Problème D258. Une collection de quadrilatères
Louis ROGLIANO
Combien y a-t-il dans le plan de quadrilatères non superposables y compris par retournement, dont les quatre côtés et la distance qui sépare les milieux des deux diagonales ont pour dimensions pas nécessairement prises dans cet ordre :2,3,5,11et12?
Nous allons construire les milieuxmAB, mBC, mCD, mDAdu quadrilatèreABCD, dont les diagonales ont pour milieuxE etF, en traçant quatre triangles avec les mesures:
ab= 1
2AB, bc= 1
2BC, cd= 1
2CD, da = 1
2DA, EF (voir figure).
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La construction n’est possible que si l’inégalité triangulaire est respectée.
Il y a sept quadrilatères différents et nous avons:
EF ad bc inégalité triangulaire ab cd inégalité triangulaire construction
2 6 5,5 oui 2,5 1,5 oui Quadrilatères Q1A et Q1B
2 6 2,5 non 5,5 1,5 non
2 6 1,5 non 5,5 2,5 non
3 6 5,5 oui 2,5 1 oui Quadrilatères Q2A et Q2B
3 6 2,5 non 5,5 1 non
3 6 1 non 5,5 2,5 oui impossible
5 6 5,5 oui 1,5 1 non impossible
5 6 1,5 oui 5,5 1 oui Quadrilatères Q3A et Q3B
5 6 1 oui 5,5 1,5 oui Quadrilatère Q4
11 Inégalité triangulaire jamais vérifiée
12 Inégalité triangulaire jamais vérifiée
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