Approximation simultanée par des nombres algébriques

Y

ANN

B

UGEAUD

Approximation simultanée par des nombres algébriques

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome 15, n

o

3 (2003),

p. 665-672.

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Approximation

simultanée

_par

des

nombres

algébriques

par YANN

BUGEAUD

RÉSUMÉ. Nous étudions

_{l’approximation}

simultanée de nombres

complexes

transcendants _par des nombres

_algébriques

de

_degré

borné. Nous montrons _que deux nombres

_qui

ne sont pas simul-tanément bien

_approchables

sont tous deux très bien

_approchables

par des nombres

algébriques

de

degré

borné.

ABSTRACT. We

_study

the simultaneous

_{approximation}

of

com-plex

transcendental numbers

_{by algebraic}

numbers of bounded

degree.

We show that two numbers which are not

_{simultaneously}

well

_approximable

are both _very well

_approximable

by algebraic

numbers of bounded

_degree.

1. Introduction

En

_1961,

E.

_Wirsing

_[11]

a montré _{que, pour} tout nombre

_complexe

transcendant ~

et tout entier n &#x3E;

_1,

il existe une infinité de nombres entiers

H tels _que

_{l’équation}

le -

H-n~4,

en le nombre

_algébrique

_a,

(1)

possède

une solution de

degré

au

plus

égal

à n et de hauteur naïve

_(i.e.

le maximum des valeurs absolues des coefficients de son

polynôme

minimal sur

Z)

bornée _par H. Ces dernières

_années,

de nouveaux raffinements et

généralisations

de

₍₁₎

ont fait

_l’objet

de nombreux

_travaux,

notamment ceux

de Y.

_Bugeaud,

G.

_Diaz,

M.

_Laurent,

D.

_Roy,

O. Teulié et M. Waldschmidt

[1-3, 5-7].

Nous nous _proposons dans cette note d’examiner la version simultanée du

_problème

de

_Wirsing,

énoncée de la manière suivante. Peut-on trouver

une fonction :

_{Z~a --~ Z&#x3E;o}

telle _{que, pour} tout

_couple

_{(~1, ~2)}

de nombres

complexes

transcendants et tout entier n &#x3E;

_1,

il existe une infinité de

nombres entiers H tels que le

système

en les nombres

algébriques

_{ai et a2,} Manuscrit _reçu le 21 _janvier 2002.

presque tout

(au

sens de la mesure de

_Lebesgue

sur

R~)

couple

(~1, ~2 )

de

nombres

_réels,

la

_réponse

à la

_question

_précédente

est

_oui,

avec la fonction

’liE :

(n

+

_{1)/2 -}

e, oÙ - est un réel strictement

positif.

Cependant,

un tel résultat n’est _pas valable _{pour tout}

couple

(~1,~2),

ainsi _que l’ont

montré D.

_{Roy &#x26;}

M. Waldschmidt

_[8]

en construisant des

contre-exemples

explicites

(cf.

partie

2).

A la

_réflexion,

l’existence de tels

_{contre-exemples}

n’est

_guère

surpre-nante. En

_effet,

on ne connaît a

_priori

_pas la suite des entiers H _pour

lesquels

l’équation

(1)

possède

une solution : _{pour presque tout}

~,

de tels

entiers sont

_"nombreux",

alors _que,

_{lorsque e}

est très bien

_approché

_par des nombres

_algébriques

de

_{degré fixé, l’inégalité}

de Liouville

_suggère

que cette suite est lacunaire. Au cours du

présent travail,

nous

précisons

ces

considérations, plutôt

vagues, et nous étudions leurs

conséquences

sur le

problème

de

_Wirsing

simultané.

Remerciements : L’auteur

_exprime

toute sa

gratitude

à l’arbitre _pour sa

lecture très minutieuse.

2. Notations et résultats

Nous utilisons les notations

_usuelles,

à savoir _que si

_P(X)

est un

poly-nôme à coefficients entiers s’écrivant

avec _ad &#x3E;

_0,

on note

_H(P)

sa hauteur naïve

et

_M(P)

sa mesure de Mahler

Ces deux mesures vérifient l’encadrement

À

l’instar de M. Laurent &#x26; D.

_Roy

_[6],

on note

Si a est un nombre

_algébrique

de

_polynôme

minimal

P(X),

la hauteur de a et sa measure de Mahler sont définies par,

respectivement,

H(a)

=

H(P)

et

_M(a)

=

M(P).

En

_outre,

_{on pose}

p(a) = p(P)

et _on

désigne

par

deg(a)

le

_degré

de a et _par

_{h(a) = p,(a)/ deg(a)}

sa hauteur

_{logarithmique.}

Définition 1. Soient r~ &#x3E; 1 un entier

et e

un nombre

complexe.

On note

la borne

_supérieure

des nombres réels w* pour

lesquels

il existe une

infinité

de nombres

_algébriques

_a, de

_degré

_{ma joré}

_{par n,}

_{véri fiant}

J. F. Koksma

_(voir,

_par

_exemple,

_l’ouvrage

de T. Schneider

_[10])

a

pro-posé

une classification des nombres

transcendants e

suivant la

qualité

de

leurs

_{approximations}

_{algébriques,}

mesurée à l’aide des

_wn(~).

Si la suite

est

_{bornée, alors e}

_est,

par

définition,

un S*-nombre. Dans le cas

_{contraire, e}

est un T*-nombre si

w§§ (fl)

est fini _{pour tout} entier n &#x3E;

_1,

et un U*-nombre sinon. Il est

_possible

de raffiner la classification en

intro-duisant la notion de

_type

d’un S*-nombre.

Définition 2. Le

_type

d’un

_{S*-nombre e}

est la

_quantité

-si e

est un T*-nombre ou un

_U*-nombre,

son

_type

t(e)

_est,

_par

_convention,

égal

à

_l’infini.

La définition du

_type

d’un

_{S*-nombre e}

varie suivant les

_auteurs,

il semble toutefois

_plus

naturel de considérer la limite

_supérieure

et non le _supremum

de la suite Nous avons choisi la définition ci-dessus _car, dans

les

_questions

_qui

nous intéressent

ici,

le _supremum

apparaît

naturellement.

Soulignons

que presque tout

(au

sens de la mesure de

Lebesgue)

nombre réel

_{(resp. complexe)}

est un S*-nombre de

_type

1

(resp.

de

_type

1/2).

En

outre,

le théorème de

_Wirsing

_[11]

énoncé au début de la Partie 1 entraîne

que le

type

d’un S*-nombre est au moins

égal

à

1/4.

Notre résultat

_principal

relie l’existence de nombreuses

_{approximations}

d’un nombre

_{complexe transcendant e}

à

_la

suite Sa démons-tration

_reprend

des idées de

_[1].

-Théorème 1.

_{Soit e}

un nombre

complexe

transcendant. Soit n &#x3E; 8 un

entier. Pour tout réel H

_{suffisamment grand,}

il existe un nombre

algébrique

a, de

degré

au

_{plus égal}

à n et de hauteur au

_{plus égale}

à

_H,

_vérifiant

, . ,

Il découle immédiatement du Théorème 1 que tout

S*-nombre e

possède

de nombreuses bonnes

_{approximations}

_{algébriques.}

Corollaire 1.

_{Soit e}

un S* -nombre de

_type

au

plus égal

à t. Pour tout entier n &#x3E; 8 et tout entier H

_{suffisamment grand}

_{(en ,}

_{fonction de e}

et de

Le Corollaire 1

_apporte

une

réponse partielle

à notre

problème

d’ap-proximation

simultanée,

comme l’illustre l’énoncé

suivant.,

qui

s’en déduit

facilement.

Corollaire 2. Soient

_~1

et

_e2

deux nombres

complexes

transcendants. Si

(au moins)

l’un des deux est un

S*-nombre,

il existe une constante

&#x3E; 0

_et,

_{pour tout} entier n assez

grand,

une

infinité

d’entiers H

pour

lesquels

le

système

a une solution en nombres

algébriques

_{al et a2} de

degré

au

pl2cs égal

à n et de hauteur au

_{plus égale}

à H. Toute constante

_{C(ÇI, Ç2)}

_inférieure

à

inax~i 2{1/(70((~)+1))}

convient,

étant entendu _que

_t(ei)

_désigne

le

_type

de

_Çi.

Remarque :

Il est intéressant de

_souligner

_que l’ensemble des

_couples

(Çl, e2)

où

_Çl

et

_Ç2

sont des T*- ou des U*-nombres est de dimension de Hausdorff nulle.

Le Corollaire 2 affirme _que si deux nombres transcendants ne sont _pas

simultanément bien

_approchables

_par des nombres

_{algébriques,}

alors ils sont tous deux très bien

_{approchables.}

Nous

_présentons

ci-dessous une version

plus

précise

de cette assertion.

Corollaire 3. Soient

_Çl

et

_e2

deux nombres transcendants. Soient n &#x3E; 8

un entier et 0 T 1 un réel avec nT

n/4.

Ou bien il existe une

infinité

d’entiers H pour

lesquels

le

système

a une solution en nombres

algébriques

al et a2 de

degré

n et de hauteur

Ce corollaire est motivé par le résultat suivant de D.

Roy

&#x26; M. Waldsch-midt

_([8],

_Proposition

_10.2).

Soit n &#x3E; 1 un entier. Pour tout entier ~ &#x3E;

_1,

posons ai =

[(3n) 1/2] .

Alors,

les nombres

ne

_peuvent

_pas être simultanément bien

approchés :

pour tout entier H su$îsamment

_grand

et tout

_couple

_{(al, a2)}

de nombres

_algébriques

de

_degré

au

_{plus n}

et de hauteur au

plus H,

on a

Cet

exemple

montre que la conclusion du Corollaire 3 est

proche

de

l’optimalité.

En

_{effet, d’après}

un résultat de R.

Güting

[4],

on a =

wl (~2)

= _n, alors _que l’une des alternatives

proposées

_par le Corollaire 1

conduit à la minoration

_{3n/ 14 -}

_2,

pour i

=1, 2.

Par

_ailleurs,

une version affaiblie du Corollaire 1 se déduit du Theorem

1.1 de K. I. Tishchenko

_[9],

_qui

affirme que, si la

première

alternative n’est pas

vérifiée,

alors la seconde est satisfaite _par

_~1

ou

_~2

(et

non _par

_~1

et

_~2).

3. Résultats auxiliaires

Lemme 1.

_{Soit e}

un nombre

complexes.

Pour tout 8 et pour

tout réel t &#x3E; n

_suffisamment

_grand

en

_fonction

de

_e,

il existe un

_polynôme

non nul

P(X)

_appartenant

à

Z[X],

irréductible, tel

_que

Démonstration : Il

_s’agit

du Lemme 3 de

_[1].

Il

Lemme 2.

_{Soient e}

un nombre

coraplexe,

d un entier

positif

et

P(X)

un

polynôme

non nnl à

_coefficients

entiers de

_degré

au

_plus

d. On _suppose

P(X)

sans racine

multiple

et 1.

_Alors,

si a est une racine de

P(X)

située à distance minimale de

_e,

on a _{pour tout} entier s &#x3E; 0 la

majoration

Démonstration : Il

_s’agit

du Lemme 3 de

_[3].

ci

Lemme 3.

_{Soit e}

un nombre

complexes

transcendants et soit d &#x3E; 1 un

entier. Pour tout - &#x3E;

_{0, il}

n’existe

_qu’un

nombre

_farci

de

_polynômes

_P(X)

algébriques

a de

degré

d vérifiant

en contradiction avec la définition de

w*

ci

4. Démonstrations

Démonstration du Théorème 1 : Soit t &#x3E; 0 un nombre réel

suffi-samment

_grand.

Soit e un réel strictement

positif

choisi tel _que + d + 1 + e

_3n/14

pour

chaque

entier d

compris

entre 1 et n et vérifiant + d + 1

_3n/14.

Le Lemme 1

_permet

d’associer au

_couple

(n, t)

un

polynôme

non nul

P(X)

irréductible de

_degré

d vérifiant

On suppose t suffisamment

grand,

de sorte que,

grâce

au Lemme

_3,

on ait

Combinant

₍₃₎

et

_(4),

on

_obtient,

d’une

_part,

et,

d’autre

_part,

En

_outre,

le Lemme 2 montre _{que, pour} tout entier s &#x3E;

_1,

le

_polynôme

P(X)

possède

une racine a vérifiant

Si t est suffsamment

_grand,

le choix s = 5

_implique

la

_majoration

...

et

_donc,

_compte-tenu

de

₍₂₎

et de

_(6),

En

_outre,

en

_posant

H =

2net,

_on déduit de

(6)

l’encadrement

Il découle des

_{hypothèses e}

_1/2

8 _que

_1+e-3n/14

est strictement

si H est assez

_grand.

En combinant

(7)

et

_(9),

on obtient la

majoration

annocée dans le

_{théorème, grâce}

à

₍₅₎

et au choix de e. 0

Démonstration du Corollaire 2 :

_Quitte

à

_permuter

les

_indices,

on

peut supposer que

~1

est un S*-nombre de

_type

t. Soit n &#x3E; 8 un entier.

Par le théorème de

_Wirsing

_[11],

il existe une suite strictement croissante

d’entiers

_positifs

et des nombres

_algébriques

de hauteur

_Hk

et de

_{degré n}

tels _que

Le Corollaire 1 assure

alors,

pour k

assez

_grand,

l’existence de nombres

algébriques

de hauteur

_Hk

et de tels _que

Des

_inégalités

₍₁₀₎

et

₍₁₁₎

découle le corollaire. D

Démonstration du Corollaire 3 : Par le théorème de

_Wirsing

_[11],

il existe une suite strictement croissante d’entiers

_positifs

et des nombres

_algébriques

_ak de hauteur

_Hk

et de

_degré

n tels _que

. Si la

première proposition

de l’alternative n’est _pas

_{réalisée, alors,}

_pour tout

k assez

_grand

et _pour tout nombre

_algébrique

a de hauteur

Hk,

on a

Le Théorème 1 entraîne alors _que

d’où

Pour

_conclure,

il suffit d’intervertir les rôles de

_~1

et de

_e2.

o

.

Bibliographie

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[11] E. WIRSING, Approximation mit _{algebraischen} Zahlen beschränkten Grades. J. reine angew. Math. 206 (1961), 67-77.

Yann BUGEAUD Université Louis Pasteur U. F. R. de _{mathématiques}

7, rue René Descartes

67084 _Strasbourg, France