A50305. Décimales moutonnières
Trouver les 30 premières décimales des nombres (2 +√
5)50 et (2 +√ 5)51. Solution
Observons que 2+√
5 et 2−√
5 sont les racines de l’équationx2−4x−1 = 0, équation caractéristique de la relation de récurrence
un+1= 4un+un−1. Si un = (2 +√
5)n+ (2−√
5)n, on a u0 = 2, u1 = 4, et par la récurrence tous lesun sont entiers.
D’autre part 0<√
5−2 = 1/(2 +√
5)<1/4.
Ainsi (2+√
5)50=u50−(√
5−2)50, et 0< u50−(2+√
5)50<(1/4)50<10−30. (2 +√
5)50 est à peine inférieur à l’entier u50, et ses 30 premières décimales sont des 9.
De même (2 +√
5)51=u51+ (√
5−2)51, et ses 30 premières décimales sont des zéros.
