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Le modèle générique

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Texte intégral

(1)

Forcing de bas niveau

Jean-Louis Krivine

19 mars 2012

Remarque.

Le titre ne se réfère pas au niveau mathématique du présent texte ou du lecteur, mais au rang des ensembles considérés, qui est≤ω+3. Cette limitation permet un exposé autonome en quelques pages.

Le langage logique est celui de la logiquedu second ordre, avec des symboles de fonctions et des variables et constantes de prédicat sur les individus.

Les seuls symboles logiques sont→,∀.

Définitions.⊥ ≡ ∀X XAA→ ⊥;AB ≡ ¬(A,B → ⊥) ;AB≡ ¬A,¬B → ⊥;

x A≡ ¬∀x¬A;∃X A≡ ¬∀X¬A;t=u≡ ∀X(X t→X u).

On écrira A1,A2, . . . ,AkA pour A1→(A2→(. . . (AkA) . . .)).

On écrira ∃x{A1, . . . ,Ak} pour ∀x(A1, . . . ,Ak→ ⊥)→ ⊥ et de même pour∃X.

On a les symboles de fonction 0,s et 1, et les constantes de prédicat ⊥⊥(unaire) et ε (binaire) ;¬⊥⊥(p) est notéeC[p] et se lit : p est une condition non triviale.

On a les axiomes :

x(sx6=0) ;∀xy(sx=s yx=y) ;

∀x(1x=x) ;∀x(xx=x) ;∀x∀y(xy=yx) ;∀x∀y∀z(x(yz)=(xy)z) ;

¬⊥⊥(1) ;∀pq(⊥⊥(p)→ ⊥⊥(pq)).

On définit donc une relation d’ordre≤en posant pq ≡(pq=p) et une relation de pré- ordreven posantpvq≡ ∀r(⊥⊥(qr)→ ⊥⊥(pr)). On a ∀pq(p≤qpvq).

C[pq] se lit : p est compatible avec q.

On a la formule int(x)≡ ∀X[∀y(X yX s y),X0→X x].

La formule ∀x(int(x)→F) est notée ∀xintF.

On désigne parM un modèle de la logique du second ordre (schéma de compréhension).

Ce sera le modèle de départ pour les preuves de consistance relative.

Suivant les besoins, on ajoutera des symboles de fonction ou de prédicat et des axiomes.

L’ensemble d’individus deM (appelé aussi ensemble desconditions) est désigné parP. Pour chaque variableX de prédicatn-aire, on fixe une variableX+de prédicat (n+1)-aire.

Pour chaque formuleF, on définit ci-dessous deux formules p ∈ kFk et p||−F, avec une variable librepen plus ; p∈ kFk se lit : p s’oppose à F; p||−F se lit : p force F.

p||−F est ∀q(q∈ kFk → ⊥⊥(pq)).

p∈ kX(~t)k est ¬X+(p,~t) siX est une variable de prédicat et~tune suite de termes.

p∈ kR(~t)k est ¬R(~t) siRest une constante de prédicat.

p∈ kABk est ∃qr{q||−A,r∈ kBk,p=qr}.

(2)

p∈ k∀x Ak est ∃x(p∈ kAk).

p∈ k∀X Ak est ∃X+(p∈ kAk).

On montre facilement :

p||−X(~t)≡ ∀q(C[pq]→X+(q,~t)) siX est une variable de prédicat ; p||−R(~t)≡C[p]→R(~t) siRest une constante de prédicat ;

p∈ k⊥k ≡ >; p||− ⊥ ≡ ⊥⊥(p) ; p||−Fpq ||−F ; p∈ kFk ⇒ p||− ¬F; p||−AB ≡ ∀q(q ||−Apq||−B) ; p||− ¬A≡ ∀q(C[pq]q6||−A) ; p||− ∀x A≡ ∀x(p||−A) ; p||− ∀X A≡ ∀X+(p||−A).

p∈ kABk ≡(p||−A)∧ ∃q{p≤q,q∈ kBk}.

p∈ kA1, . . . ,AnBk ≡(p||−A1)∧. . .∧(p||−An)∧ ∃q{p≤q,q∈ kBk}.

p∈ kA1, . . . ,An→ ⊥k ≡(p||−A1)∧. . .∧(p||−An).

p||−(A1, . . . ,AnB)≡ ∀q(q||−A1, . . . ,q||−Anpq ||−B).

Lemme 1. p||−F , qvpq||−F .

Soitr∈ kFk; on a ¬C[pr] par hypothèse surp, donc on a ¬C[qr] puisque qvp.

C.Q.F.D.

Lemme 2.

i) p∈ ka=bk ⇔C[p]→a6=b.

ii) p||−a=b ⇔ C[p]→a=b.

i) a=bs’écrit∀X(X a→X b), doncp∈ ka=bks’écrit∃X+q{pq,p||−X a,q∈ kX bk} soit (?) ∃X+∃q{p≤q,∀r(C[pr]→X+(r,a)),¬X+(q,b)}.

Preuve de ⇒.

En faisantr=qdans (?), on obtientC[p]→X+(q,a) et¬X+(q,b).

On en déduitC[p]→a6=b.

Preuve de ⇐.

On supposeC[p]→a6=bet on montre (?) en prenantq=pet en posantX+(u,x)≡(x6=b).

Il reste alors à montrer∀r(C[pr]→a6=b), ce qui est l’hypothèse.

ii) p||−a=bs’écrit∀q(q∈ ka=bk → ⊥⊥(pq)), c’est-à-dire, d’après (i) :

∀q¡

(C[q]→a6=b)→ ⊥⊥(pq

ou encore∀q(a6=b→ ⊥⊥(pq)), qui équivaut àC[p]→a=b.

C.Q.F.D.

Lemme 3. p||−int(a) ⇔ C[p]→int(a).

Preuve de.

Si on a¬C[p], alorsp||− ⊥, doncp||−int(a).

On suppose donc int(a) et on doit montrerp||−int(a), ce qui s’écrit : (?) ∀X+∀q(q||− ∀y(X yX s y),q ||−X0→pq ||−X a).

Il suffit donc de montrer∀aint(pq||−X a) avec les hypothèses : q||− ∀y(X yX s y) etq||−X0.

En raisonnant par récurrence sura, on doit montrer :

pq||−X0. Ceci se déduit immédiatement de q ||−X0.

• ∀b(pq||−X bpq||−X sb).

On a, par hypothèse,q||−(X b→X sb), c’est-à-direr(r||−X bqr ||−X sb).

D’où le résultat, en prenant r=pq.

(3)

Preuve de.

On fait l’hypothèse p||−int(a), c’est-à-dire (?).

On doit montrerC[p]→int(a), c’est-à-dire ∀Y ¡

y(Y y→Y s y),Y0,C[p]→Y a¢ . Pour cela, on applique l’hypothèse (?) avecX+(r,x)Y x.

On a q||−X y≡ ∀r(C[qr]→Y y), autrement dit q||−X y≡(C[q]→Y y).

Donc q ||− ∀y(X yX s y)≡ ∀yr¡

(C[r]→Y y),C[qr]→Y s y¢ qui équivaut à C[q]→ ∀y(Y yY s y).

L’hypothèse (?) donne donc :

Yq¡

(C[q]→ ∀y(Y yY s y)), (C[q]→Y0),C[pq]→Y a¢ . En faisantq=1, on en déduit le résultat voulu.

C.Q.F.D.

Une formule est ditedu premier ordre, si elle est obtenue par les règles suivantes :

• R(t1, . . . ,tk),⊥,t=u, int(t) sont du premier ordre ;Rest une constante de prédicat,ti,t,u sont des termes.

• SiF,Gsont du premier ordre,FGet∀x F le sont également.

Théorème 4. Si F est une formule du premier ordre, alors p||−F équivaut à C[p]→F . Preuve par induction surF. Le seul cas à examiner est FAB.

Alors, p||−AB est ∀q(q ||−Apq||−B) qui équivaut, par hypothèse d’induction à :

q¡

(C[q]→A)→(C[pq]→B

. Or, on a trivialement ¬C[q]→(C[pq]B).

Donc p||−(A→B) équivaut à ∀q¡

A→(C[pq]B

, c’est-à-dire C[p]→(A→B).

C.Q.F.D.

Lemme 5.

i) Si A est une formule du premier ordre, alors p||−(A→B) équivaut à A→(p||−B).

ii) p||− ∀nintF[n] équivaut ànint(p||−F[n]).

i) D’après le théorème 4,p||−(A→B) équivaut à ∀q((C[q]→A)pq||−B).

Or, on a trivialement ¬C[q]→(pq||−B).

Donc p||−(A→B) équivaut à ∀q(A→pq||−B), c’est-à-dire A→(p||−B).

ii) Corollaire de (i).

C.Q.F.D.

Lemme 6. p||− ∃~x{F1[~x], . . . ,Fk[~x]} équivaut à chacune des deux formules suivantes :

q(C[q],qp→ ∃~xr{C[r],rvq, (r ||−F1[~x]), . . . , (r ||−Fk[~x])});

q(C[q],qvp→ ∃~xr{C[r],rq, (r ||−F1[~x]), . . . , (r ||−Fk[~x])}).

Même énoncé en remplaçant∃~x par∃~X .

Immédiat en écrivant la définition de p||− ∀~x(F1[~x], . . . ,Fk[~x]→ ⊥)→ ⊥.

C.Q.F.D.

Le modèle générique

Une partieX deP est dite :

saturée si on a∀pq(X(p),qp→X(q)) ; autrement dit ∀pq(X(p)→X(pq)) ;

prédense si on a∀p(C[p]→ ∃q{X(q),C[pq]}) ;

(4)

dense si∀p(C[p]→ ∃q{X(q),C[q],q≤p}) ; autrement dit :

∀p(C[p]→ ∃q{X(pq),C[pq]}).

Si X est prédense, alors ∃q{X(q),pq} définit une partie dense saturée.

Exemple.La formule (p||−F)∨(p||− ¬F) (lire : p décide F) définit une partie dense saturée deC. On suppose maintenant le modèleM dénombrable (en prenant un sous-modèle élémen- taire à l’aide du théorème de Löwenheim-Skolem).

SoitXnPune énumération des parties denses deP qui sont dansM. Une partieG deP est ditegénériquesi :

p,q∈G→C[pq] (doncG⊂C) ; pq∈G→p∈G; G∩Xn6= ;pour toutn∈N.

Remarque.La fonctionn7→Xnet le génériqueGne sont, en général, pas des prédicats du modèleM. Théorème 7(Propriétés élémentaires du générique).

i) SiX est prédense et dansM, alorsG∩X 6= ;. En particulier, on a 1∈G. ii) Si p,q∈G, alors pq∈G.

iii) Si tout élément deGest compatible avec p, alors p∈G. iv) p∈G,pvqq∈G.

i) ∃q{Xq,pq} définit une partie dense saturée. Il existe doncp,q tels que : p∈G,Xq,pq; doncq∈G.

ii) {r∈P;⊥⊥(pr)∨ ⊥⊥(qr)∨rpq} est dense.

iii) {q∈P;⊥⊥(pq)qp} est dense.

iv) Corollaire de (iii).

C.Q.F.D.

Théorème 8. Pour tout p tel queC[p], il existe un génériqueG tel que p∈G.

On définit une suitepn, avecp0=p,pn+1∈Xn,C[pn+1] etpn+1pn. On poseG={q∈P; (∃n∈N)pnq}.

C.Q.F.D.

Etant donné un génériqueG, on définit un nouveau modèle N (noté aussi M[G]), dont l’ensemble d’individus est encoreP. Un prédicatn-aireX deN est obtenu en prenant un prédicat (n+1)-aireX+deM et en posant : X(p1, . . . ,pn)⇔(∀p∈G)X+(p,p1, . . . ,pn).

On considère chacun de ces prédicats X comme un nouveau symbole de relation et on étend la définition des formulesp∈ kFketp||−F à ce nouveau langage.

LorsqueF est une formule atomique de la formeX(~t), on pose : p∈ kX(~t)k ≡ ¬X+(p,~t) et on utilise ensuite la définition inductive de la page 1.

On a, en particulier : p||−X(~t)≡ ∀q¡

C[pq]→X+(q,~t)¢ .

Tous les prédicats deM sont dans N (on dit que N contientM) : si X est un prédicat n-aire deM, il suffit de poser X+(p,p1, . . . ,pn)≡X(p1, . . . ,pn).

Le génériqueG est, lui aussi, un prédicat du modèleN. En effet, si on définit le prédicat binaire G+(p,q)≡C[pq], on a bien G(q)⇔(∀p∈G)C[pq] (théorème 7iii).

Remarque. On a p||−G(q)≡ ∀r(C[pr]→G+(r,q))pvq.

Théorème 9(Lemme de vérité). Pour toute formule close F à paramètres dansN , on a : N |=F ⇔ (∃p∈G)M |=(p||−F)⇔(∀p∈G)M |=(p∉ kFk).

(5)

On montre d’abord que (∃p∈G)M |=(p||−F)⇔(∀p∈G)M |=(p∉ kFk).

Preuve de⇒: Sip||−F etq∈ kFk, alors on a¬C[pq], donc on ne peut avoir p,q∈G. Preuve de⇐: p∈ kFk ∨p||−F définit une partie prédense, par définition de p||−F. On prouve alors le théorème par récurrence surF. SiF est atomique, il y a deux cas : F≡X(~t) oùX est un prédicat deN ; on a alors :

(∀p∈G)(p∉ kFk)⇔(∀p∈G)X+(p,~t)⇔N |=X(~t).

F≡R(~t) oùRest un symbole de prédicat. Démonstration analogue.

SiFAB : on a N 6 |= AB ⇔ (N |=A)∧(N 6 |=B)

⇔(∃p∈G)(M|=p||−A)∧(∃q∈G)(M|=q∈ kBk) (par hypothèse de récurrence)

⇔ ∃pq[(pq∈G)∧(M|=p||−A)∧(M |=q∈ kBk)]⇔(∃r∈G)(M |=r∈ kABk).

SiF ≡ ∀x A: on a N |= ∀x A ⇔ ∀a(N |=A[a/x])⇔ ∀a(∀p∈G)(M |=p∉ kA[a/x]k) (par hypothèse de récurrence)⇔(∀p∈G)(M |=p∉ k∀x Ak).

SiF ≡ ∀X A, où X estn-aire : on a N |= ∀X A ⇔pour toutX+∈P(Pn+1) (N |=A[X])⇔ pour toutX+∈P(Pn+1) (∀p∈G)(M |=p∉ kA[X]k) (par hypothèse de récurrence)

⇔(∀p∈G)(M |=p∉ k∀X Ak).

C.Q.F.D.

Théorème 10.

i) N est un modèle de la logique du second ordre (schéma de compréhension).

ii) Pour toute formule close F du premier ordre, à paramètres dans M, on a M |=F ⇔ N |=F .

i) Soit ∀~x F[~x] une formule close avec paramètres ; on définit le prédicat : X+(p,~x)p∉ kF(~x)k. On a alors :

p||−F(~x)≡ ∀q(q∈ kF(~x)k → ⊥⊥(pq))≡ ∀q(C[pq]→X+(q,~x))p||−X(~x).

Il en résulte que 1||− ∀~x(F(~x)→X(~x)) et 1||− ∀~x(X(~x)F(~x)).

D’après le théorème 9, on a donc N |= ∀~x(F(~x)→X(~x)) et N |= ∀~x(X(~x)F(~x)).

ii) Immédiat, d’après les théorèmes 4 et 9.

C.Q.F.D.

En particulier,M etN ont les mêmes entiers.

Bon ordre sur les individus

Théorème 11. Soit/une relation binaire sur P , qui est bien fondée dansM; alors/est bien fondée dansN.

On montre que 1||− ∀X{∀x[y(y/xX y)→ X x]→ ∀x X x}. On fixe doncx0P et un prédicat unaireX deN , représenté par un prédicat binaireX+deM.

On suppose p||− ∀x[∀y(y/x→Xy)→Xx] et on montre p||−Xx0par induction sur la relation bien fondée/. D’après l’hypothèse surp, il suffit de montrer p||− ∀y(y/x0→Xy), c’est-à-dire ∀qy(q||−y/x0pq||−Xy).

Maisy/x0est une formule atomique, donc du premier ordre ; par suite q ||−y/x0 est : C[q]→y/x0. Par hypothèse d’induction, on a y/x0p||−Xy, d’où le résultat.

C.Q.F.D.

Il en résulte que siM satisfait l’axiome : Il existe un bon ordre sur les individus, il en est de même pourN.

(6)

L’axiome du choix dépendant (ACD)

On suppose maintenant queP =P(E) avec E⊃N; on définit une constante de prédicat binaireεen posant : pεqp∈N∧pq.

On ajoute les symboles de constante;etN, interprétés dansP=P(E) de façon évidente.

L’axiome suivant, appeléreprésentation des parties deN(RPN), est satisfait dansM :

X∃x∀nint(X n↔nεx).

On choisit une bijection β:N×E→E, dont la restriction àN2est une bijection deN2surN. On définitg :P2P en posant :

g(n,p)={x∈E;β(n,x)p} sin∈N; g(n,p)= ;sin∉N.

On ajoute le symbole de fonction binaireg au langage, en écrivantpnpourg(n,p).

Toute suite d’individus (éléments deP) est ainsi représentée, d’une façon et d’une seule, par un individu. On a donc unaxiome d’extensionnalité (Ext):

pq(nint(pn=qn)→p=q).

L’axiome du choix dépendant (ACD)est la formule suivante :

X(∀xy X(x,y)→ ∀au{u0=a,nintX(un,un+1)}).

L’axiome du choix dénombrable (ACd)est la formule suivante :

X(∀ninty X(n,y)→ ∃unintX(n,un)).

Ces deux axiomes sont satisfaits dans le modèle de baseM.

On définit le symbole de fonction binaire (p,q) pour le couple d’individu, dans le modèle de baseM comme le seul individurtel quer0=petrn+1=qpour toutn∈N.

Lesaxiomes du couple (Cpl)suivants sont vérifiés :

pqp0q0((p,q)=(p0,q0)→p=p0q=q0) ;∀pq((p,q)0=p∧(p,q)1=q).

On ajoute le symbole de fonction unaireζ, défini dansM parζ(u)={n∈N;un=0}.

L’axiome suivant est donc vérifié : (Zéro) ∀unint(nεζ(u)↔un=0).

Théorème 12. i) Cpl, ACD `ACd ; ii) Zéro, ACd `RPN.

i) On suppose ∀nintyX(n,y) ; soitatel queX(0,a). On applique ACD à la formule :

∀m∀x∃n∃y{(n=sm), (int(n)→X(n,y))}. On obtient donc une suite (mi,ui) telle que : (m0,u0)=(0,a),mi+1=smi etX(mi+1,ui+1) pour touti ∈N.

On a donc mi =i, d’où X(i,ui) pour touti∈N.

ii) SoitX un prédicat unaire ; on applique ACd à la formule :

ninty{(Xny=0), (¬Xny=1)}. On obtient doncuPtel que∀nint(Xnun=0), d’où ∀nint(Xnnεζ(u)).

C.Q.F.D.

La condition de chaîne dénombrable décroissante (CCD)

CCD est la formule : ∀u(∀nintC[un],∀nint(un+1un)→ ∃p{C[p],∀nint(pvun)}) ; c’est-à-dire :

Toute suite décroissante pourd’éléments de C a un minorant dans C pour v. Théorème 13. SiM |=ACD et si la CCD est vérifiée dansM, alorsN |=ACD.

Autrement dit : ACD, CCD `(1||− ACD).

(7)

On montre 1||−ACD dansM. Soient donca,pP etX+un prédicat ternaire deM. On suppose p||− ∀x∃yX(x,y) et on montre p||− ∃u{u0 = a,∀nintX(un,un+1)}, en appli- quant le lemme 6. Soit donc p0p tel que C[p0]. On a ∀x(p0||− ∃yX(x,y)), c’est-à-dire, d’après le lemme 6 : ∀xq(C[q],qp0→ ∃yr{C[r],r≤q,r ||−X(x,y)}).

En appliquant ACD, on obtient un couple (u,q) tel que (u0,q0)=(a,p0) et :

nint(C[qn],qnp0→C[qn+1]∧(qn+1qn)∧qn+1||−X(un,un+1)).

En appliquant la CCD à la suiteqn, on obtient une conditionqvqnp0, telle queC[q].

On a donc ∀nint(q ||−X(un,un+1)) et donc q||− ∀nintX(un,un+1), d’après le lemme 5(ii).

C.Q.F.D.

Théorème 14(Conservation des réels).

SiM |=ACD et si la CCD est vérifiée dansM, alorsN |=RP N . Tout ensemble d’entiers qui est dansN est donc déjà dansM. Corollaire des théorèmes 12 et 13.

C.Q.F.D.

Un ultrafiltre surN

Dans cet exemple et le suivant, le modèle de baseM aP(N) comme ensemble d’individus.

On pose doncE=N.

Pourp,qP=P(N), on posepq=pq et 1=N;C[p] est la formule ∀iintjint(i+jεp) c’est-à-dire : p est une partie infinie deN. Donc pqpq et pvq≡(p\q est fini).

Lemme 15. La condition de chaîne dénombrable décroissante est vérifiée.

Soitpnune suite décroissante pour⊂telle queC[pn]. On définit f :N→Nen posant : f(i)=le premier jεpi,j >i; on désigne parpl’image de f. Alorspest évidemment infini, d’oùC[p]. De plus,p\pi est fini, car ⊂{f(0), . . . ,f(i−1)}. On a doncpvpi pour touti∈N.

C.Q.F.D.

Un génériqueG est, dansN , un ultrafiltre non trivial sur l’ensemble des parties deN qui sont représentées par des individus. Mais, d’après le lemme 15 et le théorème 14, toute partie deNest, dans le modèleN, représentée par un individu. DoncN satisfait la formule : Il existe un ultrafiltre non trivial surN. On a montré le

Théorème 16. Soit F une formule de l’arithmétique du second ordre, démontrable en arith- métique du 3ème ordre avec les axiomes : ACD et l’existence d’un ultrafiltre surN. Alors F est démontrable avec l’arithmétique du 3ème ordre et ACD.

Exercice.Montrer que le génériqueG est, dansN , un ultrafiltresélectif, c’est-à-dire :

pour toute fonctionf :N→N, il existe un élément de l’ultrafiltre sur lequel f est, soit cons- tante, soit strictement croissante.

Indication.Noter d’abord que la fonctionf est dansM; et ensuite que les parties infinies deN, sur lesquellesf est, soit bornée, soit strictement croissante, forment une partie dense de C.

Remarque.L’existence d’un ultrafiltre sélectif est conséquence de l’hypothèse du continu, mais pas de l’axiome du choix.

(8)

L’hypothèse du continu

SoitU l’ensemble des couples (u,v) où uest une partie dénombrable ou finie deP(N) et v un bon ordre suru. On se fixe une bijection ϕ:P(N)→U+, oùU+est obtenu en ajou- tant un élément0àU. Cela va permettre de définir la structure de forcing (C,,1) surU+ d’abord, puis de la transporter surP=P(N) par la bijectionϕ. On utilisera les mêmes sym- bolesC,,1, . . . surU et surP, ce qui ne devrait pas entrainer de confusion.

U est un arbre pour la relation d’ordre :

(u,v)≤(u0,v0) ⇔ (u0,v0) est un segment initial de (u,v) (on a donc (u,v)≤(u0,v0)⇒u0u).

On pose 1=(;,;) ; ⊥⊥ ={0} ; pour (u,v), (u0,v0)∈U, on pose (u,v)(u0,v0)=0 sauf si : ou bien (u,v)≤(u0,v0), et alors (u,v)(u0,v0)=(u,v),

ou bien (u0,v0)≤(u,v), et alors (u,v)(u0,v0)=(u0,v0).

On vérifie facilement la condition de chaîne dénombrable décroissante.

SoitG ⊂P un générique ; alors la réunionG des éléments deϕ(G) est une partie deP(N) munie d’un bon ordre dont tous les segments initiaux sont dénombrables.

Soita∈P(N) ; alors {(u,v)∈U;au} est dense : en effet, si on aC(u,v) et siau, on pose u0=u∪{a} et on prolonge le bon ordre v env0de façon que a soit le plus grand élément deu0; on a alors (u0,v0)≤(u,v).

Il en résulte que toute partie deN, qui est représentée par un individu, est élément deG.

D’après le lemme 15 et le théorème 14,Gest donc, dansN , l’ensemble detoutesles parties deN. Dans le modèleN , il existe donc un bon ordre surP(N), dont tout segment initial est dénombrable. On a montré :

Théorème 17. S’il existe un modèle de l’arithmétique du 3ème ordre qui satisfait ACD, alors il en existe un qui satisfait « il existe, sur P(N), un bon ordre dont tout segment initial est dénombrable » (hypothèse du continu).

Théorème 18. Soit F une formule de l’arithmétique du second ordre, démontrable en arith- métique du 3ème ordre avec l’hypothèse du continu. Alors F est démontrable avec l’arithmé- tique du 3ème ordre et ACD.

On raisonne par l’absurde, en considérant un modèleM de l’arithmétique du 3ème ordre, qui satisfait ACD +¬F. La formuleF est une formuledu premier ordre, suivant notre défini- tion. Par suite, le modèleN satisfait aussi¬F; cela contredit l’hypothèse, puisqu’il satisfait également l’arithmétique du 3ème ordre et l’hypothèse du continu.

C.Q.F.D.

La condition d’antichaîne dénombrable (CAD)

Ordinaux dénombrables

On définit les formules suivantes, oùX,X0sont des variables de prédicat binaire :

• BN(X) (lire“X est un bon ordre surN”) est le triplet de formules :

U[∀x(y(X(y,x)U y)→U x)→ ∀x U x] ;

mn(X(m,n)→int(m)∧int(n)) ;∀mintnint(X(m,n)X(n,m)m=n) ;

(9)

Elles expriment queX est une relation binaire bien fondée, contenue dansN2et totale.

LorsqueX(m,n) est de la forme (m,n)εu, on écrira BN(u) au lieu de BN(X).

X 'X0 (lire X est isomorphe à X0) est la formule :

F{Perm(F),∀mnm0n0(F(m,m0),F(n,n0)→(X(m,n)↔X0(m0,n0)))}

où Perm(F) (lire “F est une permutation de N”) est formé des trois formules :

∀m∀n(F(m,n)→int(m)∧int(n)) ; ∀mint∃!n F(m,n) ; ∀nint∃!m F(m,n).

LorsqueX(m,n) est de la forme (m,n)εu, on écrirau'X0au lieu deX 'X0. Si, de plus,X0(m0,n0) est de la forme (m0,n0)εu0, on écrirau'u0au lieu deX 'X0. L’axiome OD desordinaux dénombrablesest la formule :

∃U(∀v(BN(v)→ ∃!u{U u,u'v}).

Le prédicat unaireU choisit donc un représentant de chacun des bons ordres surNqui sont représentés par des individus.

Quand cet axiome est satisfait, on fixe un tel prédicat unaire noté Od, dont les éléments sont appelésordinaux dénombrables.

Dans la suite, on suppose que le modèle de baseM satisfait l’axiome du choix et donc, en particulier, cet axiome OD.

Tout modèle génériqueN satisfait alors aussi OD.

En effet,N contientM et a les mêmes individus queM. De plus, toute relation binaire sur les individus qui est un bon ordre dansM est aussi un bon ordre dansN (théorème 11).

L’axiome suivant, noté RBN, est appeléreprésentation des bons ordres surN:

X(BN(X)→ ∃u(X 'u)).

Cet axiome exprime quetout bon ordre surNest représenté par un individu.

Il est évidemment conséquence deRP N.

Les axiomes OD + RBN signifient donc :

Tout bon ordre surNest isomorphe à un ordinal dénombrable et un seul.

La condition d’antichaîne dénombrableest la formule, notée CAD :

X(Atch(X)→ ∃uv(X v→ ∃nint(v=un))

où Atch(X) (lire“X est une antichaîne”) est formé des deux formules :

u(X u→C[u]) ;∀uv(X u,X v→ ⊥⊥(uv)).

Théorème 19(Conservation des bons ordres surN).

Si la CAD est vérifiée dansM, alorsN |=RB N .

Tout bon ordre sur Nqui est dansN est donc isomorphe (dansN ) à un bon ordre sur N qui est dansM.

SoitB un prédicat binaire qui est un bon ordre surNdansN et n’est pas représenté par un individu. On peut supposer que ce bon ordre est minimum, c’est-à-dire que tout segment initial propreBn={m∈N; B(m,n)} est représenté par un individu, donc par un ordinalun puisqueN |=OD. La fonctionn7→unest un prédicat binaireF deN .

Il existe donc une conditionp0∈Gtelle que p0||− “F est une application deNdansOd ”.

Pour chaquen ∈N, soitEn ={u;Od(u), (pp0){C[p],p||−F(n,u)}}. L’application n7→En est définie dansM etEnest dénombrable pour chaquenEn:

en effet, sip,p0p0,u6=u0,p||−F(n,u),p0||−F(n,u0), alorsp,p0sont incompatibles, d’où le résultat, d’après la CAD.

DoncS

n∈NEnest majoré dansOd par un ordinal dénombrableα.F est alors, dansN , une

(10)

application deNdansα, donc sa borne supérieureβest≤α. DoncBest isomorphe à l’ordi- nal dénombrableβ, contrairement à l’hypothèse.

C.Q.F.D.

Un exemple essentiel de CAD

L’ensemble des conditions (c’est-à-dire des individus) estP(A×{0, 1}) oùAest un ensemble qu’on précisera plus loin. On a donc posé E=A×{0, 1}.

On ajoute au langage deux prédicats unaires A0,A1 qu’on interprète respectivement dans M parA×{0} etA×{1} ; et aussi un symbole de fonction unairei qu’on interprète comme la bijection canonique deA×{0} surA×{1}. On a donc les axiomes :

x(A0x↔ ¬A1x) ;x(i(i(x)=x) ;x(A0xA1i(x)) ;∀x(A1xA0i(x)).

L’ensembleC des conditions non triviales est l’ensemble des partiesfiniesde A×{0, 1}qui sont des fonctions. Autrement dit, sipest une partie finie deA×{0, 1}, on a :

C[p]⇔(∀x∈A)∀δ∀δ0((x,δ)∈p, (x,δ0)∈pδ=δ0).

Soientp,q∈P(A×{0, 1}) deux conditions. On posepq=pq.

Théorème 20. La CAD est satisfaite.

SoitV ⊂Cune antichaîne dont tous les éléments sont des parties ànéléments deA×{0, 1}.

On montre, par récurrence surn, queV est finie. C’est évident sin=0. On suppose donc que n=m+1 et on choisitp={(a1,δ1), . . . , (an,δn)}∈V.

SoitVi={q∈V ; (ai, 1−δi)∈q}. On a alorsV ={p}∪V1∪. . .∪Vnet il suffit donc de montrer queVi est fini pour chaquei ∈{1, . . . ,n}.

Or, si on retire (ai, 1−δi) à chaque élément deVi, on obtient une antichaîne à laquelle on peut appliquer l’hypothèse de récurrence.

C.Q.F.D.

SoitG un générique ; alors ρG =S

p∈Gp est une partie deA×{0, 1}, qui est une application deAdans {0, 1} (exercice).

Noter queρG détermineG, puisqueGest l’ensemble des parties finies deρG (exercice).

Réels de Cohen

On prendA=N, doncE=N×{0, 1} ; on note que l’ensembleCdes conditions non triviales est dénombrable, donc la CAD est évidemment satisfaite, sans même utiliser le théorème 20.

SoitG un générique ; alors, on a vu que ρG =S

p∈Gpest une partie deN×{0, 1}, qui est une application deNdans {0, 1}.

On peut donc considérerρG comme une partie deN, qui est dansN ; on l’appelle unréel de CohensurM.

Lemme 21. Soit DG={p;C[p],p est incompatible avec un élément deG}; alors DG est une partie dense deC.

En effet, sipest une condition non triviale, soitn∈Ntel que (n, 0), (n, 1)∉p. On a (n,δ)∈ρG

et on poseq=p∪{(n, 1−δ)}. Alors, on aC[q],qpetqest incompatible avec {(n,δ)}∈G.

C.Q.F.D.

(11)

Théorème 22. Un réel de Cohen surM ne peut être dansM.

Supposons queρGsoit dansM ; d’après le lemme 21,DG est alors une partie dense deCqui est dansM, doncG∩DG6= ;. Soitp∈G∩DG; puisquepDG,pest incompatible avec un élément deG, ce qui contreditp∈G.

C.Q.F.D.

L’adjonction d’un réel de Cohen permet donc d’obtenir un modèleN qui contientM, qui a les mêmes individus etles mêmes bons ordres dénombrableset qui contient un nouveau réel.

Négation de l’hypothèse du continu

On prend A=N×B; pour chaquen∈Netβ∈B, on pose : fβ(n)=δ⇔(n,β,δ)∈G.

fβest alors une application deNdans {0, 1} c’est-à-dire un réel deN. Donc f est, dansN , une application deBdansP(N).

Lemme 23. f est, dansN , une injection deBdansP(N).

Soientβ,β0∈B, avecβ6=β0. On poseD={p;C[p], (∃n∈N)((n,β, 0)p∧(n,β0, 1)∈p)}.

AlorsDest une partie dense deC, qui est dansM : en effet, sipest une condition non triviale, il suffit de choisirn∈Nqui n’apparait pas danspet de poserq=p∪{(n,β, 0), (n,β0, 1)}.

Il en résulte queG∩D6= ;, ce qui montre qu’il existe un entierntel quefβ(n)=0 etfβ0(n)=1, donc quefβ6=fβ0.

C.Q.F.D.

On rappelle queP =P(A×{0, 1}) est l’ensemble des individus (ou conditions) des modèles M etN . On a alors :

Lemme 24. Soient U,V deux parties infinies de P qui sont dansM. S’il existe, dansN , une surjection de U sur V , alors il en existe une dansM.

SoitF une relation binaire fonctionnelle qui est, dansN, une surjection deUsurV. Il existe doncp0∈Gtel que :

p0||− ∀u∀v∀w(F(u,v),F(u,w)→v=w) ; p0||− ∀v(V v→ ∃u{U u,F(u,v)}).

Pour chaqueuU, on poseEu={v; (∃qp0){C[q],q||−F(u,v)}}.

Euest dénombrable pour chaque uU.

En effet,uU étant fixé, on choisit pour chaque vEu, une condition qvp0 telle que C[qv] etqv ||−F(u,v). On obtient ainsi une antichaîne dansC:

si qv ||−F(u,v),qw ||−F(u,w) etv6=w, on a qvqw ||−F(u,v),F(u,w),v6=w et aussi

qvqw||−F(u,v),F(u,w)v =w puisqueqvqwp0. Donc qvqw ||− ⊥, ce qui veut dire queqv etqw sont incompatibles.

Or, cette antichaîne est définie dansM, donc est dénombrable.Eul’est donc aussi puisque, comme on vient de le montrer, l’applicationv7→qvest injective.

V ⊂ [

u∈U

Eu.

Soit en effet v0V ; on a donc1||−V v0, doncp0||− ∃u{U u,F(u,v0)}. Commep0∈G, cette

(12)

formule est vraie dans N et il existe donc u0U tel que N |=F(u0,v0). Il existe donc q∈G,qp0tel queq ||−F(u0,v0), ce qui montre quev0Eu0.

C.Q.F.D.

On prend maintenant B=P(P(N)). Il existe donc, dansM, deux ensembles B0⊂B1⊂Boù B0est dénombrable etB1est équipotent àP(N). Il n’existe, dansM aucune surjection deB0

surB1, ni deB1surB. Il n’y en a donc pas non plus dansN.

Or, dansN, il existe une injection f deBdansP(N). On a donc, dansN trois sous-ensem- bles infinis deP(N) :f(B0)⊂f(B1)⊂f(B) qui sont de cardinaux différents.

L’hypothèse du continu est donc fausse dansN.

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