UNE RELATION ANGULAIRE

(1)

UNE RELATION ANGULAIRE

Jean-Louis AYME ¹

A

B C

I

P 0

D D

(<B - <C) = 2.<IDA

Résumé. L'auteur présente l'étude d'un problème ardu où l'apprentissage et l'approfondissement se relayent subtilement pour le résoudre dans un premier temps et le solutionner dans un second temps.

Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.

Abstract. The author presents the study of a difficult problem where learning and deepening take turns subtly to solve it.

The figures are all in general position and all cited theorems can all be demonstrated synthetically.

1 St-Denis, Île de la Réunion (Océan Indien, France), le 30/09/2018 ; jeanlouisayme@yahoo.fr Sommaire

1. Quatre points cocycliques 3

2. Deux perpendiculaires 5

3. Deux perpendiculaires 8

4. Quatre points cocycliques 11 5. Une tangente remarquable 13 6. Une relation angulaire remarquable 15

Lexique Français-Anglais

(2)

PROBLÈME 1 ²

QUATRE POINTS COCYCLIQUES

VISION

Figure :

A

B C

I

Q

0

A- V U

Traits : ABC un triangle,

0 le cercle circonscrit à ABC, A- le second A-perpoint de ABC, I le centre de ABC,

Q le point d'intersection de la perpendiculaire à (BC) issue de I avec 0 et U, V les points d'intersection de (A-A), (A-Q) avec (BC).

Donné : A, U, Q et V sont cocycliques.

VISUALISATION

2 Ayme J.-L., Four concyclic points, AoPS du 01/10/2018 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1715852_four_concyclic_points_1

(3)

A

B C

I

Q

0

A- V U

Ta-

• Scolie : A, I, U et A- sont alignés.

• Notons Ta- la tangente à 0 en A-.

• Scolie : Ta- // (BC) i.e. (UV).

• Conclusion : le cercle 0, les points de base A et Q, les moniennes naissantes (A-AU) et (A-QV), les parallèles Ta- et (UV), conduisent au théorème 1'' de Reim ;

en conséquence, A, U, Q et V sont cocycliques.

(4)

PROBLÈME 2 ³

DEUX PERPENDICULAIRES

VISION

Figure :

A

B C

I

D

O T

A-

0

0 le cercle circonscrit à ABC, O le centre de 0,

I le centre de ABC,

D le pied de la perpendiculaire à (BC) issue de I, A- le second A-perpoint de ABC

et T le second point d'intersection de (A-D) avec 0.

Donné : (TA) est perpendiculaire à (TI).

VISUALISATION

3 Perpendicular lines, AoPS du 15/02/2018 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1591917_perpendicular_lines

(5)

A

B C

I

D

O T

A-

0

X

2

Ta-

• Notons X le point d'intersection de la parallèle à (BC) issue de I avec (A-T) et Ta- la tangente à 0 en A-.

• Scolies : (1) A, I et A- sont alignés

(2) Ta-, (BC) et (XI) sont parallèles entre elles.

• Le cercle 0, les points de base T et A, les moniennes naissantes (A-TX) et (A-AI), les parallèles Ta- et (XI), conduisent au théorème 1'' de Reim ;

en conséquence, T, A, I et X sont cocycliques.

• Notons 2 ce cercle.

(6)

A

B C

I

D

O T

A-

0

X

2

Ta-

Ia L

• Notons Ia le A-excentre de ABC

et L le point d’intersection de (AI) et (BC).

• Scolie : le quaterne (A, L, I, Ia) est harmonique.

• D'après Jean Mention ⁴, A- est le milieu de [IIa].

• D'après Colin MacLaurin, A-I² = A-A.A-L

• A-, D et X étant alignés ⁵, (AX) // (ID) ; nous savons que (ID) ⊥^{(IX) ;} en conséquences, (1) (AX)⊥^(IX)

(2) [AI] est un diamètre de 2.

• Conclusion : (TA) est perpendiculaire à (TI).

4 Mention J., Nouvelles Annales (1850) 324; The Mathematical Monthly (1859)

Midpoint, AoPS du 08/09/2012 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=497704

5 Ayme J.-L., La tangente de Feuerbach, G.G.G. vol. 13, p. 8 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

(7)

PROBLÈME 3 ⁶

DEUX PERPENDICULAIRES

VISION

Figure :

A

B C

I

Q

0

A- V

0 le cercle circonscrit à ABC, A- le second A-perpoint de ABC, I le centre de ABC,

Q le point d'intersection de la perpendiculaire à (BC) issue de I avec 0 et V le point d'intersection de (MQ) et (BC).

Donné : (VI) et perpendiculaire à (AQ).

VISUALISATION

6 Two perpendicular lines, AoPS du 25/05/2018 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1648582_two_perpendicular_lines

(8)

A

B C

I

Q

0

A-

V D

1 T

Ta-

• Notons Ta- la tangente à 0 en A-.

D le point d'intersection de (IQ) et (BC),

et T le second point d'intersection de (A-D) avec 0.

• Scolie : Ta- // (BC) i.e. (DV).

• Le cercle 0, les points de base T et Q, les moniennes naissantes (A-TD) et (A-QV), les parallèles Ta- et (DV), conduisent au théorème 1'' de Reim ; en conséquence, T, D, Q et V sont cocycliques.

• Notons 1 ce cercle ; il a pour diamètre [VQ].

A

B C

I

Q

0

A-

V D

1 T

2

F

Ta-

• Notons 2 le cercle passant par A, I, T

et F le second point d'intersection de 1 et 2.

• D'après Auguste Miquel ''Le théorème des trois cercle concourants'' ⁷

appliqué au triangle IA-V et à 2, 0 et 1 concourants en T, I, F et V sont alignés.

7 Ayme J.-L., Auguste Miquel, G.G.G. vol. 13, p. 4-6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

(9)

• D'après Thalès de Milet ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', (FQ)⊥^(VF).

A

B C

I

Q

0

A-

V D

1 T

2

F

Ta-

• D'après Problème 2, (TI)⊥^{(TA) ;}

par ‘''Angles inscrits'', (FI) ⊥(FA) ou encore (VF)⊥^{(FA) ;}

d'après l'axiome IVa des perpendiculaires, (FQ) // (FA) ;

d'après le postulat d'Euclide, (FQ) = (FA).

• Conclusion : (VI) et perpendiculaire à (AQ).

(10)

PROBLÈME 4 ⁸

QUATRE POINTS COCYCLIQUES

VISION

Figure :

A

B C

I P

Q

0

D E

0 le cercle circonscrit à ABC, I le centre de ABC,

P, Q les points d'intersection de la perpendiculaire à (BC) issue de I avec 0 et D, E les points d'intersection de (AP), (AQ) avec (BC).

Donné : I, A, D et E sont cocycliques.

VISUALISATION

A

B C

I

Q

0

A- V U

1

E

8 Geometry, AoPS du 27/09/2017 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1519616_geometry

(11)

• D'après Problème 1, A, U, Q et V sont cocycliques.

• D'après Problème 3, (VI)⊥^(AQ).

• D'après Archimède de Syracuse ''Orthocentre'' ⁹, R est l'orthocentre du triangle IVQ.

• Conclusion partielle : (IE)⊥^(VQ).

A

B C

I

Q

0

A- V U

E P

D 3

• Une chasse angulaire :

* par ''Angles inscrits'', <A-AP = <A-QP

* par ''Angles à côtés perpendiculaires'', <A-QP = <IEV

* par transitivité de =, <A-AP = <IEV

* par supplémentarité, <DAE = <UEI.

• Conclusion : I, A, D et E sont cocycliques.

9 Archimède, Scolies, lemme 5

Heath T. L., Works of Archimedes, Cambridge (1897) Lemmas 5

(12)

PROBLÈME 5 ¹⁰

UNE TANGENTE REMARQUABLE

VISION

Figure :

A

B C

I P

Q

0

D E

0 le cercle circonscrit à ABC, I le centre de ABC,

P, Q les points d'intersection de la perpendiculaire à (BC) issue de I avec 0, D, E les points d'intersection de (AP), (AQ) avec (BC)

et 3 le cercle circonscrit au triangle AIE.

Donné : (PQ) est tangente à 3 en I.

VISUALISATION

A

B C

I P

Q

0

D E

3

• D'après Problème 4, 3 passe par D.

10 Incircle ...., AoPS du 08/11/2017 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1541848_incircle_

Need more solutions, AoPS du 27/09/2018 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1714073_need_more_solutions

(13)

A

B C

I P

Q

0

D E

R F

3

• Notons R le second point s’intersection de 0 avec 3, et F le second point d’intersection de (QR) avec 3.

• Les cercles 3 et 0, les points de base A et R, les moniennes (DAP) et (FRQ), conduisent au théorème 0 de Reim ; il s'en suit que (DF) // (PQ) ;

par hypothèse, (PQ) ⊥^(DE)

en conséquence, (DF) ⊥^(DE).

• D'après Thalès de Milet ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'',

[EF] étant un diamètre de 3, (AF) ⊥^(AEQ).

• Conclusion partielle : (QRF) étant une R-monienne de 0 et 3, 3 est orthogonal à 0.

A

B C

I P

Q

0

D E

A- Ta-

R J

3

• Notons A- le second A-perpoint de ABC Ta- la tangente à 0 en A-

et J le second point d'intersection de (A-R) avec 3.

• Les cercles 3 et 0, les points de base A et R, les moniennes (IAA-) et (JRA-), conduisent au théorème 0 de Reim ; il s'en suit que (IJ) // Ta-

• Scolie : Ta-, (BC) et (IJ) sont parallèles entre elles.

• 3 étant orthogonal à 0, (AJ)⊥^{(AIA-) ;}

en conséquence, [IJ] est un diamètre de 3.

(14)

A

B C

I P

Q

0

D E

A- Ta-

R J

3

Ti

• Notons Ti la tangente à 3 en I.

• Nous avons Ti ⊥^(IJ)

et (IJ) // (BC) ;

en conséquence, Ti ⊥^{(BC) ;}

par hypothèse (BC)⊥^{(PIQ) ;}

d'après l'axiome IVa des perpendiculaires, Ti // (PIQ) ; d'après le postulat d'Euclide, Ti = (PIQ).

• Conclusion : (PQ) est tangente à 3 en I.

(15)

PROBLÈME 6 ¹¹

UNE RELATION ANGULAIRE REMARQUABLE

VISION

Figure :

A

B C

I

P 0

D D

Traits : ABC un triangle tel que AB < AC, 0 le cercle circonscrit à ABC, I le centre de ABC,

P le point d'intersection de la perpendiculaire à (BC) issue de I avec 0 et D le point d'intersection de (AP) et (BC)

Donné : <CBA - <ACB = 2.<IDA.

VISUALISATION

A

B C

I P

Q

0

D E

3

• Notons Q le second point d'intersection de (IP) avec 0

11 Nice geometry, AoPS du 25/10/2017 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h1534476p9257282

(16)

et E le point d'intersection de (AQ) et (BC).

• D'après Problème 4, A, I, E et D sont cocycliques

• D'après Problème 5, (PQ) est tangente à 3 en I.

A

B C

I O

P

Q

0

D E

M

A- Ta-

R J

3

A+

• Notons R le second point d'intersection de 0 avec 3, A+, A- les premier, second A-perpoint de ABC, J le second point d'intersection de (A-R) avec 3,

M le milieu de [IJ]

et O le centre de 0.

• D'après Problème 5, 3 étant orthogonal à 0, (1) <MAO est droit (2) (JA) passe par A+

(3) (IJ)⊥^(A+OA-).

• Une première chasse angulaire :

* par ''Angles inscrits'', <IDA = <IJA

* par ''Angles au centre et inscrit'', 2.<IJA = <IMA

* par ''Angles à côtés perpendiculaires'', <IMA = <A+OA

* par multiplication par 2 et transitivité de =, 2.<IDA = <A+OA.

(17)

A

B C

I O

P

Q

0

D E

3

C-

B-

A- A+

• Notons A-B-C- le triangle I-circumcévien de ABC.

• Scolies : (1) (AA+) // (B-C-)

(2) (BI) ⊥^(A-C-)¹² (3) (CI) ⊥^(A-B-).

• Une seconde chasse angulaire :

* par ''Angles à côtés perpendiculaires'', <CBI = <A+A-C-

<ICB = <B-A-A+

* le trapèze cyclique AC-B-A+ étant isocèle, <B-A-A+ = <AA-C-

* par soustraction, <CBI - <ICB = <A+A-A

* par ''Angles au centre et inscrit'', 2.<A+A-A = <A+OA

* par multiplication par 2 et transitivité de =, 2.(<CBI - <ICB) = <A+OA

* par développement et simplification, <CBA - <ACB = <A+OA

• Conclusion : par substitution, <CBA - <ACB = 2.<IDA

12 a geometry problem, AoPS du 18/09/2016 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1307444_a_geometry_problem

(18)

LEXIQUE FRANÇAIS - ANGLAIS

A

aligné collinear

annexe annex

axiome axiom

appendice appendix

adjoint associate

a propos by the way btw

acutangle acute angle

axiome axiom

B

bissectrice bisector

bande strip

C

centre incenter

centre du cercle circonscrit circumcenter cercle circonscrit circumcircle

cévienne cevian

colinéaire collinear

concourance concurrence

coincide coincide

confondu coincident

côté side

par conséquence consequently

commentaire comment

D

d'après according to

donc therefore

droite line

d'où hence

distinct de different from

E

extérieur external

F

figure figure

H

hauteur altitude

hypothèse hypothesis

I

intérieur internal

identique identical

i.e. namely

incidence incidence

L

lemme lemma

lisibilité legibility

M

mediane median

médiatrice perpendicular bissector

milieu midpoint

N

Notons name

nécessaire necessary

note historique historic note

O

orthocentre orthocenter

ou encore otherwise

P

parallèle parallel

parallèles entre elles parallel to each other

parallélogramme parallelogram

pédal pedal

perpendiculaire perpendicular

pied foot

point de vue point of view

postulat postulate

point point

pour tout for any

Q

quadrilatère quadrilateral

R

remerciements thanks

reconnaissance acknowledgement

respectivement respectively

rapport ratio

répertorier to index

S

semblable similar

sens clockwise in this

order

segment segment

Sommaire summary

symédiane symmedian

suffisante sufficient

sommet (s) vertex (vertice)

T

trapèze trapezium

tel que such as

théorème theorem

triangle triangle

triangle de contact contact triangle triangle rectangle right-angle triangle