Camion en perdition – Fuite de gazole
Problème
Un camion part pour sa livraison à 8 h.
Il constate une consommation anormale de gazole à 10 h. Il ne lui reste plus que 20 litres.
Il décide de faire demi-tour, mais n'arrive pas à rejoindre son dépôt.
À 10h 20 c'est la panne sèche.
Sa consommation est constante et la fuite est régulière.
Quel est la capacité du réservoir du camion?
Solution
Après demi-tour, la consommation et la fuite consomment le total des 20 litres qui restaient dans le réservoir, et cela en 20 minutes. Soit 1 litre par minute.
Durant la première partie du trajet qui dure 120 minutes, il consomme (moteur + fuite): 120 x 1 = 120 litres.
La capacité du réservoir, égale à la totalité de la consommation, vaut:
C = 20 + 120 = 140 litres.
Problème
Une cuve et trois robinets. Avec le Gros robinet la cuve se vide en 1 heure;
avec le Moyen en 2 heures et avec le Petit, il faut 5 heures. Les trois robinets sont ouverts, combien de temps faudra-t-il pour viser la cuve?
La méthode de la fausse position
Problème
Une cuve et trois robinets. Avec le Gros robinet la cuve se vide en 1 heure; avec le Moyen en 2 heures et avec le Petit, il faut 5 heures. Les trois robinets sont ouverts, combien de temps faudra-t-il pour viser la cuve?
La méthode de la fausse position consiste à deviner la réponse, même si elle est fausse. Le raisonnement permettra de corriger. Cette méthode était couramment utilisée avant le développement de l'algèbre.
Méthode classique Méthode de la fausse position
V = volume de la cuve.
G, M, P = débits des robinets.
T = durée de vidange de la cuve avec les trois robinets ouverts.
Soit 0,588 x 60 = 35,29 minutes = 35 min 17,64 s
Hypothèse (fausse sans doute): T = 10 h Avec G, la cuve se viderait 10 fois;
Avec M, elle se viderait 5 fois;
Avec P, ce serait 2 fois.
Avec les trois, en 10 h, elle se viderait 17 fois.
Règle de trois:
Elle se vide en 10/17 heures.
Problème
Un étang est alimenté par trois rivières R1, R2 et R3.
Combien de temps faut-il aux trois rivières pour remplir l'étang?
Les trois rivières
Problème
Un étang est alimenté par trois rivières R1, R2 et R3.
Combien de temps faut-il aux trois rivières pour remplir l'étang?.
Seule, chaque rivière remplirait l'étang en:
R1 => 1 jour R2 => 2 jours R3 => 3 jours
Solution
La valeur constante ici est le volume du bassin.
Ce qui est spécifique c'est le débit de chaque rivière et la durée du remplissage.
Si le débit de la première rivière était de 1 m3 par heure Sur une durée de 1 jour (24h), il s'écoule 24 m3 qui serait la contenance (le volume) de l'étang.
Autrement dit la formule est bien:
V = d x T (Volume = débit x temps)
Si deux rivières coulent ensemble, l'une avec un débit de 1 m3 par heure et l'autre 2 m3 par heure. Au bout d'une heure, ensemble elles auront versées 1 + 2 = 3 m3 d'eau, soit un débit équivalent à 3 m3 par heure. Les débits s'ajoutent:
V = (d1 + d2) x T
Formule appliquée dans les trois cas connus:
et pour celui inconnu, pour lequel les trois rivières sont en action.
V = d1 x 1 jour V = d2 x 2 V = d3 x 3
V = (d1 + d2 + d3) x T
Des trois premières équations, tirons la valeur du débit.
Que nous plaçons dans la quatrième équation.
Et après simplification par V.
Afin d'obtenir la durée demandée:
d1 = V / 1 d2 = V / 2 d3 = V / 3
V = V (1/1 +1/2 + 1/3) T
1 = 1 (6/6 + 3/6 + 2/6) T 1 = 11 / 6 x T
T = 6 / 11 jour ≈ 13,1 heures
Méthode de la fausse position
Hypothèse: 6 jours
Avec R1, l'étang est rempli 6 fois Avec R2, l'étang est rempli 3 fois Avec R3, l'étang est rempli 2 fois Avec les trois, 11 fois en 6 jours Soit une fois en 6/11 jour
Les trois robinets
Problème
Trois robinets et une cuve.
Combien de temps pour remplir la cuve avec les trois à la fois?
On remplit la cuve
en 1h 12 avec le gros et le moyen robinets (72 minutes) en 1h 30 avec le gros et le petit, et
en 2h avec le moyen et le petit.
Méthode de la
fausse position Compte-tenu des trois nombres (72, 90 et 120 minutes), on imagine que la réponse est 360 minutes, le PGCD des trois nombres:
Rappel: on conserve tous les facteurs et on leur attribue l'exposant le plus élevé de tous.
Alors en 320 minutes:
G + M remplissent la cuve 5 fois (5 x 72 = 360);
G + P remplissent la cuve 4 fois (4 x 90 = 360);
M + P remplissent la cuve 3 fois (3 x 120 = 360);
Total de ces débits:
2 (G + M + P) ⇨ 12 fois la cuve en 360 minutes Les trois remplissent la cuve en
360 / (2 x12) = 60 min.
Solution classique
V = D . T
V = (D1 + D2) 72 V = (D1 + D3) 90 V = (D2 + D3) 120
=> D1 + D2 = D.T / 72 (en minutes)
=> D1 + D3 = D.T / 90
=> D2 + D3 = D.T / 120
Calcul
2(D1 + D2 + D3) = D.T (1/72 + 1/90 + 1/120) 2 D = D.T (1/30)
T = 60 min
La réponse est 1 heure. Pas évident tout de suite! Le calcul est un peu long.
Calcul détaillé de la somme des fractions
1 + 1
+ 1
72 90 120
1 + 1
+ 1
6 x 12 6 x 15 6 x 20
15 x 20
+ 12 x 20
+ 12 x 15
6 x 12 x 15 x 20 6 x 12 x 15 x 20 6 x 12 x 15 x 20 On remarque que 3 divise tous les numérateurs, de même que 4 et 5.
Les numérateurs sont divisibles par 3 x 4 x 5 = 60.
Ayant été mis au même dénominateur, on peut les ajouter.
60 (5 x 1 + 4 x 1 + 3 x 1) 6 x 12 x 15 x 20
10 (12) 1 x 12 x 15 x 20
1 15 x 2
1 30
Note: on aurait pu calculer le plus grand commun diviseur (PGCD).
PGCD (72, 90, 120)
72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 90 = 2 x 3 x 5 120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 PGCD = 2 x 3
Pour simplifier les fractions par 6 directement.
(tout en conservant 6 en facteur pour le calcul final).
1 + 1
+ 1
12 15 20
Dans ce cas, on observe que le gain de temps de calcul n'est pas notable.
Gains et Pertes
Problème
Cet ouvrier travaille 20 jours dans le mois.
Il gagne 120€ / jour.
Mais s'il est absent il doit reverser 80 € / jour.
Combien de jours, au moins, doit-il travailler pour ne rien perdre (ne rien devoir au patron)?
Approche du problème
La consigne est
de ne rien perdre en fin de mois. Le pire serait que je sois à gain nul à la fin du mois.
Si je veux
gagner un peu d'argent dans le mois, je ne devrai pas dépasser ce nombre de jours d'absence.
Solution
D'un côté: je
gagne 120 euros par jour pour x jours de travail.
De l'autre: je
perds 80 euros durant les 20 – x jours d'absence.
Cas critique de
l'égalité
gains = 120 J
pertes = 80 (20 – J) 120 J = 1600 – 80 J
Calcul pas à pas
Notes: 120J veut dire 120 multiplié par J; J est une lettre qui remplace la quantité de jours cherchée, valeur inconnue au départ.
En algèbre, l'inconnue est généralement notée "x". Ici, nous évitons pour ne pas confondre avec le signe multiplier (x).
120J + 80J = 1600 – 80J + 80J 200J = 1600
200J / 200 = 1600 / 200 J = 8
Voir Initiation au calcul algébrique
Vérification 8 x 120 = 720 € de gains.
12 x 80 = 720 € de pertes.
