

µ

+eV

contact

1

contact

2

µ

µ

+eV

(b)

section S

A

B

Fig.2.2 (a) Schémad'un l unidimensionnel entre deux contacts macroscopiques portés à des potentiels diérents. (b) Cas avec plusieurs canaux de conduction (M S=

2 F

).

mesures de De Piciotto et al.[19].

Jusqu'à présentnous n'avons considéré quedes systèmessans désordrepourlesquels la transmission par canal était de 1. Dans lessystèmes désordonnés ondoit tenircompte du faitquelatransmissionn'estpas lamêmepourtouslescanauxde conduction.Dansce cas laconductance s'exprime en fonction de la matricede transmission t du système [20,21]:

G= e 2 h Tr(tt y )= e 2 h X  jt  j 2

La conductance est alors déterminée par le nombre de canaux eectifs M eff

, c'est à dire le nombre de canaux dont la transmission est proche de 1, qui est de l'ordre de M

eff = Ml

e

=L[22]. Ainsi laconductance moyenne du système est donnée par G=M eff

e 2

=h. Les uctuationsautourdecettevaleurcorrespondentàl'ajoutd'uncanaleectifde conduction et sont donc d'ordre e

2 =h.

2.4 Interférences quantiques

Lorsqu'un échantillonest quantiquement cohérent (L<L 

),ses propriétés sont déter-minées par les interférences entre fonctions d'onde électroniques. Si l'on veut agir sur ces interférences il est nécessaire de pouvoirmodier laphase relativeassociée auxdiérentes trajectoiresélectroniques,toutcommeonvientmodierlecheminoptiqueparcouruparles ondeslumineusesdansuneexpérienced'interférométrieoptique.Pour celaondispose pour dessystèmesélectroniques,etplusgénéralementpourdes systèmesconstituésdeparticules

p +

p

-F

r

₁

r

2

Fig. 2.3  Schéma d'un anneau Aharonov-Bohm. On montre également un exemple de trajectoire électronique entre les points r

1 et r

2 .

quela phaseaccumuléepar la fonctiond'onde électroniquele longd'une trajectoire allant d'un point r

1 à r

2

est augmentée, en présence d'un potentielvecteur A, d'unephase:

' = 2  0 Z r 2 r 1 A:dl avec  0

=h=elequantum de ux 4

. Onvoitque c'estlepotentielvecteurqui intervientet non lechampmagnétique, ils'agitdonc d'uneetpurementquantique[23].Enparticulier leseetsquisontdiscutésiciexistentmêmesilesélectronssontconnésdansunerégionoù lechampmagnétiqueestnul.Ceteetdupotentielvecteursemanifeste,entreautres,surla magnétoconductance d'échantillons mésoscopiques.On voit toutefois quesi l'on considère unegéométriequelconqueonvasommerdesdéphasagesliésàdestrajectoiresenserrantdes surfaces très diérentes, ce qui fait qu'aucune échelle caractéristique en ux magnétique ne va ressortir.Ce n'est pas le cas dans une géométrie annulaire pour laquelle l'échelle de champ va être donnée par un quantum de uxdans la surface de l'anneau.

2.4.1 Conductance d'un anneau

Considérons un anneau circulaire, commeschématisé sur la gure2.3. Danscette géo-métrieondistingue essentiellementdeux composantes pour lacorrection à laconductance de l'anneau:

 L'eet Aharonov-Bohm. Ce dernier est l'analogue électronique de l'expérience des trous d'Young en optique. On peut l'appréhender, de manière semi-classique,

4.Cettedénitionn'est,entouterigueur,pasvalablecarelledépenddelajaugeutiliséepourdénirA. Enfaitlabonnequantitéàétudiern'estpasledéphasageintroduitparlepotentielvecteursurune trajec-toiremaisledéphasagerelatifentredeux trajectoirespartantder

1

etarrivantenr 2

en considérant la probabilité qu'a un électron initialementplacé en r 1 d'aller en r 2 . Cetteprobabilité P(r 1 ;r 2

)se calculeen prenant lemodule aucarréde la sommedes amplitudes de probabilité A p (r 1 ;r 2

) pour un électron d'aller au point r 2

partant de r

1

en suivant une trajectoire indexéep:

P(r 1 ;r 2 ) =      X p A p (r 1 ;r 2 )      2 = X p X q A p (r 1 ;r 2 )  A q (r 1 ;r 2 ) = X p X q A 0 p (r 1 ;r 2 )  A 0 q (r 1 ;r 2 )exp(i(' p ' q )) en notant A 0 p

l'amplitude de probabilité en l'absence de potentiel vecteur. ' p

est le déphasage lié au potentiel vecteur pour la trajectoire p. Nous notons p

+

(respecti-vement p ) les trajectoires qui passent par la branche du haut (respectivement la branche du bas). Compte tenu de cette notationon peut écrire:

P(r 1 ;r 2 )=P 0 (r 1 ;r 2 )+ X p + X q  A 0 p + (r 1 ;r 2 )  A 0 q (r 1 ;r 2 )exp(i(' p + ' q ))+c:c: P 0 (r 1 ;r 2

) est le terme correspondant aux interférences entre les trajectoires passant dansune mêmebranche. Ledéphasagerelatifentre labranche du haut etla branche du bas est déterminé par le uxdans la surface de l'anneau sibien que l'on a:

P(r 1 ;r 2 )=P 0 (r 1 ;r 2 )+P 1 cos(2= 0 +' d )

L'eetAharonov-Bohmsemanifesteparunecomposanteoscillantedelaconductance avec une période en ux correspondant à un quantum de ux dans la surface de l'anneau.Laphase'

d

decettecomposanteoscillanteestdéterminéeparlaréalisation particulièredu désordre.Aussiceteetne résiste-t-ilpas àunemoyenned'ensemble. On a icinégligé les uctuationsde ux dues à lalargeur de l'anneau autourdu ux moyen déterminé par la surface moyenne de l'anneau. Ces uctuation conduisent à une modulationde l'amplitudedes oscillationsAharonov-Bohm.

 La localisation faible.Après une moyennesur le désordre, ildemeure une compo-sante liée à la cohérence de phase, c'est la correction dite de localisationfaible. On peut l'associer à laprobabilité P(r;r) de retour àl'origine d'un électron:

P(r;r) =      X p A p (r;r)      2 = X p X q A p (r;r)  A q (r;r) = X p X q A 0 p (r;r)  A 0 q (r;r)exp(i(' p ' q ))

Comme on considère des trajectoires fermées le déphasage pour la trajectoire p est donnée par 2 p = 0 avec  p

unephasepropreetundéphasageliéauuxquidépenddelasurfacedelatrajectoire, l'essentiel des termes de cette somme semoyenne à 0 saufdeux termes particuliers: q = p et q = p, p étant la trajectoire obtenue par renversement par le sens du temps de la trajectoire p. Ces deux contributions correspondent respectivement au diuson etau cooperon du calcul diagrammatique.Compte tenu de cette analyse et du fait que ' p = ' p et A p (r;r)=  A p (r;r) ona: P(r;r)= X p jA p (r;r)j 2 + X p jA p (r;r)j 2 cos(4= 0 )

Onvoitdoncquel'onobtientunecomposanteoscillantemaisavec unepériodemoitié des oscillationsAharonov-Bohm, quicorrespond à un demi quantum de ux dans la surface de l'anneau. Le calcul détaillé de cet eet donne, pour la correction à la conductance d'un anneau de rayonR [24]:

G(!)= e 2 ~ L  (!) L +1 X l = 1 1  R =L  (!)  R L  (!)  2 +  l+ 2  0  2 (2.1) avec L  (!) 2 = L 2  =(1 +i! 

). A fréquence nulle le résultat peut se mettre sous la formeprévue par Altshuler, Aronov et Spivak[25]:

G(!)= e 2 L  ~L sinh(L=L  ) cosh(L=L  ) cos(4= 0 )

et qui a été mesuré dans un cylindre de hauteur grande devant L 

par Sharvin et Sharvin [26]. Notons que, d'après la formule 2.1, à fréquence nie la conductance présente une partie imaginaire dépendante du ux. Cette partie imaginaire a été mesurée par Pieper et al. sur des anneaux d'argent [27].

Ces deux composantes apparaissent sur nos mesures de la magnétoconductance d'un an-neau et d'une grille, constituée d'un grand nombre d'anneaux connectés. La grillepermet d'obtenirune moyenne d'ensemblepar rapport aucas del'anneau (gure2.4).Onvoitque si la composante Aharonov-Bohm et celle de localisation faible sont présentes sur la ma-gnétoconductance de l'anneau, la composante Aharonov-Bohm est moyennée à zéro pour la grille. Au passage onnotera les échelles de champ de ces phénomènes, typiquement de l'ordre de quelques dizaines de gauss pour des anneaux de taillemicronique. Les champs magnétiques misen jeu sont donc très faibles. De ce fait lacourbure des trajectoires élec-troniques sous l'eet de la force de Lorentz est complètement négligée dans l'analyse de tels eets.

2.4.2 Localisation faible

dou--40

-20

0

20

40

0,000

0,005

0,010

0,015

Φ

₀

/2

Φ

₀

R=1.75 k

Ω

R=5 k

Ω

grille

anneau

δ

G (

k

Ω

-1

)

B (G)

Fig. 2.4  Magnétoconductance d'un anneau et d'une grille (une photographie des échan-tillonsestmontréesur lagure7.1,page 103).Le signalen

0

nerésiste pas àlamoyenne d'ensemble.Laforme (( triangulaire ))de lamagnétoconductancedelagrilleestà noter.Elle est attribuée à la localisation faible dans le l constituant la grille. Les deux courbes sont décalées pourplus de clarté.

diérentes. Iln'en demeure pas moinsqu'un eetde cohérence quantiqueest toujours me-surable. Ainsi sur un échantillon quelconque il existe une correction de localisationfaible dont l'origineest la mêmeque celle décrite dans le cas de l'anneau, àsavoir l'interférence des trajectoires formant une boucle renversées par le sens du temps. On peut reprendre ladescription adoptée pour l'anneau à ladiérence queles '

p

dépendent de la trajectoire considéréeetnesontplusxésparlagéométriedel'échantillon.Enchampnulledéphasage introduit par le potentielvecteurest nul sibien que:

P(r;r;=0)=2 X p jA p (r;r)j 2

la probabilité de retour à l'origine est doublée par rapport àsa valeur classique. Les élec-trons ont donc tendance à être plus localisés. En présence d'un ux magnétique on doit par contre sommerdes contributions possédantdes déphasages diérentsetqui,de ce fait, se moyennent à 0 d'où: P(r;r;6=0)= X p jA p (r;r)j 2

élec-Fig. 2.5 Dépendance en fonction du champ magnétique de la partie réelle et imaginaire de la conductance de deux ls d'argent mesurée à 1 GHz par Pieper et al. [28]. La magné-toconductance possède une partie imaginaire non nulle à fréquence nie. Les traits pleins indiquent le comportement prévuthéoriquement.

quetouteslestrajectoiresparticipaientàlalocalisationfaible.Enfaitseuleslestrajectoires dontlalongueurest inférieureàlalongueurde cohérencede phase L



donnent une contri-bution,sibienquel'eetdelocalisationfaiblecroîtavecL



etdoncdécroîtentempérature. La dépendance de la localisation faible avec L



est d'ailleurs un des moyens de mesurer lacohérence de phasesur un échantillonconnecté. Tout commepour laconductance d'un anneau, la composante de localisation faible possède une dépendance en fonction de la fréquence. Celle-ci a été mesurée par Pieper et al. dans des ls d'argent [28] (gure 2.5). Ellepossèdeune composanteimaginairenon nulle àfréquence nie.

2.4.3 Eet du couplage spin-orbite

Nousn'avonspas tenucomptejusqu'àprésentdu degréde libertéduspin del'électron. Ce dernier peut amener des modications des résultats précédents lorsqu'il se couple au degré de liberté orbital dans le cas du couplage spin-orbite ou lorsque le système possède des impuretésmagnétiques.Nousnous focalisonsdans lasuite surl'eet du couplage spin-orbite. Ce dernier permet de dénir une longueur, dite longueur spin-orbite, notée L

so , qui est la longueur moyenne au bout de laquelle la phase de la composante de spin de la fonction d'onde électronique a tourné de 2 du fait du couplage spin-orbite. Le terme

électrons est de la forme:

V so

/L:

avec L l'opérateur associé au moment cinétique orbital, et  celui associé au degré de liberté de spin de l'électron. L'action de V

so

correspond, au cours d'une collision, à une rotationdu spin déterminée par la force du couplage et par la variation de l'impulsionau cours de la collision. Considérons alors une trajectoire fermée composée de N collisions indexées i. A chaque collision i est associée une rotation du spin R

i

. Le long de cette trajectoire le spin de l'électron passe de l'état S

0 àl'état S f = Q N i=1 R i S 0 =RS 0 . Pour la trajectoire renversée par lesens du tempsle spinde l'électron àl'issue des N collisionsest S 0 f = Q 1 i=N R 1 i S 0 =R 1 S 0

. L'interférence de ces deux trajectoires, en ux nul,est alors corrigéed'unfacteur1+R e(<S

0 f jS f >)=1+R e(<S 0 jR 2 jS 0

>).Lavaleurdecetermeest déterminée par la valeur de 

so comparée àcelle de   . Si  so  

alors lecouplage spin-orbiten'est pas susantpour induireune rotationsignicativedu spinsur une trajectoire de longueur inférieure ou égale à L



, longueur qui détermine les trajectoires contribuant à la localisation faible, d'où S

f  S 0 f  S 0

et l'on retrouve le résultat que nous avions en l'absence de couplage spin-orbite. Dans le cas limite contraire 

so  



le couplage est si importantque la rotation du spin est quelconque. Or, une rotation donnée par les angles d'Euler  ;; s'écrit[29]:

R= 

cos( =2)exp(i(+ )=2) isin( =2)exp( i( )=2) isin( =2)exp(i( )=2) cos( =2)exp( i(+ )=2

 Si S 0 = j+ >, il vient < S 0 jR 2 jS 0 >= (cos( =2)) 2

exp(i(+ )=2) (sin( =2)) 2

qui se moyenneà-1/2.Cerésultatsegénéralisesansdicultépourn'importequellevaleurdeS

0 . Le terme d'interférence entre trajectoires renversées par le sens du temps se moyennant à zéro en champ magnétique, on trouve, dans ces conditions, une magnétoconductance négative c'est à dire qu'il y a antilocalisation.Dans le cas intermédiaire où 

 et 

so sont dumêmeordrede grandeur,onpeutavoirunemagnétoconductance positivesurune plage limitéede champpuisretrouverlecomportementdelocalisationfaibleobservéenl'absence de couplage spin-orbitefort (gure 2.6).

Cet eetdu spin-orbite sur lacorrection de localisationfaiblea été préditpar Hikami et al. [30] etmesuré expérimentalementpar Bergmann [31].

2.5 Propriétés d'échantillons non connectés

Les phénomènes que nous avons introduits précédemment, les oscillations Aharonov-Bohm et les corrections de localisationfaible, sont des corrections liées à la cohérence de phase sur la conductance, qui sont révélées par l'action d'un ux magnétique. Toutefois à cause du fort couplage du système avec l'appareil de mesure, ces corrections sont au maximum de l'ordrede e

2

=h etrestent donc petitescomparées àla conductance de Drude G D =M eff e 2

Fig. 2.6  Magnétorésistance d'un lm de magnésium (Mg) sur lequel est déposée une couche d'or qui vient modierl'amplitude du couplage spin-orbite. En fonction de l'épais-seur déposée on passe d'une magnétoconductance positive à une magnétoconductance né-gative. 

i

corresponddans nos notations à  

. Cette gure est extraite dela référence[32].

systèmeisolépeutpermettred'atteindrelerégimedu spectrediscret,avec,dansce cas,des oscillationsquantiques de laconductance de l'ordrede laconductance elle-même. De plus pour la physique des systèmes non-connectés la diérence de moyenne statistique entre ensemble canonique et grandcanonique revêt une grandeimportance.

2.5.1 Spectre discret

Dans un système isolé si l'élargissement des niveaux d'énergie est moindreque l'écart moyen entre niveaux
on se situe dans le cadre d'un système à spectre discret. Cette limite n'est pas envisageable pour un échantillon connecté. En eet, dans ce dernier cas, même si lesystème possède intrinsèquement un spectre discretcet aspect est masqué par l'élargissement des niveaux induit par le couplage aux réservoirs de particules que consti-tuent les contacts. Lorsqu'il est possible de résoudre les niveaux d'énergie, la statistique de ces derniers inue sur les propriétés physiques du système considéré. Cette statistique dans le régime diusif est bien modélisée par la théorie des matrices aléatoires (RMT). La RMT s'intéresse à la statistique des valeurs propres de matrices de grande taille dont les éléments sont déterminés selon des lois de probabilité et par les symétries du système étudié,en particulier lasymétrie par renversement du sens du temps.Cette théorie, déve-loppée par Dyson, Wigner,Mehta etGaugin etdont ontrouvera un exposé assez complet

cherche àdécrire un ensemblede valeurs de manièrestatistique, problèmes qui vont de la description des niveaux d'énergie de noyaux atomiques lourds aux niveaux d'énergie d'un échantillondésordonnéen passantpar l'étudedu transport quantique dans un formalisme de type Landauer [20]. La théorie distingue trois types de symétrie qui correspondent à trois situationsphysiques diérentes:

 l'ensemble gaussien orthogonal (GOE) qui s'applique aux systèmes présentant la symétrie par renversement du temps,

 l'ensemble gaussienunitaire (GUE), valable dans lecas oùil n'y a pas symétrie par renversement du temps,

 l'ensemblegaussiensymplectique(GSE), adaptéaux systèmesavec un fortcouplage spin-orbite, présente la symétrie par renversement du temps mais correspond à des systèmes qui ne sont pas invariants par rotation.

Lespectredetellesmatricesestcaractériséparlarépulsiondesniveaux.Onparlederigidité spectrale. Cette répulsion dépend des symétries(GOE ouGUE):elle est plus importante lorsque lasymétrie par renversement du sens du tempsn'est pas présente. Cetterépulsion peut déjàse voirsur lespectre de matrices2x2 hermitiques [34]. Soit en eet H une telle matrice dont les éléments (H

ij

) sont des variables aléatoiresindépendantes. La condition pour que les niveaux d'énergie de cette matricesoient distants de  peut alors s'écrire:

= p (H 11 H 22 ) 2 +4jH 12 j 2

Le cas GOE correspond à une matrice réelle soit H 12

2 R. Dans la limite  tendant vers 0, H 11 H 22 tend vers 0 et 4jH 12 j 2 <  2

. Cette dernière relation conduit alors à une dépendancepourladensitédeprobabilitéde trouverlesdeuxniveauxdistantsdedutype p()/. Le cas GUE correspond lui à une matrice à coecients complexes. La condition 4jH 12 j 2 < 2

équivaut alors à Re(H 12 ) 2 +Im(H 12 ) 2 < 2 =4 avec Re(H 12 ) et Im(H 12 ) deux variables indépendantes d'où p() / 

2

. La répulsion de niveau est donc plus importante dans le cas GUE. Le calcul détaillé de p() [33] conduit aux dépendances montrées sur la gure 2.7. La transition entre GOE et GUE se fait sur une échelle de ux de l'ordre de  0 = p M eff

[35]. La RMT décrit les propriétés du spectre des valeurs propres d'une matricedans son ensemble. Pour leproblème qui nous intéresse ici,à savoir lespropriétés de systèmes électroniques diusifs, lesrésultats obtenus avec la RMT ne sont applicables que sur une échelle limitée en énergie,déterminée par l'énergie de Thouless E

c

= hD=L 2

, associée autemps que met un électron pour diuser autravers de l'échantillon[34,36].

Une autre question pertinente pour un système isolé concerne les fonctions de corré-lation spatiale entre états propres. Ces fonctions sont aussi dépendantes de la classe de symétrie du système. Leur déterminationdans des gammes d'énergie de l'ordre de l'écart moyenentre niveaux
n'estpasaccessiblepar desthéoriessemi-classiquesou diagramma-tiques etnécessite l'utilisationdetechniquessupersymétriques (voiràcesujetpar exemple larevue de Mirlin[37]).

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

GUE

GOE

Poisson

p(s)

s

Fig.2.7Densité deprobabilité detrouver deuxniveaux adjacents séparés de dans lecas où les énergiessont tirées aléatoirement (loi de Poisson),déterminéepar RMT dans lecas GOE ou dans le cas GUE. Le paramètre s est égalà =
.

2.5.2 Ensemble canonique et grand canonique

Dans le cas d'un échantillon connecté, le système étant relié à un réservoir de par-ticules sa description se fait naturellement dans le cadre de l'ensemble statistique grand canonique (GC), pour lequel le potentiel chimique est xé si bien que le nombre de par-ticules peut uctuer. Quand on considère un système isolé le nombre de particules y est par dénition xe, ce qui correspond à l'ensemble canonique. Cette distinction n'est pas cruciale pour un échantillonmacroscopique puisque, à lalimite thermodynamique,les ré-sultats dans l'ensemble GC et canonique sont identiques. Toutefois avec des échantillons non-connectés possédant un nombre relativementpeu importantd'électrons (de l'ordrede quelques milliers pour les anneaux gravés que nous avons mesurés) cette identité n'a plus lieud'être. On doit donc réaliseravec leplus grand soin ladistinction entre ensemble sta-tistique, canonique ougrandcanonique. Le cas canoniquecorrespondra àun système avec un nombre xé de particules et donc un potentiel chimique qui va s'ajuster en fonction des paramètres extérieurs, en particulier leux magnétique, pour maintenir le nombre de particules constant.

Dans la conguration non connectée on peut mesurer essentiellement deux types de réponse quisont, d'unepart la réponse magnétique et, d'autrepart, laréponse électrique. Nous nous sommesintéressés au cours de cette thèse à la signature de la cohérence

quan-2.6 Réponse magnétique orbitale: les courants

perma-nents

Dans un anneau cohérent, les énergies propres et les états propres dépendent du ux magnétique qui traverse l'anneau. De ce fait l'énergie de l'état fondamental varie avec le ux magnétique. Cette propriété implique l'existence d'un courant non-dissipatif, appelé courant permanent, qui parcourt l'anneau en présence de ux. On peut appréhender ce phénomène par le calcul très simple de cet eet pour un anneau unidimensionnel sans désordre.

2.6.1 Anneau 1D

On considère un anneau circulaire unidimensionnel de longueur L soumis à un ux magnétique . Lehamiltonien H pour un électron du système est:

H =

(P+eA) 2

2m

+V(x) (2.2)

avec V(x)un potentieldécrivant le potentielcréé par leréseau etéventuellement rendant comptedu désordre dans l'anneau. Dans lecas traitéici ce potentielest supposé être nul. La coordonnée x décrit la position de l'électron le long de l'anneau. Le potentiel vecteur A==Lu



avec u 

levecteur orthoradial.Eneectuant un changement de jaugeonpeut se ramener au cas d'un anneau en l'absence de ux mais avec des conditions aux limites diérentes. Les fonctions d'onde après ce changement de jauge 

n

(x;) s'expriment en fonction des fonctions d'ondes

n

(x;) du système en présence de ux:

n (x;)= n (x;)exp 2i   0 x L (2.3) Delacondition n (x+L;)= n (x;)ondéduitque n (x+L;)= n (x;)exp 2i= 0 .  0

désignelequantumdeuxh=e.L'eetduuxmagnétiqueestdoncd'imposerunfacteur de phase sur lafonction d'onde. Pour des valeurs de ux telles que =

0

2[ 1=2;1=2] les énergies propres classées par ordre croissant sont données par:

E 2p = h 2 2mL 2  p+   0  2 E 2p+1 = h 2 2mL 2  p+1   0  2

lesétats propres correspondant sont:

: 2p = 1 p L exp  i  p+   0   2p+1 = 1 p L exp  i  p+   

Fig. 2.8 Niveaux d'énergie d'un anneau 1D en fonction du ux magnétique.

avec p 2 N.  est l'angle qui repère la position le long de l'anneau en coordonnées cylin-driques. La dépendance de ces niveaux avec le ux magnétique est montrée sur la gure 2.8. Chaque niveau porte un courant i

n

() = @E n

=@, dont le signe est déterminé par laparitédu niveau.Le couranttotal I(N;) de l'anneau dépend du nombre N d'électrons dans l'anneau: I(N;) = eh mL 2 N  1 2   0  pour N pair (2.4) I(N;) = eh mL 2 N    0  pour N impair (2.5)

- 1 / 2

- 1

1 / 2

1

0

0

( a )

( b )

( c )

I /

I

0

F / F

₀

Fig.2.9(a) Courantportéparun anneau1Dpourunnombreimpaird'électrons.(b)pour un nombre pair d'électrons. (c) Courant moyen déduit de la moyenne des deux courants précédents.

s'intéresseaucourantmoyen,ilnousfauteectuerune moyennede cecouranten calculant (I(N;)+I(N +1;))=2 ce qui conduità:

<I(N;)>= ev F L  1 2 2   0  (2.6)

Onobtientuncourant dontlapériode enuxest réduitedemoitiépar rapportaucourant non moyenné (gure 2.9). On a utilisé le fait que Neh=(2mL

2

)= ev F

=L. L'amplitude du courant est donnée par ev

F

=L=
= 0

.

Considérons à présent un anneau qui comporte M canaux de conduction mais avec toujoursun désordresusammentfaiblepourquel'onrestedanslerégimebalistique.Pour le courant typique (I typ =< p I 2

>), on doit additionner les contributions non corrélées, de signe variable,de chacun des M canaux ce qui conduit à: I

typ = p Mev F =L. Ence qui concerne le courant moyen on additionne M composantes identiques, qui sont le courant moyenportéparchacundes canaux.Or,parrapportaucas1D,l'écartmoyenentreniveau, qui détermine l'amplitude du courant moyen, est divisé par 4M du faitde l'existence des diérents modes transverses. Aussi le courant moyen d'un anneau 3D balistique est-il du même ordrede grandeur que dans lecas strictement unidimensionnel.

Si l'on se place dans le régime diusif, donc en présence de désordre, les diérents canaux de conduction vont être couplés. L'allure du spectre d'énergie devient alors bien plus complexe que dans le cas balistique, rendant l'évaluation des courants permanents

2.6.2 Anneau réel

Les courants permanents dans le régime diusif ont été traités, sur le plan théorique, par ungrand nombred'auteurs avec desapproches variées (voirpar exemplelesréférences suivantes [3849]). Nous rappelons dans la suite les résultats attendus pour le courant permanent moyen et typique d'un anneau mésoscopique diusif. Le lecteur intéressé par un point de vue plus détaillé pourra se reporter, par exemple, à la revue de Eckern et Schwab [50].

Courant permanent typique

L'amplitude du courant permanent typique, c'est-à-dire le courant qu'on s'attend à mesurer sur un anneau unique, dans lerégime diusifest de l'ordre de:

I typ = ev F L l e L  E c  0

Savaleurest donctrès réduitepar rapportaucassans désordre.Ladépendance en tempé-rature est déterminée par l'échelle d'énergie des corrélations du spectre, à savoir l'énergie de Thouless E

c

, dépendance qui peut être modélisée en première approximation par une décroissanceexponentielle de laformeexp( k

B T=E

c

). Lecontenu en harmoniquedu cou-ranttypiquedépend de lalongueur de cohérence de phase L



.L'harmonique indicéep est exponentiellementréduite par un facteur exp( pL=L

 ).

Courant permanent moyen

Lesprédictions théoriques pourlecourantmoyen peuventseclasserselon deux catégo-ries, suivant qu'elles considèrent des électrons sans ouavec interaction.

 électrons sans interaction. Le courant permanent moyen considéré dans l'ensemble grandcanoniqueestnul.Danslecascanoniqueilpeutêtrereliéàlauctuationgrand canonique du nombre de particules [45]. Dans ce cas, un courant paramagnétique périodique de période 

0

=2 est prédit. En considérant la série de Fourier associée à ce courant périodique: I()= X p2N  I p sin(4p= 0 )

l'amplitude des premières harmoniques est donnée par:

I p

=4e
=( 2

~)

La répartition en harmonique est déterminée par la température et le temps de co-hérence de phase comparé à
. Si T;

 
, les p M eff premières harmoniques sont égales alors que, pour des températures plus importantes et/ou des temps de cohérencede phasemoindres, seuleslespremières harmoniquessubsistent.De ce fait on montre que l'amplitude des courants passe de 

p E c
= 0 à
= 0 lorsque l'on passe de T; 
à T;  E . Il est à noter que le contenu en harmonique très

Amplitude Signe

Electron sans interaction
= 0 ou p E c
= 0 (Canonique) paramagnétique [45] 0 (GrandCanonique)

Electronavec interaction 

eff e=

D

para. (int.répulsive)

[40] avec 

eff

0:1 dia. (int. attractive)

Redressement d'un bruit I =Ce=

en courant DC [9] C = 4= (sans spin-orbite) diamagnétique C =2= (avec spin-orbite) paramagnétique

Tab.2.1Amplitudeetsignedescourantspermanentsenfonctiondesthéoriesconsidérées.

particulierquiestprévu théoriquementest,àl'heureactuelle,dicilementaccessible expérimentalement.

 courant permanent dû aux interactions. L'argument développé par Schmid [43] est que les interactions électron-électron, en renforçant localement l'électroneutralité, donneunecontributionplusimportantequelaseuleconservationdunombretotalde particules.LecalculdecettecontributionaétéfaitparAmbegaokaretEckern[40,41] et Eckern [42]. La contribution dûe aux interactions est d'amplitude UE

c =

0

. U est reliéeàl'amplitudedes interactions,etpeutêtre éventuellementrenormaliséedu fait de l'écrantage.Dans les systèmes étudiésexpérimentalement(métaux) ce coecient va être typiquement de l'ordre de 0.1. Cette correction est paramagnétique pour une interaction répulsive et ce en présence ou en l'absence de couplage spin-orbite fort.Ladépendance en températurede chacune des harmoniques est déterminéepar l'énergiede ThoulessE

c

.Plus précisémentl'amplitudedel'harmoniqued'indicepest exponentiellementdécroissanteavec latempératuresuivantuneloiexp  p

2 T=E

c avec  un coecient numérique d'ordre1.

En tenant compte des eets non linéaires exposés plus loin [9], on peut classer les prédictionsconcernantlescourantspermanentsselontroisgrandescatégoriesdonnéesdans le tableau2.1.

2.6.3 Mesure des courants permanents

D'unpointdevueexpérimentalonpeutciteruncertainnombredemesuresdescourants permanents typiques etmoyen:

une hétérojonction GaAs/AlGaAs grâce à un micro-SQUID par Mailly et al. [52]. Alorsque cette dernière mesure,qui considère un échantillonsemi-balistique, est en bonaccord avec lesprédictions théoriques, lesmesures dans lerégimediusif sur un anneau d'or donnent un courant plus grand d'au moins un ordre de grandeur par rapportàla théorie.

 Des mesures sur un grand nombre d'anneaux, qui permettent d'accéder au courant moyen, ont été également réalisées. La première expérience dans ce domaine a été menée par Lévy et al. [53,54]sur une assemblée d'anneaux de cuivre (10

7

anneaux) couplée à un SQUID macroscopique et conduit à un courant de l'ordre de e=

D plus grand d'un ordrede grandeur queles prédictions.Dans ces expériences lesigne du courant n'a pu être déterminé. Plus récemment Jariwala et al. [55] ont mesuré le magnétisme orbital de 30 anneaux d'or couplés à un micro-SQUID. Ils trouvent une réponse diamagnétiqueplus grande queles prédictionsthéoriques. Il est à noter que dans cette expérience le nombre d'anneaux n'est sans doute pas susant pour obtenir une moyenne d'ensemble, comme le prouve l'existence d'une composante à 

0

du même ordre de grandeur que la composanteà  0

=2. On peut égalementciter des mesures récentes sur des anneaux connectés par Rabaud et al. [56]. Toutes ces expériences sont réaliséesdans un régime basse fréquence. Les mesures de Reulet et al. [57] ont été faitesà fréquence nie en couplant une ligne méandre bilaire à 10

5

anneaux gravés dans une hétérojonction GaAs/AlGaAs. Les réponse électrique et magnétique des anneaux sont alors mesurées simultanément. Or ces deux types de réponse sont escomptées être du même ordre de grandeur pour ce type de systèmes [58,59]. Les expériences exposées dans la première partie de cette thèse permettent de mesurer séparément ces deux contributions àfréquence nie.

2.7 Réponse électrique: magnétopolarisabili t é

La polarisabilité  d'un système détermine le dipôle électrique induit d en présence d'un champ électrique appliqué E. C'est donc une mesure de la répartition des charges sous l'action de E et, en ce sens,  est une quantité reliée à l'écrantage du système élec-tronique. La polarisabilitéd'un échantillon métallique est essentiellement déterminée par sa géométrie avec des corrections de l'ordre de 

s

=L dûes à lacompressibilité nie du gaz électronique [3,4].La déterminationde lapolarisabilitéfait intervenir de manièrecruciale l'écrantage du système.

Dansunevisionsemi-classique,lorsquel'échelledevariationdu potentielV(r)=eF(r) est grande devant 

F

, ce qui est le cas à 2D et 1D pour des champs dans le plan ou la direction de l'échantillon, l'eet de ce potentiel peut être incorporé dans la phase des fonctions d'ondeélectronique. Le déphasage lelong d'une trajectoireT est:

2 hv F Z T V(r)ds