D10472. Piton au désert
Dans un désert désespérément plat, Dunabla parcourt une route absolument droite ; à un moment il aperçoit le sommet d’un piton volcanique à une pente 6,5% au-dessus de l’horizontale ; 25 km plus loin, cette pente est devenue 10,4% ; encore 17 km plus loin, la pente sous laquelle est vu le piton n’est plus que 10%. Quelle est l’altitude du piton ?
Solution
Soit P la projection du sommet du piton sur le plan du désert, et A, B, C les points d’observation de Dunabla. Par le théorème de Stewart
P A2.BC−P B2.AC+P C2.AB =AB.AC.BC.
Si h est la hauteur du piton, P A = 200h/13, P B = 125h/13, P C = 10h, soit respectivement 40, 25 et 26 fois 5h/13.
Stewart s’écrit ainsi, avech en kilomètres,
5h
13 2
= 25.42.17
402.17−252.42 + 262.25 = 1.
h= 13/5, soit 2600 mètres.
La distance de P à la route est 24 kilomètres, et forme avec P A, P B, P C trois triangles pythagoriciens.
