NOM :
Prénom : MATHEMATIQUES
Test Informatique 2 A - 1h ECE 1
10 décembre 2019
On fera apparaitre toutes les séquences de code, ou tous les programmes utilisés.
1. En utilisant la méthode de Monte Carlo (et en expliquant la démarche !), calculer une valeur approchée de : a. I=
Z +∞
0
x3
x2+ 1e−xdx b. p=P(X ≥11), oùX ,→B(25; 0.7)
2. On lance un dé classique équilibré à6 faces jusqu'à ce que la somme obtenue atteigne ou dépasse 100, et on compte le nombre de coups.
Par exemple, si les 5 premiers lancers ont donné 4,3,5,1,5, alors la somme vaut 18, et on continue de lancer le dé.
a. Créer un programme (ou une fonction) simulant une réalisation de l'expérience.
b. Le compléter an d'obtenir un échantillon de 4000 réalisations de l'expérience.
c. Calculer (et noter) les indicateurs suivants : maximum, minimum, moyenne, écart-type, médiane et quartiles de la série statistique.
3. Donner la matrice de transitionM, les états absorbants, et les probabilités d'absorption de la chaine de Markov dénie par le tableau :
hhhhhhhhh
hhhhhh instant n
instantn+ 1
1 2 3 4
1 1 0 0 0
2 0.1 0.4 0.3 0.2
3 0.1 0.3 0.4 0.2
4 0 0 0 1
1
NOM :
Prénom : MATHEMATIQUES
Test Informatique 2 B - 1h ECE 1
13 décembre 2019
On fera apparaitre toutes les séquences de code, ou tous les programmes utilisés.
1. En utilisant la méthode de Monte Carlo (et en expliquant la démarche !), calculer une valeur approchée de : a. I=
Z 1
0
x3
x2+ 1ex+1dx b. p=P(X <5), oùX ,→G(0.3)
2. Une urne contient des boules numérotées de 1 à 100. On eectue des tirages successifs avec remise dans l'urne jusqu'à ce qu'un numéro sorte pour la seconde fois, et compte le nombre de tirages.
(On pourra stocker les numéros sortis dans un vecteur v, et utiliser l'instruction sum(v==u), pour savoir si le numéro u est déjà sorti.)
Par exemple, si les 5 premiers tirages ont donné 38,4,73,21,4, alors on a mis 5 coups.
a. Créer un programme (ou une fonction) simulant une réalisation de l'expérience.
b. Le compléter an d'obtenir un échantillon de 10000 réalisations de l'expérience.
c. Calculer (et noter) les indicateurs suivants : maximum, minimum, moyenne, écart-type, médiane et quartiles de la série statistique.
3. Donner la matrice de transition M et déterminer la probabilité stationnaire de la chaine de Markov dénie par le tableau :
hhhhhhhhh
hhhhhh instant n
instantn+ 1
1 2 3 4
1 0.8 0.1 0.1 0
2 0 0.8 0.1 0.1
3 0.1 0.3 0.4 0.2
4 0.1 0.3 0.2 0.4
2
