Clˆoture et lemme de l’´etoile

Clˆ oture et lemme de l’´ etoile

Informatique Th´eorique 2 Licence 3 informatique

S´ebastien Verel verel@univ-littoral.fr

http://www-lisic.univ-littoral.fr/~verel

Universit´e du Littoral Cˆote d’Opale Laboratoire LISIC Equipe OSMOSE

Introduction Clˆoture et langages rationnels Lemme de l’´etoile

Objectifs de la s´ eance 05

Connaitre les d´efinitions de clˆoture

Savoir les propri´et´es de clˆoture des langages rationnels Connaitre le lemme de l’´etoile

Savoir que le langage{0ⁿ1ⁿ,n∈IN}n’est pas rationnel Savoir d´emontrer qu’un langage n’est pas rationnel par le lemme de l’´etoile

Savoir d´emontrer qu’un langage n’est pas rationnel en utilisant les propri´et´es de clˆoture

R´eflexion principale du jour :

”- Je suis rationnel, je vous le r´ep`ete ! - Oui r´ep´etez-le que je v´erifie.”

Introduction Clˆoture et langages rationnels Lemme de l’´etoile

Plan

1 Introduction

2 Clˆoture et langages rationnels

3 Lemme de l’´etoile

Introduction Clˆoture et langages rationnels Lemme de l’´etoile

Illustration de clˆ oture

Supposons qu’il existe une op´eration (binaire) entre les ´el´ements d’un ensembleE.

Exemple introductif

Addition sur l’ensemble des entiers pairs.

L’addition de deux entiers pairs, donne-t-il un entier pair ?

Lorsque l’op´eration laisse les ´el´ements dans le mˆeme ensemble, on dit que l’ensemble est clos pour l’op´eration consid´er´ee

E

*

E

*

Clos Non Clos

Introduction Clˆoture et langages rationnels Lemme de l’´etoile

Illustration de clˆ oture

Supposons qu’il existe une op´eration (binaire) entre les ´el´ements d’un ensembleE.

Exemple introductif

Addition sur l’ensemble des entiers pairs.

L’addition de deux entiers pairs, donne-t-il un entier pair ?

Lorsque l’op´eration laisse les ´el´ements dans le mˆeme ensemble, on dit que l’ensemble est clos pour l’op´eration consid´er´ee

E

*

E

*

Clos Non Clos

Introduction Clˆoture et langages rationnels Lemme de l’´etoile

Illustration de clˆ oture

Contre-exemple introductif

Donner un exemple d’ensemble et d’op´eration tels que l’ensemble ne soit pas clos.

Introduction Clˆoture et langages rationnels Lemme de l’´etoile

Int´ erˆ et de la clˆ oture (1)

La propri´et´e de clˆoture est une propri´et´e alg´ebrique ”forte”.

Utilisation de clˆoture

D´efinir par composition :

Au lieu de d´efinir l’´el´ementE directement, on d´efinit des

”sous”-´el´ements et l’op´eration pour obtenirE : E =E₁ opE₂

D´efinition une classe, exempleLR :

”L’ensembleLR est le plus petit ensemble clos par union, concat´enation et ´etoile et qui contient le langage vide et les langages r´eduits `a un seul mot d’une lettre.”

Introduction Clˆoture et langages rationnels Lemme de l’´etoile

D´ efinition langage rationnel (rappel)

Langages rationnels (ou r´eguliers)

L’ensemble des langages rationnelsLR est d´efini par :

base :

∅ ∈LR {} ∈LR

pour touta∈Σ,{a} ∈LR.

induction : SiL∈LR et M ∈LR alors : L∪M∈LR

L.M ∈LR L^∗∈LR.

Introduction Clˆoture et langages rationnels Lemme de l’´etoile

D´ efinition langage rationnel (rappel)

Langages rationnels (ou r´eguliers)

L’ensemble des langages rationnelsLR est d´efini par : base :

∅ ∈LR {} ∈LR

pour touta∈Σ,{a} ∈LR.

induction : SiL∈LR et M ∈LR alors : L∪M∈LR

L.M ∈LR L^∗∈LR.

Introduction Clˆoture et langages rationnels Lemme de l’´etoile

D´ efinition langage rationnel (rappel)

Langages rationnels (ou r´eguliers)

L’ensemble des langages rationnelsLR est d´efini par : base :

∅ ∈LR {} ∈LR

pour touta∈Σ,{a} ∈LR.

induction : SiL∈LR et M ∈LR alors : L∪M∈LR

L.M ∈LR L^∗∈LR.

Introduction Clˆoture et langages rationnels Lemme de l’´etoile

Op´ erations et clˆ oture sur les langages rationnels

R´esultat de clˆoture

L’ensembleLR des langages rationnels est clos : par r´eunion,

par concat´enation par l’op´eration ´etoile ∗.

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Int´ erˆ et de la clˆ oture (2)

La propri´et´e de clˆoture est une propri´et´e alg´ebrique ”forte”.

Utilisation de clˆoture

Montrer qu’un ´el´ement n’appartient pas `a un ensemble : E =E₁ opE₂

Si E₁ ∈Lclos par op et queE 6∈Lalors E₂ 6∈L

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D´ efinitions de clˆ oture

D´efinition : clˆoture fonction unaire

SoientE un ensemble et une application f :E →F.

E est clos par f (ouE est stable parf) ssi∀x∈E,f(x)∈E

D´efinition : clˆoture fonction binaire

SoientE un ensemble et une application f :E×E →F. E est clos par f ssi ∀(x,y)∈E²,f(x,y)∈E

Introduction Clˆoture et langages rationnels Lemme de l’´etoile

Int´ erˆ et de la clˆ oture

La propri´et´e de clˆoture est une propri´et´e alg´ebrique ”forte”.

Utilisation de clˆoture

D´efinir par composition :

Au lieu de d´efinir l’´el´ementE directement, on d´efinit des

”sous”-´el´ements et l’op´eration pour obtenirE : E =E1 opE2

Montrer qu’un ´el´ement n’appartient pas `a un ensemble : E =E₁ opE₂

Si E1 ∈Lclos par op et queE 6∈Lalors E2 6∈L D´efinition une classe, exempleLR :

”L’ensembleLR est le plus petit ensemble clos par union, concat´enation et ´etoile et qui contient le langage vide et les langages r´eduits `a un seul mot d’une lettre.”

Introduction Clˆoture et langages rationnels Lemme de l’´etoile

Ensemble des Langages Rationnels : Clos par compl´ ementation

Compl´ementaire d’un langage rationnel Llangage rationnel sur Σ

⇒

L¯= Σ^∗\Llangage rationnel sur Σ D´emonstration :

L est un langage LR donc il existe un AFD (complet) A= (Q,Σ,T,q0,F) tel queL(A) =L On construit l’automate C suivant :

C = (Q,Σ,T,q₀,Q\F)

Les ´etats finaux deviennent non-finaux et inversement.

Par construction, L(C) = ¯L

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Exemple

cf. Exo 1 fiche 2 :

(a+b+c)^∗b

1 2

a,c b

b a,c

(a+b+c)^∗(a+c)

1 2

a,c b

b a,c

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Ensemble des Langages Rationnels : Clos par intersection

Intersection de langages rationnels

L₁ etL₂ langages rationnels sur Σ

⇒

L₁∩L₂ langage rationnel sur Σ D´emonstration :

Rappel ( ?) loi de De Morgan :L₁∩L₂ =L₁∪L₂

LR clos par compl´ementation, doncL₁ etL₂ sont des langages rationnels,

LR clos par union, donc L1∪L2 est un langage rationnel, LR clos par compl´ementation, doncL1∪L2 =L1∩L2 est un langage rationnel

Introduction Clˆoture et langages rationnels Lemme de l’´etoile

Construction (instructive) de l’intersection

L1 et L2 langages rationnels sur Σ et les AFD tels que : A1 = (Q1,Σ,T1,q1,0,F1) tel queL(A1) =L1

A₂ = (Q₂,Σ,T₂,q_2,0,F₂) tel queL(A₂) =L₂ Automate reconnaissant le langage intersection On d´efinit l’automate suivant :

C = (Q1×Q2,Σ,T_C,[q1,0,q2,0],F1×F2) avec pour tout couple [p,q]∈Q₁×Q₂ et toute lettreσ ∈Σ,

T_C([p,q], σ) = [T₁(p, σ),T₂(q, σ)]

Par construction,L(C) =L1∩L2.

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Exemple

Exercice

A₁ automate qui reconnait (a+b)^∗ab(a+b)^∗ A2 automate qui reconnait (a+b)^∗aa

Puis automate qui reconnaitL(A₁)∩L(A₂)

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Exemple

Exercice

A1 automate qui reconnait (a+b)^∗ab(a+b)^∗ A2 automate qui reconnait (a+b)^∗aa

Puis automate qui reconnaitL(A₁)∩L(A₂)

1 a 2 b 3

a a,b

b

123 a

b

a

b

a b

Introduction Clˆoture et langages rationnels Lemme de l’´etoile

Exemple

Exercice

A₁ automate qui reconnait (a+b)^∗ab(a+b)^∗ A₂ automate qui reconnait (a+b)^∗aa

Puis automate qui reconnaitL(A1)∩L(A2)

1 a 2 b 3

a a,b

b

123 a

b

a

b

a b

a

b b b

b

b

b b

b b

a a

a a

a

a a

a

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Une r´ eflexion

Pour montrer qu’un langage est rationnel :

On peut construire l’automate fini le reconnaissant On peut d´efinir l’expression r´eguli`ere ´equivalente On peut d´ecomposer le langage comme une union, intersection, etc. de langages rationnels.

Comment prouver qu’un langage est non-rationnel ?

On peut utiliser le lemme (th´eor`eme) de l’´etoile... Au fait, pourquoi il existe des langages non-rationnel ?...

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Une r´ eflexion

Pour montrer qu’un langage est rationnel :

On peut construire l’automate fini le reconnaissant On peut d´efinir l’expression r´eguli`ere ´equivalente On peut d´ecomposer le langage comme une union, intersection, etc. de langages rationnels.

Comment prouver qu’un langage est non-rationnel ?

On peut utiliser le lemme (th´eor`eme) de l’´etoile... Au fait, pourquoi il existe des langages non-rationnel ?...

Introduction Clˆoture et langages rationnels Lemme de l’´etoile

Une r´ eflexion

Pour montrer qu’un langage est rationnel :

On peut construire l’automate fini le reconnaissant On peut d´efinir l’expression r´eguli`ere ´equivalente On peut d´ecomposer le langage comme une union, intersection, etc. de langages rationnels.

Comment prouver qu’un langage est non-rationnel ?

On peut utiliser le lemme (th´eor`eme) de l’´etoile...

Au fait, pourquoi il existe des langages non-rationnel ?...

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Une r´ eflexion

Pour montrer qu’un langage est rationnel :

On peut construire l’automate fini le reconnaissant On peut d´efinir l’expression r´eguli`ere ´equivalente On peut d´ecomposer le langage comme une union, intersection, etc. de langages rationnels.

Comment prouver qu’un langage est non-rationnel ?

On peut utiliser le lemme (th´eor`eme) de l’´etoile...

Au fait, pourquoi il existe des langages non-rationnel ?...

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Intuition du th´ eor` eme

Llangage rationnel reconnu par un automate comportant n´etats.

Lors de la lecture d’un mot de longueurm≥n, l’ex´ecution de l’automate passe deux fois par le mˆeme ´etat.

a1 a2 a6 a7

a3 a4

a5

si u=a1a2(a3a4a5)a6a7∈Let|u| ≥nalorsa1a2(a3a4a5)^∗a6a7∈L

Enonc´e intuitif

”Quand un motw a un facteurv de longueur plus grande que le nombre d’´etats de l’automate, la lecture de v boucle forcement quelque part.”

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Enonc´ e

Th´eor`eme de l’´etoile

SiLun langage rationnel, alors il existe un entiern≥1 tel que : pour tout motw deLde longueur≥n,

pour toute factorisation de w enxvy avecv facteur de longueur≥n,

il existe des motsr,s ett tels que : (i) 0<|s| ≤n

(ii) ∀i≥0,xrsⁱty ∈L

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D´ emonstration

A= (Q,Σ,T,q0,F) automate fini d´eterministe `an ´etats tel que L(A) =L.

Soit un mot w =xvy de Lavec|v| ≥n :w =a1a2. . .a|w|

Notons que T^∗(q0,a1a2. . .a|w|)∈F

La lecture de w passe forcement 2 fois par un mˆeme ´etat q ∈Q

Il existe 2 indices de lettre j et k avecj <k,|x|<j ≤ |xv|,

|x|<k ≤ |xv|tels que :

q =T^∗(q₀,a₁a₂. . .a_j) =T^∗(q₀,a₁a₂. . .a_k) Posons :

xr =a₁a₂. . .a_j s=a_j+1a₂. . .a_k ty =a_k+1a₂. . .a_|w|

Alors pour tout i ≥0,xrsⁱty ∈L

j <k donc |s|>0. En prenant j et k minimaux,|s| ≤n

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Mister Big example (` a retenir par tous les moyens !)

Le langageL={0ⁿ1ⁿ |n≥0}n’est pas rationnel.

D´emonstration :

Supposons Lrationnel.

Alors Lv´erifie le th´eor`eme de l’´etoile et il existen≥1 v´erifiant les conditions du th´eor`eme.

Soit lew = 0ⁿ1ⁿ∈Lde longueur 2n >n.

Soit la factorisationw =xvy avecx =,v = 0ⁿ et y = 1ⁿ. Notons que |v| ≥n.

Montrons que pour toute factorisation de v =rst avec 0<|s| ≤n, il existe un entier i ≥0 telsxrsⁱty 6∈L.

r = 0^k,s= 0^k0 ett= 0^k00 aveck+k⁰+k⁰⁰=netk⁰>0. Pouri = 0,xrty = 0^k+k001ⁿ6∈Lcark+k⁰⁰<n

Contradiction avec le r´esultat du th´eor`eme, donc Ln’est pas un langage rationnel.

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Mister Big example (` a retenir par tous les moyens !)

Le langageL={0ⁿ1ⁿ |n≥0}n’est pas rationnel.

D´emonstration :

Supposons Lrationnel.

Alors Lv´erifie le th´eor`eme de l’´etoile et il existe n≥1 v´erifiant les conditions du th´eor`eme.

Soit lew = 0ⁿ1ⁿ∈Lde longueur 2n >n.

Soit la factorisationw =xvy avecx =,v = 0ⁿ et y = 1ⁿ. Notons que |v| ≥n.

Montrons que pour toute factorisation de v =rst avec 0<|s| ≤n, il existe un entier i ≥0 telsxrsⁱty 6∈L.

r = 0^k,s= 0^k0 ett= 0^k00 aveck+k⁰+k⁰⁰=netk⁰>0.

Pouri = 0,xrty = 0^k+k001ⁿ6∈Lcark+k⁰⁰<n Contradiction avec le r´esultat du th´eor`eme, donc Ln’est pas un langage rationnel.

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Une derni` ere r´ eflexion

Finalement

Le lemme de l’´etoile formalise le fait

qu’un automate poss`ede unem´emoire de taille finie.

Avec un automate fini,

il n’est pas possible d’enregistrer (de distinguer) une infinit´e de pr´efixes.

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Objectifs de la s´ eance 05

Connaitre les d´efinitions de clˆoture

Savoir les propri´et´es de clˆoture des langages rationnels Connaitre le lemme de l’´etoile

Savoir que le langage{0ⁿ1ⁿ,n∈IN}n’est pas rationnel Savoir d´emontrer qu’un langage n’est pas rationnel par le lemme de l’´etoile ou en utilisant la clˆoture

R´eflexion principale du jour :

”- Je suis rationnel, je vous le r´ep`ete ! - Oui r´ep´etez-le que je v´erifie.”