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Théorie homotopique des Schémas

Mlle. AZI Khadija

Table des matières

1 Généralités sur les schémas 2

1.1 Spectre d’un anneau : . . . 2

1.1.1 Dé…nition ensembliste : . . . 2

1.1.2 Topologie de Zariski sur SpecA : . . . 2

1.1.3 Propriétés topologiques : . . . 4

1.1.4 Applications continues : . . . 5

1.2 Schéma a¢ ne : . . . 6

1.2.1 Préfaisceau :. . . 6

1.2.2 Faisceau : . . . 6

1.2.3 Faisceau structural : . . . 6

1.2.4 Schéma a¢ ne : . . . 6

2 Topologie de Zariski dans le cas projectif 7 2.0.5 Dé…nitions : . . . 7

2.0.6 Ensembles algébriques projectifs : . . . 7

2.0.7 Idéal d’un ensemble algébrique projectif : . . . 9

2.0.8 Nullstellensatz projectif :. . . 9

2.0.9 Anneau gradué associé à un ensemble algébrique : . . . 9

2.0.10 Les ouverts : . . . 10

3 Topologie de Grothendieck 11 3.1 Prétopologie de Grothendieck : . . . 11

2

Résumé

Chapitre 1

Généralités sur les schémas

1.1 Spectre d’un anneau :

1.1.1 Dé…nition ensembliste :

Dé…nition 1.1

Le spectre d’un anneau commutatif unitare A est l’ensemble de ses idéaux premiers, on le note SpecA:

Exemple 1.1

1) Si A est un anneau principal :

i)SpecZcorrespond à l’ensemble des nombres premiers et 0.

Les nombres premiers sont en correspondance avec les idéaux premierspZet0corres- pond à l’idéal nul.

ii)SpecR[X] contient0(l’idéal nul), Rcar chaque réel r correspond à l’idéal premier (X r)R[X] et les couples des nombres complexes conjugués (z; z⁰) correspondant à l’idéal (X z)(X z⁰)R[X]:

2) Si A est un corps :

Dans ce casSpecA contient seulement l’idéal nul.

1.1.2 Topologie de Zariski sur SpecA :

Les fermés : Dé…nition 1.2

A tout idéal a deA on associe l’ensemble V(a) = fpidéal premier tel que avpg:

Proposition 1.1

1) Si a etb sont deux idéaux de A alors V(a)[V(b) = V(ab):

2) Si fa_igi est une famille d’idéaux deA alors T

V(a_i) =V (P a_i): Preuve.

2

1.1. SPECTRE D’UN ANNEAU : 3

1) Montrons queV(a)[V(b) = V(ab) On procède par souble inclusion : i)V(a)[V(b) V(ab) :

Soit p2V(a)[V(b):

Doncp2V(a) oup2V(b):

=)avp oub vp:

=)abvp:

=)p2V(ab):

D’oùV(a)[V(b) V(ab):

ii)V(ab) V(a)[V(b) : Soit p2V(ab) , doncabvp:

Supposons par exemple que b*p Alors il va exister x2b tel que x =2p Or8y2a on a xy2p

Comme p est premier etx =2palors forcément y 2p;d’où avp ce qui établit ii).

2) Montrons queT

V(a_i) =V (P a_i) : Soit fa_igi est une famille d’idéaux de A On sait queP

a_i est le plus petit idéal contenant tous les a_i: Doncp2V (P

a_i) () P

a_i vp () a_i vppour tout i () p2T V(a_i):

Remarque 1.1

A présent on peut dé…nir une topologie surSpecA:

Les fermés sont les ensembleV(a):

On note que V(A) =? etV((0)) =SpecA:

On a bien une topologie au sens de la proposition précédente :

L’intersection quelconque ainsi que la réunion …nie d’ensembles de la forme V(a) est encore un ensemble de la forme V(a):

Dé…nition 1.3

Les ensemblesV(a)forment donc les fermés d’une certaine topologie surSpecAappelée la topologie de Zariski sur SpecA:

Les ouverts fondamentaux : Dé…nition 1.4

Soit a un idéal quelconque deA:

Les ensemblesU(a) =SpecArV(a)constituent les ouverts de la topologie de Zariski sur SpecA:

Notion de voisinage : Dé…nition 1.5

Soit W SpecA:

W est un voisinage de a pour la topologie de Zariski si et seulement s’il existe I idéal de A tel que a2U(I) W:

4 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES SCHÉMAS

1.1.3 Propriétés topologiques :

Points particuliers : Remarque 1.2

Un point deSpecAest fermé si le singleton correspondant est une partie fermée dans SpecA:

Proposition 1.2

Le point dé…ni par un idéal premier est fermé si et seulement si l’idéal est maximal.

Corollaire 1.1

SiA6=f0galors SpecA a toujours des points fermés.

Preuve.

Supposons que SpecA6=f0g;alors il existe un idéal premierI 6= (0): Donc il va exister un idéal maximalJ contenant I:

AinsiJ est un point fermé de SpecA:

Exemple 1.2

Contrairement à ce qui se passe pour les topologies métriques tous les points ne sont pas fermés en général.

En e¤et, dansSpecZetSpecR[X]il existe un idéal premier (l’idéal nul) non maximal.

Points génériques :

Puisqu’un point x de SpecA n’est pas nécessairement fermé on peut considérer son adhérence dans SpecA pour la topologie de Zariski.

Dé…nition 1.6

On dit qu’un point est générique s’il n’appartient à l’adhérence d’aucun autre point.

Remarque 1.3

Il est facile de remarquer qu’un point correspondant à un idéal premier est générique si et seulement si l’idéal premier est minimal (c’est à dire ne contient aucun autre idéal premier).

Exemple 1.3

i) Si A est intègre :

L’idéal nul est un idéal premier minimal, il correspond donc à un point générique de SpecA. C’est aussi l’unique point générique sur SpecA L’adhérence du point générique est l’espace tout entier.

ii) i) Si A n’est pas intègre :

Dans ce cas il peut y avoir plusieurs points génériques.

L’adhérence de chacun de ces points est un fermé de SpecA appelé une composante irréductible de SpecA:

1.1. SPECTRE D’UN ANNEAU : 5

Séparation et compacité : Proposition 1.3

L’espaceSpecAest quasi-compact : En e¤et, de tout recouvrement d’ouverts d’ouverts de SpecAon peut extraire un recouvrement …ni.

Preuve.

Soit fU_igi un recouvrement ouvert deSpecA.

On sait d’après la proposition 1.1 queT

V(ai) =V (P

ai)est non vide doncP

ai =A:

Celà implique que l’unité 1 de A appartient à la somme d’un nombre …ni d’idéaux..

Les ouverts U_i correspondant aux complémentaires de cesV(I_i) recouvrent SpecA:

Proposition 1.4

L’espaceSpecA n’est pas séparé.

Remarque 1.4

On a vu plus haut qu’un point dé…ni par un idéal premier n’est pas nécessairement fermé donc SpecAn’est pas séparé.

1.1.4 Applications continues :

Proposition 1.5

Soit h:A !B un homomorphisme d’anneaux :

Pour tout idéal pl’application Spec(h) :SpecA !SpecB qui àp associe h ¹(p) est continue.

Preuve.

On sait que l’image réciproque d’un idéal premier est un idéal premier.

D’autre part, pour tout idéal J de B on montre que h ¹(V(J)) =V (h ¹(J))est un fermé dans SpecA:

D’oùSpec(h)est une application continue.

Exemple 1.4

Pour tout anneau A, il existe un unique homomorphisme d’anneaux Z ! A:On a donc une application continue SpecA ! SpecZ.

SiAest de caractéristiqueptel queppositif premier alors l’image de cette application est le nombre pZ:

6 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES SCHÉMAS

1.2 Schéma a¢ ne :

1.2.1 Préfaisceau :

Dé…nition 1.7

SoitX un espace topologique. Un préfaisceau d’ensemblesF sur X est la donnée de : 1) Pour tout ouvertU deX d’un ensemble F(U)

2) Pour toute inclusion V U d’une application de restriction U V :F(U) !F(V) véri…ant :

i)F(?) = 0

ii) U U est l’application identité F(U)!F(U)

iii) SiU V W trois ouverts de X alors U W = V W U V

En langage des catégorie un préfaisceau d’ensembles F sur un espace topologique X est un foncteur contravariant de la catégorieT op(X)dans la catégorie des ensemblesEns.

Exemple 1.5

Sur une variété di¤érentielle X, la donnée C¹(U) des fonctions réelles de classe C¹ sur un ouvert U de X dé…nit un préfaisceau surX:

Les applications de restriction sont les restrictions au sens usuel.

1.2.2 Faisceau :

Dé…nition 1.8

Un préfaisceau F est appelé faisceau lorsque, pour tout ouvert V de X, tel que V = SV_i et pour toute famille de sections fs_ig 2F(V_i)

s_ij^Vi\Vj = s_jj^Vi\Vj alors 9!s 2F(U) tel que sj^Vi =s_i:

1.2.3 Faisceau structural :

A isomorphisme près, il existe un faisceau d’anneaux commutatifs sur l’espace topo- logique SpecA dont l’anneau des sections est un ouvert de la forme D(f) (où f 2 A) s’identi…ant à l’anneau local A_f:

Dé…nition 1.9

La donnée de l’espace topologiqueSpecAmuni de ce faisceau d’anneaux constitue un espace topologique annelé.

Si U est un ouvert de SpecA, l’anneau des sections sur U du faisceau structural est appelé anneau des fontions régulières sur U:

1.2.4 Schéma a¢ ne :

Dé…nition 1.10

Pour tout idéal premier p de A, l’anneau des germes de fonctions régulières en p 2 SpecA s’identi…e au localisé A_p deA en l’idéal premier p:

L’espace anneléSpecAest ainsi un espace topologique annelé en anneaux locaux appelé schéma a¢ ne.

Chapitre 2

Topologie de Zariski dans le cas projectif

2.0.5 Dé…nitions :

Soit n2N etE l’espace vectoriel de dimension n+ 1 surk:

On introduit la relation d’équivalence < surE rf0g dé…nie par : x<y () 9 2 k tel que y = x:

La relation< n’est autre que la colinéarité des vecteurs, les classes d’équivalence pour

< sont donc les droites vectorielles de E privées de l’origine.

Dé…nition 2.1 Espace projectif

L’espace projectif associé à E qu’on note P(E) est le quotient de E r f0g par la relation <:

Si on désigne parp la projection canoniquekⁿ⁺¹rf0g !P(kⁿ⁺¹):

Pour x = (x0; :::; xn) et x 6= 0, si x = p(x) on dit que x est un point de P(kⁿ⁺¹) de coordonnées homogènes (x₀; :::; x_n):

On posePⁿ =P(kⁿ⁺¹):

On note alors que les xi ne sont pas tous nuls et que si 2k alors ( x0; :::; xn) est un autre système de coordonnées homogènes de x:

Remarque 2.1

1) Lorsque k = R ou C l’espace projectif a une topologie naturelle, celle quotient de la topologie de kⁿ⁺¹rf0g:

L’espace projectif est donc compacte et connexe.

2) Le fait que l’espace projectif associé à kⁿ⁺¹ soit de dimension n correspond au fait que les droites vectorielles y sont contractées en des points.

2.0.6 Ensembles algébriques projectifs :

On va travailler sur un corps commutatif k.

On désigne par Pⁿ l’espace projectif de dimension n.

On note par(x₀; :::; xn)les coordonnées dans Pⁿ: Soit k[X₁; :::; X_n] l’anneau des polynomes . Remarque 2.2

7

8 CHAPITRE 2. TOPOLOGIE DE ZARISKI DANS LE CAS PROJECTIF

Parmi les di¤érences avec le cas a¢ ne il convient de préciser que les polynomesF de k[X₁; :::; X_n] ne sont plus des fonctions sur l’espace projectif parce que leur valeur en un point x dépend du système de coordonnées homogènes.

On rappelle que siF est homogène de degré d alorsF( x₀; :::; x_n) = ^dF(x₀; :::; x_n):

Proposition 2.1

Soit F 2k[X₁; :::; X_n] etx2Pⁿ:

On dit quexest un zéro deF siF(x) = 0pour tout système de coordonnées homogènes x de x:

On écrit alors indi¤éremmentF(x) = 0 ouF(x) = 0:

i) Si F est homogène il su¢ t qu’on ait pour tout système de coordonnées homogènes F(x) = 0:

ii) SiF =F₀+F₁+:::+F_roùF_isont homogènes de degréialorsF(x) = 0, F_i(x) = 0 pour tout i2 f1; :::; rg:

Preuve.

Pour ii) Supposons queF( x) = ^dF_d(x) +:::+ F₁(x) +F₀(x) = 0:

Ceci impliqueF_i(x) = 0 8i= 0; :::; r:

Réciproquement si pour touti= 0; ::; r on a F_i(x) = 0 alors F( x) =F(x) = 0:

Dé…nition 2.2 Ensemble algébrique projectif

Soit S k[X₁; :::; X_n]:

On appelle ensemble algébrique projectif un ensemble de la forme :

Z_p(S) = fx2Pⁿ / 8F 2S F(x) = 0g (Au sens de la proposition 2.4 bien en- tendu).

S’il n’y a pas de confusion on écritZ(S) au lieu de Z_p(S):

1) Si I =hSi on a bien Z(S) =Z(hSi):

2) Commek[X₁; :::; X_n] est nothérien il est toujours possible de se ramener au cas où S est …ni formé par des polynomes homogènes.

Exemple 2.1

1)Z(f0g) =Pⁿ:

2) Comme dans le cas a¢ ne, les points x = (x0; :::; xn) 2 Pⁿ sont des ensembles algébriques projectifs.

Remarque 2.3

Similairement au cas a¢ ne on a les propriétés suivantes : i) L’application Z_p est décroissante .

ii) L’intersection quelconque d’ensembles algébriques projectifs ainsi que leur réunion

…nie sont des ensembles algébriques projectifs. Ce qui munit Pⁿ d’une topologie dont les fermés seront les Zp : c’est la topologie de Zariski.

Pour les parties de Pⁿ on utilisera la topologie induite (dite encore de Zariski).

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2.0.7 Idéal d’un ensemble algébrique projectif :

Remarque 2.4

Soit V une partie dePⁿ: L’idéal de V est dé…ni par : I_p(V) = fF 2k[X₁; :::; X_n] / 8x2V F(x) = 0g Toujours au sens de la proposition 2.4.

Proposition 2.2

1) L’idéal I_p(V)est homogène et radical.

2) L’application I_p est décroissante.

3) Pour tout ensemble algébrique projectif V on a Z_p(I_p(V)) =V:

4) Si I est un idéal on aI I_p(Z_p(I)):

5)Ip(I) = (0) etIp(?) =k[X1; :::; Xn]:

2.0.8 Nullstellensatz projectif :

Dans la suite on supposera que le corps k est algébriquement clos. On a alors une variante du Nullstellensatz a¢ ne énoncée comme suit :

Théorème 2.1 Nullstellensatz projectif

Soit I un idéal homogène dek[X₁; :::; X_n].

i)Z_p(I) = ?,(X₁; :::; X_n) =k[X₁; :::; X_n] rac(I):

ii) Si Z_p(I)6=? on a I_p(Z_p(I)) =rac(I):

Remarque 2.5

On obtient ainsi -comme dans le cas a¢ ne- une bijection entre les ensembles algébriques projectifs et les idéaux homogènes radicaux de k[X₁; :::; X_n]:

2.0.9 Anneau gradué associé à un ensemble algébrique :

Soit V Pⁿ un ensemble algébrique projectif et I_p(V)son idéal.

CommeIp(V) est homogène alors l’anneau quotient p(V) = k[X1; :::; Xn] = Ip(V)est gradué.

Remarque 2.6

1) Là encore on pourra traduire les propriétés algébriques en propriétés géométriques grâce à la correspondance entre les idéaux homogènes radicaux de p(V)et les ensembles algébriques projectifs inclus dans V:

2) Contrairement au cas a¢ ne les p(V) ne dé…nissent plus des fonctions sur V, bien que pour unF 2 ^p(V) etx2Pⁿ le fait queF possède un zéro enx est indépendant du choix du représentant de F:

10 CHAPITRE 2. TOPOLOGIE DE ZARISKI DANS LE CAS PROJECTIF

2.0.10 Les ouverts :

Dé…nition 2.3

SoitV un ensemble algébrique projectif etf 2 ^p(V)un polynome homogène de degré d strictement positif.

On poseD⁺(f) =fx2V tel que f(x)6= 0g: LesD⁺(f) ainsi dé…nis sont des ouverts de V:

Proposition 2.3

Tout ouvert non vide de V s’écrit comme réunion …nie d’ouverts de la forme D⁺(f):

SoitU V un ouvert non vide de sorte queV rU =V_p(I)oùI est un idéal homogène de k[X₁; :::; X_n]:

On a doncI = (F₀; F₁; :::; F_r) avec les F_i 2k[X₁; :::; X_n] homogènes.

Alors si f_i est l’image de F_i dans p(V) on a U =D⁺(f₁)[D⁺(f₂)[:::[D⁺(f_r):

Chapitre 3

Topologie de Grothendieck

Soit X un espace topologique.

On considère la catégorie Ouv(X) dont les objets sont les ouverts de X et pour tout U; V deux ouverts deX on pose : Hom(U; V) = U !V si U V

? sinon On dé…nit sur cette catégorie le produit …bré comme suit : U _X V =U [V:

3.1 Prétopologie de Grothendieck :

Dé…nition 3.1

Soit C une petite catégorie.

Une prétopologie sur C est la donnée de :

Pour tout objet X 2 Ob(C) Cov(X) est un ensemble de familles de morphismes (f i:U i > X)_i telle que :

0) Pour tout (f i : U i > X) 2 Cov(X) les morphismes F_i sont quadrables (ie Pour tout Y > X surC alors UixY le produit …bré sur X existe)

1) Stabilité par changement de base :

Pour toutX de C, pour tout (f i:U i > X) 2Cov(X)

pour tout(g :Y > X) de C, alors la famille (UixY > Y) 2Cov(Y) 2) Stabilité par composition :

Soit X deC, et (f i:U i > X)2Cov(X) Pour toutY soit (gji :V ji > U i) 2Cov(U i) Alors la famille (fiog_ji :V ji >X)2 Cov(X) 3) Identité :

Pour toutX 2Ob(C) alors (id:X > X)2Cov(X)

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