Analyse temps fr
Analyse temps fr é é quence quence des signaux
des signaux
P. DELACHARTRE D. VRAY
CREATIS INSA-LYON
2
Plan
I - SIGNAL ANALYTIQUE FREQUENCE INSTANTANEE
• GRANDEURS LOCALES : AMPLITUDE ET FREQUENCE INSTANTANEES
• TRANSFORMEE DE HILBERT
• SIGNAL ANALYTIQUE
• REPRESENTATION D’UN SIGNAL PAR SON ENVELOPPE ET SA PHASE
• EXEMPLES
II - TRANSFORMEE DE FOURIER A COURT TERME ET SPECTROGRAMME
• LE PLAN TEMPS-FREQUENCE
• REPRESENTATIONS TEMPS-FREQUENCE LINEAIRES
• REPRESENTATIONS TEMPS-FREQUENCE BILINEAIRES
• EXEMPLES
3
Exemple introductif
• Signal 1 : somme de deux sinus f1=0,1 et f2=0,2
• Signal 2 : sinus avec rupture de fréquence f1=0,1 et f2=0,2
TEMPS FREQUENCE
SIGNAL 1
SIGNAL 2
4
Introduction
Espace de représentation Evolution temporelle
Regarder sous un autre angle
Choix de l'espace de représentation décision
la détection
l'estimation
la classification
la reconnaissance Signaux stationnaires analyse spectrale
Signaux non-stationnaires ou localement stationnaires domaine temporel --- domaine fréquentiel
méthodes temps-fréquence
Classification des méthodes temps fréquence
• Représentations linéaires
– Transformée de Fourier à court terme – Décomposition de Gabor
– Transformées en ondelettes
• Représentations quadratiques
– Spectrogramme
– Fonction d’ambiguïté
– Distribution de Wigner-Ville
6
Autre classification des méthodes temps fréquence
• Méthodes instantanées
– Notion d’amplitude et de fréquence instantanées – Signal analytique
• Méthodes glissantes
– Issues de l’analyse de Fourier
– Transformée de Fourier à court terme
• Méthodes conjointes
– Aucune hypothèse concernant la stationarité
– Transformation de Wigner-Ville
7
Grandeurs locales : amplitude et fréquence instantanées
• Notion de « spectre instantané » ou de fréquence localisée dans le temps
• Exemple de la portée en musique
– Le temps est indiqué horizontalement – La fréquence est indiquée verticalement
• Toutefois, l’axe des temps et des fréquences ont une résolution fixée
• Analogie limitée :
– Dans le cas de la portée musicale, il s’agit de synthèse :
• RTF Production du signal sonore
– Analyse :
• Signal RTF
8
Signal analytique et transformée de Hilbert pour un signal monochromatique
• Signal réel :
– Amplitude de x(t) module de zx(t)
– Fréquence de x(t) dérivée de la phase de zx (t)
• Signal analytique :
• Partie réelle et imaginaire sont en quadrature (déphasée de ππππ/2)
• Transformée de Fourier :
• Spectre unilatéral
[
ae]
Re[
z (t)]
Re t
f 2 cos a
) t (
x = π 0 = j2πf0t = x
t f 2 sin ja t
f 2 cos a
ae )
t (
zx = j2πf0t = π 0 + π 0
) t ( x j ) t ( x ) t ( zx
+ ∨
=
) f f ( a ) f ( X j ) f ( X )
f (
Zx = + ∨ = δ − 0
f0 a
9
Signal analytique et transformée de Hilbert pour un signal monochromatique (suite)
• Remarque :
[
(f f ) (f f )]
et2 ) a f (
X = δ + 0 +δ − 0
[
(f f ) (f f )]
jsgn(f)X(f)2 ) ja f (
X∨ = δ + 0 −δ − 0 = −
) f ( X ) f ( U 2 )
f ( X )) f ( jsgn (
j ) f ( X )
f (
Zx = + − =
+1 +1
-1 Sgn(f)
+2
+ = f
U(f) : échelon de Heaviside.
Le filtrage linéaire de gain complexe –j sgn(f) transforme la partie réelle en partie imaginaire de zx(t) et réciproquement
(
X(f) = jsgn(f)X⌣(f))
Transformée de Hilbert
( ) { } x t
H (t)
x ⌣ =
10
Exemple d’une onde monochromatique
{
j2 f t}
0
Ae
0Re t
f 2 cos A
) t (
x = π =
π0 10 20 30
-1 0 1
a) signal cosinus
temps
amplitude
-0.5 0 0.5
-40 -20 0 20
frequence reduite
amplitude
b) TF du signal cosinus (reelle)
0 10 20 30
-1 0 1
c) signal sinus
temps
amplitude
-0.5 0 0.5
-40 -20 0 20
frequence reduite
amplitude
d) TF du signal sinus (imaginaire)
-0.5 0 0.5
-40 -20 0 20
frequence reduite
amplitude
f) TF de l'exponentielle complexe
0 10 20 30
-1 0 1
e) exponentielle complexe (reel et imag)
temps
amplitude
Extension à d’autres types de signaux
• On peut associer à tout signal réel x(t) le signal analytique (complexe) correspondant :
• H désigne la transformée de Hilbert. Par
référence au cas monochromatique, on peut définir une amplitude instantanée (enveloppe) et une fréquence instantanée :
et
• En fréquence la TF du signal analytique est la forme unilatérale de celle du signal réel :
{ }
x(t)jH x(t)
(t)
zx = +
f tx ( )
rx ( )t
r t
x( ) = z t
x( )
f t d zdt t
x
( ) (arg x )
= 1 ( ) 2π
) f ( X ) f ( U 2 )
f ( X )) f ( jsgn (
j )
f ( X )
f (
Z
x= + − =
12
Transformée de Hilbert
La TH associe à un signal x(t), le signal défini par :
C'est une opération de filtrage du signal x(t) par un système linéaire de réponse impulsionnelle g(t) =
Signal analytique : On a donc bien :
Le signal analytique ne possède pas de fréquences négatives
) t ( x
∨
) t ( x
* ) t ( g d
) ( x ) t
( g t d
) ( x ) 1
t (
x τ = − τ τ τ =
τ
− τ
= π ∫ ∫
∞∞
−
∞
∞
−
∨
t 1
{ }
x(t) jsgn(f)πX(f)F t *
F 1 )
t ( x F )
f (
X = −
= π
= ∨
∨
) t ( x j ) t ( x )
t ( zx
+ ∨
=
) f ( X ) f ( U 2 )
f ( X )) f ( jsgn 1
( ) f ( X j ) f ( X )
f (
Zx = + ∨ = + =
Propriétés de la transformée de Hilbert
• Linéarité
– La transformée de Hilbert est une opération linéaire puisque définit comme un produit de convolution
• Produit de convolution
et
• Déphasage
– Les signaux et sont en quadratures et donne :
et
La TH se comporte donc comme un déphaseur pur de ±π±π±π±π/2
) t ( y
* ) t ( x )
t ( y
* ) t ( x )
t ( z
∨
∨
∨
= =
x(t)*y(t) = − x∨(t)*y∨(t)) t (
x x ( t )
∨
) f ( X ) f ( jsgn )
f (
X
∨= −
) f ( X )
f (
X∨ =
sgn ( f )
)] 2 f ( X [ Arg )]
f ( X [
Arg
∨= − π
14
Représentation d’un signal par son enveloppe et sa phase
Signal analytique associé à x(t) : Et donc naturellement :
Hypothèses, limitations
spectre de rx(t) basse fréquence et spectre de haute fréquence et disjoint
signaux bande étroite à faible modulation Enveloppe :
Phase instantanée :
Fréquence instantanée : Retard de groupe :
[ j ( t ) ]
exp )
t ( r )
t (
z
x=
xΦ
x[
z (t)]
r (t)cos[
(t)]
Re x = x Φx
[
(t)]
cos Φx
) t ( z )
t (
rx = x
[
z (t)]
arg )
t
( x
x =
Φ
dt ) t ( d
2 ) 1 t (
fx = Φx
π
[ ]
df
) f ( Z arg d 2 ) 1
f (
tx x
− π
=
Exemple d’un signal sinusoïdal
Signal analytique :
Enveloppe :
Phase instantanée :
Fréquence instantanée : )
t f 2 sin(
A )
t (
x =
π
0[
sin(2 f t) jsin(2 f t / 2)]
A )
t (
zx = π 0 + π 0 −π
[ sin( 2 f t ) j cos( 2 f t ) ]
A )
t (
z
x= π
0− π
0) 2 / j exp(
) t f 2 j exp(
A )
t (
z
x= π
0− π
A )
t ( z )
t (
rx = x =
[
z (t)]
2 f t / 2arg )
t
( x 0
x = =
π
−π
Φ
0 x
x f
dt ) t ( d
2 ) 1
t (
f = Φ =
π
tfx f0
16
Exemple d’un signal sinusoïdal
) t f 2 sin(
A )
t (
x = π
00 100 200
-1 0 1
signal sinusoidal reel, f=0.05
amplitude
-0.50 0 0.5
100 200
module de la TF du signal reel
amplitude
0 100 200
-1 0 1
partie reelle et imaginaire du signal analytique
amplitude
0 100 200
0 0.5 1
enveloppe du signal reel
amplitude
0 100 200
0 50 100
phase instantanee deroulee
phase
0 100 200
0 0.05 0.1
frequence instantanee
frequence
Exemple d’un signal module linéairement en fréquence
Signal analytique : Enveloppe :
Phase instantanée :
Fréquence instantanée :
Loi de modulation linéaire )
t ] T t 2 f B
[ 2 sin(
A )
t (
x = π 0 +
) 2 / j exp(
) t ] T t 2 f B
[ 2 j exp(
A )
t (
zx = π 0 + − π
A )
t ( z )
t (
rx = x =
[ ]
t)t /2T 2 f B
( 2 )
t ( z arg )
t
( x 0
x = = π + −π
Φ
T t f B
dt ) t ( d
2 ) 1 t (
fx = Φx = 0 +
π
t fx
f0 f0+B
T 0
18
Exemple d’un signal module linéairement en fréquence
) t ] T t 2 f B
[ 2 sin(
A )
t (
x = π 0 +
0 20 40 60
-1 0 1
signal reel modulation linéaire de fréquence, f0=0.1, a=0.0025
amplitude
-0.50 0 0.5
5 10
TF du signal reel
amplitude
0 20 40 60
-1 0 1
partie reelle et imaginaire du signal analytique
amplitude
0 20 40 60
0 0.5 1
enveloppe du signal reel
amplitude
0 20 40 60
0 50 100
phase instantanee deroulee
phase
0 20 40 60
0 0.2 0.4
frequence instantanee
frequence
Exemple d’un signal module linéairement en fréquence : Comparaison
SIGNAL 1 :
SIGNAL 1 : Signal analytique théorique
SIGNAL 2 :
SIGNAL 2 : Signal analytique calculé par TH )
t ] T t 2 f B
[ 2 sin(
A )
t (
x = π 0 +
) 2 / j exp(
) t ] T t 2 f B
[ 2 j exp(
) t (
zx = π 0 + − π
+
+ +
= t]t)
T 2 f B
[ 2 sin(
jH )
t ] T t 2 f B
[ 2 sin(
) t (
zx π 0 π 0
20
Exemple d’un signal module linéairement en fréquence : Comparaison (suite)
[
z (t)] [
,Im z (t)]
Re x x fx(t)
SIGNAL 1
SIGNAL 2
Exemple d’un signal expérimental
• Les signaux expérimentaux sont des signaux ultrasonores.
Une onde ultrasonore est émise en direction de cibles en mouvement dans un liquide. Les ondes réfléchies par les cibles sont sensibles à la vitesse de ces cibles à cause de l’effet Doppler. L’effet Doppler provoque un changement de la fréquence de l’onde émise. Les signaux analysés ici sont démodulés par la fréquence de l’onde émise, ainsi, la fréquence du signal est directement proportionnelle à la vitesse de la cible. Les signaux présentés ici permettent de connaître la vitesse de bulles microscopiques (diamètre de quelques microns) qui se déplacent vers la surface d’un liquide.
• L’onde ultrasonore est à la fréquence de 2 MHz. Après démodulation, le signal Doppler est échantillonné à la fréquence de 500 Hz.
22
Exemple d’un signal expérimental (suite)
f0 = 2 MHz c =1540 m/s θ = 45°
Exemple :
fd = 65 Hz
0
d f
c cos v
f = 2 θ
s / m 035 .
cos 0 f
2 v cf
0
d =
= θ
Exemple d’un signal expérimental (suite)
fd = 65 Hz
24
Limitations : Exemple 1
Enveloppe :
Phase instantanée :
Fréquence instantanée :
) t f 2 j exp(
) t f 2 j exp(
) t (
x =
π
1 +π
2f f
f
2=
1+ ∆
(
1 exp(j2 ft))
) t f 2 j exp(
) t (
x = π 1 + π∆
) ft cos(
) ft j
exp(
) t f 2 j exp(
2 )
t (
x = π
1π ∆ π ∆
2 )
t ( x )
t (
rx = =
[ ]
)t arg[
cos( ft)]
2 f f
( 2 )
t ( x arg )
t
( 1
x = = + ∆ + ∆
Φ π π
2 f f
2 f f
dt ) t ( d
2 ) 1 t (
fx = Φx = 1 + ∆ = 1 + 2 π
t fx
f1 f2
(f1+f2)/2
Limitations : Exemple 1 (suite)
) t f 2 j exp(
) t f 2 j exp(
) t (
x = π
1+ π
20 100 200
-1 0 1
signal sinusoidal reel, f0=0.07, f1=0.02
amplitude
-0.50 0 0.5
50 100
module de la TF du signal reel
amplitude
0 100 200
-1 0 1
partie reelle et imaginaire du signal analytique
amplitude
0 100 200
0 0.5 1
enveloppe du signal reel
amplitude
0 100 200
0 50 100
phase instantanee deroulee
phase
0 100 200
0 0.1 0.2
frequence instantanee
frequence
26
Limitations : Exemple 2
Phase :
Retard de groupe :
) t t
( )
t t
( )
t (
x = δ −
1+ δ −
2) ft 2 j exp(
) ft 2 j exp(
) f (
X = − π 1 + − π 2
t t
t2 = 1 + ∆
(
1 exp( j2 f t))
) ft 2 j exp(
) f (
X = −
π
1 + −π
∆) t f cos(
) t f j exp(
) ft 2 j exp(
2 )
f (
X = − π
1− π ∆ π ∆
[ ]
) arg[
cos( f t)]
2 t t
( f 2 )
f ( X
arg = − π 1 + ∆ + π ∆
[ ]
2 t t
2 t t
df
) f ( X arg d 2 ) 1
f (
tx = − = 1 + ∆ = 1 + 2
π
f tx
t1 t2
(t1+t2)/2
27
Représentation temps-fréquence
• Vers une représentation temps-fréquence RTF
• Représentation schématique de ce qui est souhaitable
T t f
x( , )
t f
f0 exp(j2πf0t) t
f
δ(t-t0)
t0
t f
exp(-αt²) t
f
α
Exp(j2πt²α/2)
28
Le plan temps-fréquence
• Domaine temporel --- domaine fréquentiel
• Dans le spectre : information délocalisée en temps
• Signal à durée limitée et signal à bande limitée
• Inégalité d'Heisenberg-Gabor :
• Pour une gaussienne
∆ ∆ t . f ≥ 1 4 π
2 /
≥ 1
BT
Analyse temps-fréquence
SIGNAL
1 - Les méthodes : Méthodes temps-fréquence IMAGE TEMPS-FREQUENCE
2 - Quoi extraire ? Traitement d’images, pré-traitement, Segmentation
IMAGE TEMPS-FREQUENCE EPUREE
3 - Comment paramétrer ? Reconnaissance de formes, codage, modélisation
DESCRIPTEURS
4 - Quelle décision ? Classification, identification DECISION
30
Représentations temps-fréquence linéaires
• Décomposition du signal sur une famille de signaux élémentaires
– Transformée de Fourier à court terme – Décomposition de Gabor
– Transformée en ondelettes
• Propriété de linéarité
x t ( ) = c x t
1 1( ) + c x t
2 2( ) ⇒ T t f
x( , ) = c T t f
1 x1( , ) + c T t f
2 x2( , )
31
Transformée de Fourier à Court Terme (TFCT)
• TFCT du signal x(t) définie par :
• Interprétation :
TF locale au voisinage de t.
• Autre définition :
TFCT obtenue en filtrant x(t) par un filtre passe- bande de réponse fréquentielle H*(ξξξξ-f) centré sur f
∫ τ τ − τ
=
+∞∞
−
τ π
−
d
) e t (
* h ) ( x )
h
; f , t (
TFCT
x j2 f) t (
* h ) ( x ) (
x
tτ = τ τ −
= =+∞∫ τ τ∞
−
τ π
− d
)e ( x )
f ( X ) h
; f , t (
TFCTx t t j2 f
ξ
− ξ
∫ ξ
=
−
⊗
= +∞ π ξ−
∞
− π
− X( )H*( f)e d )e
f (
* H )
f ( X ) f (
Xt j2 ft j2 ( f)t
∫ ξ ξ − ξ
=
+∞∞
− π
−
X ( ) H * ( f ) e
πξd ) e
h
; f , t (
TFCT
x j2 tf j2 t32
Transformée de Fourier à Court Terme (TFCT)
• Résolution en temps et en fréquence
) t t ( )
t (
x
1= δ −
0) t t (
* e h
e d ) t (
* h ) t (
) h
; f , t (
TFCT
x1=
+∞∫ δ τ −
0τ −
j2 fτ =
−j2πt0f 0−
∞
−
τ π
−
t f
t0
h(t)
Transformée de Fourier à Court Terme (TFCT)
Compromis entre résolution en temps et en fréquence exprimé par l’inégalité d'Heisenberg-Gabor.
) e t (
x
2=
j2πf0t) f f (
* e H
e d ) f (
* H ) f ( )
h
; f , t (
TFCTx2 =+∞∫δ ξ− 0 ξ− j2π(ξ−f)t ξ= j2π(f0−f)t 0−
∞
−
t f
f0 H(f)
34
Décomposition de GABOR
Notion « d’atomes temps-fréquence » Définition
Les fonctions sont appelées logon
Limitations : maillage rectangulaire
x t G n k g t g t g t nT e
n x nk
k nk
j kFt
( ) = ∑ ∑ , ( ) ( ) = ( − )
=−∞
+∞
=−∞
+∞ avec 2π
G n k
x,
: coefficients de Gaborg
nk( ) t
t f
Transformée en ondelettes
Représentation temps-échelle continue :
Représentation Temps-Fréquence pour Pavage dyadique
Interprétation : filtres à Q-constant (Q = f0 / B) a )
t (s h a ) 1 s ( h avec
ds ) s ( h ) s ( x ) a , t (
Tx =+∞∫ *ta *ta = −
∞
−
a = f / f
0t f
36
Représentations temps-fréquence bilinéaires
Distribution d’énergie
• Energie de x(t) :
et : densités d’énergie respectivement temporelle et spectrale.
Rechercher une grandeur mixte qui sera une densité conjointe telle que :
Le « spectre instantané » est censé
« déployer » l’énergie du signal Deux contraintes naturelles :
= ∫
= ∫
+∞−∞
+∞
−∞
x ( t ) dt X ( f ) df
E
x 2 2x t( ) 2 X f( ) 2
T t f
x( , )
=+∞∫ ∫
∞
− +∞
∞
− T (t,f)dtdf
Ex x
T t f
x( , )
) t ( p
= ) t ( x df ) f , t ( T et
) f ( P
= ) f ( X dt ) f , t (
Tx = 2 x ∫ x = 2 x
∫ +∞
∞
− +∞
∞
−
Représentations temps-fréquence bilinéaires
Principe de superposition quadratique
Théorème de Wigner : Il n'existe pas de représentation temps-fréquence qui soit à la fois bilinéaire, à
distributions marginales correctes, et partout non négative.
x t( )=c x t1 1( )+c x t2 2( ) ⇒ T t fx( , )= c T t f1 2 x1( , )+ c T t f2 2 x2( , )+c c T1 2* x x1, 2( , )t f +c c T2 1* x x2,1( , )t f
38
Spectrogramme
Le Sonagraphe
Le principe peut être modélisé ainsi :
Spectrogramme ou sonagramme donc aussi :
non négatif et à valeur réelle Choix de la fenêtre d’analyse
Le spectrogramme est le module carré de la TFCT
2
*
x(t,f;h) X( )H ( f)e d S =+∫∞ ξ ξ− j2 t ξ
∞
−
πξ
2 f
2
* j
x(t,f;h) x( )h ( t)e d
S =+∫∞ τ τ− τ
∞
−
τ π
−
Effet de la longueur de la fenêtre
40
Distribution de Wigner-Ville (DWV)
Définition
Propriétés
Structure des interférences Soit :
Les termes d’interférences sont localisées autour du temps et de la fréquence
+∞
∫
∞
−
τ π
−
τ
− τ + τ
= ) e d
t 2 ( y 2 ) t
( x )
f , t (
W
x,y * j2 ft f 2 j 1 0
1 2
1
e
1) t t
( x )
t ( x avec
) t ( x )
t ( x )
t (
x = + = −
πt f 2 j 2 0
2
e 2
) t t ( x )
t (
x = − π
et
2 t t
12= t
1+
22 f f12 = f1 + 2
41
Distribution de Wigner-Ville (DWV) (suite)
La fréquence des oscillations est dans la direction du temps et la fréquence des oscillations est dans la direction de la fréquence
2
1
f
f −
2
1
t
t −
t f
Wx1(t,f)
(t1,f1)
Wx2(t,f)
(t2,f2) direction des
oscillations
1/(t1-t2) 1/(f1-f2)
Ix1,x2(t,f)
42
Distribution de Wigner-Ville (DWV) (suite)
Distribution de Wigner-Ville (DWV) (suite)
44
Fonction d’Ambiguïté (FA)
Définition
Fonction corrélative temps-fréquence La DWV et la FA sont duales
Réduction des interférences
+∞
∫
∞
−
πξ
−
∗ − τ + τ
= ξ
τ )e dt
t 2 ( y 2) t
( x )
, (
Ax,y j2 t
+∞
∫
∞
−
πξτ
−
∗ − ξ + ξ
= )e df
f 2 ( Y 2) f
(
X j2
+∞
∫ ∫
∞
− +∞
∞
−
τ
− ξ π
= −
ξ
τ, ) W (t,f )e dtdf (
Ax,y x,y j2 ( t f)
45
Lissage des distributions de Wigner-Ville
Classe des DWV lissées (classe de Cohen) :
Ou
est la fonction de lissage de la DWV
Caractérisation dans le domaine des corrélations dualité domaine des corrélations et domaine des distributions d’énergie :
∫ ∫ ∫
+∞
∞
− +∞
∞
− +∞
∞
−
τ π
−
−
πξ Φ τ ξ + τ − τ ξ τ
=
Φ )e d dsd
s 2 ( x 2) s
( x ) , ( e
) , f , t (
Px j2 (s t) * j2 f
) f , t ( )
f , t ( W )
, f , t (
P
xΦ =
x∗ ∗ ϕ
) f , t ϕ (
) , ( x ) , ( A )
, , ( A
TF 2D
TF 2D
TF
2D
) f , t ( )
f , t ( W )
, f , t ( W
x x
x x
ξ τ Φ ξ
τ
= Φ ξ τ
ϕ
∗
∗
= ϕ
վ վ
վ
46
Lissage des distributions de Wigner-Ville (suite)
La Distribution de Pseudo Wigner Ville (DPWV) est une Wigner- Ville à court terme. On introduit une fenêtre temporelle h d'observation
La DPWV réalise un lissage dans la direction des fréquences uniquement
Les interférences ne seront pas atténuées dans la direction du temps
Le lissage "fréquentiel" sera important pour une fenêtre h(t) courte La Distribution de Pseudo Wigner Ville lissée (DPWV lissée) est une Pseudo-Wigner-Ville sur laquelle a été introduit une fenêtre fréquentielle g et donc un lissage temporel.
Le lissage temporel est indépendant du lissage fréquentiel.
∫
= τ
−
= τ
τ π
−
∗
− τ τ τ
+ τ
=
hh
T
T
f 2 j 2
x
) e d
( 2 h 2 ) t
( x 2 ) t
( x )
f
,
t
(
PW
Distribution de Choï-Williams
La distribution de Choï-Williams (CW) est une des
nombreuses distributions qui proposent de réduire les termes d'interférences
La fonction noyau est une gaussienne paramétrée par une variance s
On retrouve la DWV pour s qui tend vers l'infini
+∞
∫ ∫
∞
− +∞
∞
−
τ π
−
∗ τ
− σ
− + τ − τ τ
τ σ
= π )e dsd
s 2 ( x 2) s
( x 2 e
) f , t (
CWx 2 2(s t)2 / 2 j2 f
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Exemples
• Analyse de signaux Sonar
– Signaux du fond sous-marin
– Signaux de cibles acoustiques
Bibliographie
• P. Flandrin, Temps-fréquence, Hermès, Paris, 1993
• F. Hlawatsch et G.F. Boudreaux-Bartels, "Linear and Quadratic Time-Frequency Representations", IEEE Signal Processing Magazine, Vol. 9, N°2, April 1992
• F. Hlawatsch, "Time-Frequency Methods For Signal Processing", Traitement du signal - développements récents, Ecole pré-doctorale de physique, Session VI, Septembre 1993
• O. Rioul et M. Vetterli, "Wavelets and Signal Processing", IEEE Signal Processing Magazine, Vol. 8, N°4, Octob er 1991
• M. Basseville, P. Flandrin, N. Martin, "Méthodes Temps- Fréquence", Traitement du Signal, Vol. 9, Supplément au N°1
