128 Nouvelle–Calédonie décembre 2001
Partie I
Soitxun nombre réel.
1.
Montrer quex4+4=¡x2+2¢2
−4x2.
2.
En déduire quex4+4 peut s’écrire comme produit de deux trinômes à coefficients réels.Partie II Soitnun entier naturel supérieur ou égal à 2.
On considère les entiersA=n2−2n+2 etB =n2+2n+2 etdleur PGCD.
1.
Montrer quen4+4 n’est pas premier.2.
Montrer que, tout diviseur deAqui divisen, divise 2.3.
Montrer que, tout diviseur commun deAetB, divise 4n.4.
Dans cette question on suppose quenest impair.1. Montrer queAetBsont impairs. En déduire quedest impair.
2. Montrer queddivisen.
3. En déduire queddivise 2, puis queAetB sont premiers entre eux.
5.
On suppose maintenant quenest pair.1. Montrer que 4 ne divise pasn2−2n+2.
2. Montrer quedest de la formed=2p, oùpest impair.
3. Montrer que p divisen. En déduire que d =2. (On pourra s’inspirer de la démonstration utilisée à la question4.)