G10546. Sauts de puce

G10546. Sauts de puce

La puce vient de l’extérieur et saute, de façon équiprobable, l’un des 5 seg- ments qui bordent la face où elle se trouve. Combien de sauts, en moyenne, la ramèneront à l’extérieur ?

Solution

Les faces ayant toutesd= 5 côtés, numérotons-les de 1 ànen commençant par la face de départ, et soit ai le nombre moyen de sauts pour revenir à la face de départ. Les numéros des faces contiguës à la face iforment un ensembleV_i ded indices ; prenant en compte lesd possibilités à partir de la facei, pourifixé on a a_i= 1 + 1

d X

j∈V_i

a_j, ou encore ^X

j∈V_i

(a_i−a_j) =d.

Ajoutons ces égalités pour 2≤i≤n; les termes (a_i−a_j) oùietj >1 se neutralisent, car j ∈Vi est équivalent à i∈Vj. Seuls restent les dtermes

X

1∈Vi

(a_i−a₁) = (n−1)d, où il faut prendrea₁ = 0, puisqu’alors on retrouve la face 1, but du voyage.

Le nombre moyen de sauts à partir de la face de départ est 1 +1

d X

j∈V1

a_j = 1 +1 d

X

1∈V_i

a_i= 1 + (n−1)d/d=n.

Ainsi, quand les faces ont le même nombre de côtés, le nombre moyen de sauts est le nombre de faces, icin= 12.

Remarques.

1/ Le raisonnement s’étend au cas où les faces n’ont pas toutes le même nombre de côtés ; la relation de base est ^X

j∈V_i

(ai−aj) = di, et conduit au nombre moyen (^P_idi)/d1, dépendant de la face de départ.

2/ Le problème peut aussi être posé sous la forme duale : parcours sur les arêtes d’un graphe avec choix équiprobable à chaque sommet, nombre moyen d’arêtes parcourues pour revenir au sommet de départ. Dans cet exemple, les arêtes du graphe dual sont celles d’un icosaèdre régulier.