Sujet 15
Marche aléatoire, diffusion, percolation, agrégation (**)
La diffusion à une dimension d’une particule unique a une solution analytique simple, qui peut être généralisée en dimensions supérieures pour une géométrie simple (boîte parallélépipédique).
Cependant, dès que plusieurs particules qui diffusent interagissent entre elles-mêmes ou avec des défauts, le traitement analytique devient beaucoup plus ardu. L’étude numérique prend alors tout son intérêt. Afin de commencer par un cas simple, nous proposons dans un premier temps d’étudier la diffusion en deux dimensions d’une particule unique.
1 Marche aléatoire sur réseau en deux dimensions
On considère une grille carrée de côté L (le réseau),avec conditions aux bords périodiques. Une particule se déplace (“marche”) sur ce réseau. Le temps est discrétisé :test un entier. On note~r(t)la position de la particule à l’instantt.
Alors, entre les instantstett+ 1, la particule peut se déplacer sur un site voisin, soit vers le haut, soit vers le bas, soit vers la gauche, soit vers la droite (avec probabilité 1/4 à chaque fois).
On s’intéresse à l’écart quadratique moyenassocié à une trajectoire :
E(s) =h[~r(t+s) ~r(t)]2it, (1) où la moyenne est prise sur tout la trajectoire. Pour une diffusion libre, on s’attend à ce queE(s) = 4Ds, oùD est la constante de diffusion
– Quelle est la valeur deD attendue ?
– Calculer numériquementE(s)pour une trajectoire simulée. Suit-elle la loi attendue ? Pourquoi ? – Remédier à ce problème en tenant compte proprement des conditions aux bords périodiques.
⇧Autre piste d’étude : marcheur aléatoire auto-évitant. Cette situation correspond en physique au cas d’un polymère : le marcheur ne peut repasser sur un site qu’il a déjà visité. Simuler ce cas et observer ce que devient la loiE(s) = 4Ds. On parle alors desous-diffusionoudiffusion anormale.
2 Défauts ponctuels, percolation
La diffusion de la particule est maintenant gênée par des obstacles poctuels et fixes, situés sur certains sites du réseau. Si une particule essaie de sauter sur un site occupé, le mouvement n’est pas effectué, mais le temps est tout de même incrémenté de 1.
Avant de simuler la trajectoire, il faut donc remplir certains sites du réseau avec de tels défauts : chaque site est occupé avec probabilitép.
– On commence par le cas ppetit (p⇡0.1). Comment D évolue-t-elle en fonction dep? – En augmentant encorep, qu’observez-vous ? Pourquoi ?
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Sujet 15. Marche aléatoire, diffusion, percolation, agrégation (**)
– Que se passe-t-il lorsque p= 1/2?
⇧ Autre piste d’étude : on pourra comparer le cas précédent à celui où les défauts ne sont pas fixes mais peuvent (lentement) changer de position au cours du temps.
3 Agrégation
Intéressons-nous maintenant au cas où plusieurs particules diffusent en étant très diluées, tout en interagissant fortement. Pour simplifier, on suppose que les interactions sont à courtes portées, i.e.
entre plus proches voisins sur le réseau. Comme l’interaction est forte, dès que deux particules sont au contact, elles y restent.
On considère donc une grande boîte carrée comme précédemment, au centre de laquelle on place une particule (la graine). On injecte une deuxième particule au bord de la boîte et on la laisse diffuser jusqu’à ce qu’elle arrive au contact de la graine. On injecte alors successivement N particules, qui diffusent et se “collent” à l’agrégat central précédemment constitué. Notons qu’il peut être judicieux d’augmenter la taille de la boîte à mesure que l’agrégat grandit. Pourquoi ? Ce processus de croissance, appeléagrégation limitée par la diffusion(“Diffusion-limited aggregation (DLA)” en Anglais), mime un grand nombre de phénomènes naturels. Les agrégats ainsi obtenus sont aussi appelésarbres browniens.
⇧Autres pistes d’étude :
1. calculer la dimension fractale de ces arbres browniens ;
2. autoriser les particules du bord de l’arbre à se désorber avec une très faible probabilitép⌧1, puis à diffuser jusqu’à être de nouveau capturées ;
3. croissance de films : au lieu d’une graine ponctuelle, choisir une graine plane.
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