G279- Tirages au scrabble [*** avec l’aide d’un ordinateur]
Problème proposé par Michel Lafond
Quel est le nombre de premiers tirages possibles au scrabble français (7 lettres du sac) ? Solution proposée par Julien de Prabère
Le scrabble français comporte 102 jetons, constitués comme suit : 7 lettres uniques : J, Q, K, W, X, Y, Z,
7+1 = 8 lettres ou joker en deux exemplaire : G, B, C, P, F, H, V, *, 2 lettres en trois exemplaire : D, M,
1 lettres en cinq exemplaires : L,
6 lettres en six exemplaires : N, O, R, S, T, U, 1 lettre en huit exemplaires : I,
1 lettre en neuf exemplaires : A, 1 lettre en quinze exemplaires : E.
Soit encore :
27 lettres ou jokers en au moins un exemplaire, 20 lettres ou jokers en au moins deux exemplaires, 12 lettres en au moins trois exemplaires,
10 lettres en au moins cinq exemplaires, 9 lettres en au moins six exemplaires, 3 lettres en au moins huit exemplaires, 2 lettres en au moins neuf exemplaires, 1 lettres en au moins quinze exemplaires.
On peut établir le tableau ci-après qui recense les nombres de tirages possibles selon les partitions de l’entier 7 :
Partitions de 7 Description Formule Nombre
7 7 lettres identiques (3 exemplaires) C(3,1) 3
6-1 6 lettres identiques (9 exemplaires) + 1 lettre distincte C(9,1)*C(26,1) 234
5-2 5 lettres identiques (10 ex.) + 2 lettres identiques distinctes de la première (19 ex.) C(10,1)*C(19,1) 190 5-1-1 5 lettres identiques (10 ex.) + 2 lettres distinctes entre elles et de la première (26 ex.) C(10,1)*C(26,2) 3 250
4-3 4 lettres identiques (10 ex.) + 3 lettres identiques distinctes de la première (11 ex.) C(10,1)*C(11,1) 110 4-2-1 4 lettres identiques (10 ex.) + 2 lettres identiques distinctes de la 1ère (19 ex.) + 1 lettre (25ex.) C(10,1)*C(19,1)*C(25,1) 4 750 4-1-1-1 4 lettres identiques (10 ex.) + 3 lettres distinctes entre elles et de la 1ère (26 ex.) C(10,1)*C(26,3) 26 000
3-3-1 2 fois 3 lettres identiques (12 ex.) + 1 lettre distincte (25 ex.) C(12,2)*C(25,1) 1 650
3-2-2 3 lettres identiques (12 ex.) + 2 fois 2 lettres identiques distinctes des autres (19 ex.) C(12,1)*C(19,2) 2 052 3-2-1-1 3 lettres identiques (12 ex.) + 2 lettres identiques (19 ex.) + 2 lettres distinctes (25 ex.) C(12,1)*C(19,1)*C(25,2) 68 400 3-1-1-1-1 3 lettres identiques (12 ex.) + 4 lettres distinctes entre elles et de la 1ère (26 ex.) C(12,1)*C(26,4) 179 400
2-2-2-1 3 fois deux lettres identiques (20 ex.) + 1 lettre distincte (24 ex.) C(20,3)*C(24,1) 27 360 2-2-1-1-1 2 fois deux lettres identiques (20 ex.) + 3 lettres distinctes (25 ex.) C(20,2)*C(25,3) 437 000 2-1-1-1-1-1 1 fois deux lettres identiques (20 ex.) + 5 lettres distinctes (26 ex.) C(20,1)*C(26,5) 1 315 600
1-1-1-1-1-1-1 7 lettres distinctes (27ex.) C(27,7) 888 030
TOTAL 2 954 029
