TD C2 - Traitement d’antenne
Un système de radiocommunication est constitué de deux capteurs omnidirectionnels :
fo 0B
fo 0B
C1c1(t) c1(n)
C2
c2(t) c2(n)
λo/2
w∗2 w∗1
cos2πfot+jsin2πfot s2(t) x(n)
s1(t) 30o
Les signaux capteurs (enveloppe complexe) ont pour expression : c1(n) =m1(nT).ejϕ11+m2(nT).ejϕ121
c2(n) =m1(nT).ejϕ1+m2(nT).ejϕ2
Les puissances des signaux modulantm1(t)etm2(t)sont données : E£
|m1(nT)|2¤
=P1;E£
|m2(nT)|2¤
=P2
Après changement Le système reçoit les signaux provenant de deux sources indépendantes :
• Source 1 : direction30o.Modulation d’amplitudes1(t) =m1(t).cos2πfot.
• Source 2 : direction0o. Modulation d’amplitude s2(t) =m2(t).cos2πfot.
m1(t)etm2(t)sont des signaux basse fréquence de bande[−B; +B]. foest la fréquence porteuse des signaux source.
Les capteursC1 et C2 sont distants deλo/2, la demi-longueur d’onde de la fréquence porteuse.
Les signaux capteurs provenant de la combinaison linéaire de l’ensemble des signaux source baig- nant l’antenne multi-capteurs sont d’abord traités par un filtre passe-bande de façon à éliminer les composantes provenant de sources d’interférences étrangères à la bande[−B; +B].
Les signaux capteurs sont ensuite démodulés de façon cohérente et en quadrature ; c’est-à-dire mul- tipliés parcos2πfotet parsin2πfotpuis filtrés passe-bas de façon à obtenir pour chacun d’eux, les 2 voies basse fréquence en quadrature de leur enveloppe complexe.
Les signaux complexes basse fréquence sont enfin échantillonnés à la cadenceT (respectant le théorème d’échantillonnage) de façon à pouvoir être traités en numérique.
Supposons par exemple le signal capteur suivantc(t) =m(t).cos(2πfot+ϕ). Après démodulation et échantillonnage, ce signal devient le signal complexec(n) =m(nT)ejϕ.
Le traitement numérique des signaux capteurs consiste à les combiner linéairement grâce à des gains complexesw1∗etw2∗. Ces gains permettent de modifier aussi bien l’amplitude que la phase des signaux :
c(n) =m(nT).ejϕ;w=ρ.ejφ ⇒ w∗c(n) =m(nT).ρ.ej(ϕ−φ)
La combinaison linéaire des signaux capteurs peut être exprimée sous la forme d’un produit scalaire entre le vecteurW contenant les deux pondérations complexesw1etw2et le vecteurC(n)contenant les deux signaux capteursc1(n)etc2(n):
WT.C(n) =w1∗.c1(n) +w2∗.c2(n)
Remarque : L’opération de transposition affectant W assure également la conjugaison des gains w1
etw2.
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1 Expression des signaux capteurs
Le capteur 1 est pris comme référence : s1(t) = m1(t).cos2πfot et s2(t) = m2(t).cos2πfot sont les signaux sources exprimés au niveau du capteur1. Dans ces conditions, le signal délivré par le capteur 1 provenant de l’ajout des deux signaux source est :
c1(t) =m1(t).cos2πfot+m2(t).cos2πfot
1. Exprimer les temps de propagation différentiels (retards) subit par les deux signaux source pour parvenir au capteurs2.
2. Dans la mesure où les seules modifications subies par les signaux source pour parvenir au cap- teur2sont ces retards, exprimer les signaux source au niveau du capteur2. Dans la mesure où B ¿fo, quelle approximation est-il possible de faire ?
3. Exprimer le signal délivré par le capteur2.
4. Exprimer les signaux capteurs c1(n)et c2(n)après démodulation et échantillonnage.
2 Inversion de puissance
Pour ce second exercice, on supposera que les signaux capteurs démodulés et échantillonnés ont pour expressions :
c1(n) =m1(nT) +m2(nT) c2(n) =m1(nT).ejϕ1+m2(nT).ejϕ2
Les puissances des signaux modulantm1(t)etm2(t)sont données : E£
|m1(nT)|2¤
=P1;E£
|m2(nT)|2¤
=P2
Le gain complexe w2 est contraint à −1. On cherche à déterminer le gain complexe w1 de façon à obtenir un signalx(n)à puissance minimale :
E£
|x(n)|2¤
=min
1. Développer le critère. Quelle est la dimension du système à optimiser ? 2. Optimiser le critère.
3. Calculer la pondération complexe optimale w1. Exprimer le signal x(n)en sortie de l’antenne multi-capteurs.
4. En considérant la source 1 comme utile et la source 2 comme une interférence, exprimer le rapport signal à interférence de sortie (au niveau du signalx(n)) en fonction du rapport signal à interférence d’entrée (au niveau du signalc2(n)). Que constate-t-on ?
5. Donner l’équation d’adaptation du filtre adaptatif en utilisant l’algorithme du gradient stochas- tique.
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3 Utilisation d’un signal réplique
Les expressions des signaux capteurs ainsi que les valeurs des puissances des signaux modulant sont identiques à celles de l’exercice précédent.
La source 1 est considérée comme la source utile. La source 2 est considérée comme une source d’interférence. Et on désire optimiser les pondérationw1 et w2 de façon à obtenir un signal x(n)en sortie de l’antenne multi-capteurs le plus proche possible de celui de la source1. On dispose pour cela d’un signal réplique de celui de la source1 (ce signal réplique est de puissance unité).
1. Expliquer comment mettre à profit ce signal réplique pour obtenir une antenne multi-capteurs adaptée à la réception de la source1. Un schéma serait souhaitable.
2. Le critère adopté est celui de l’erreur quadratique moyenne minimale. Exprimer ce critère.
3. Exprimer l’autocorrélation du signal constituant la base de prédiction.
4. Exprimer l’intercorrélation entre le signal constituant la base de prédiction et le signal “désiré”.
5. Exprimer le vecteur des pondérationsw1et w2 optimales. Calculer ces pondérations.
6. Calculer le signal x(n)en sortie de l’antenne. Le but recherché est-il atteint ?
7. Les signaux capteurs sont polués des bruitsb1(n)etb2(n), indépendants et de même puissance σ2. Calculer les nouvelles pondérations optimales ainsi que le signal de sortie. Que constate-t- on ?
8. Le critère adopté est maintenant celui des moindres carrés pondérés (facteur d’oubliλ). Exprimer ce critère.
9. Donner les différentes équations nécessaires à l’optimisation du critère grâce à l’algorithme des moindres carrés récursif.
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