1 Décidabilité et grammaires algébriques

Langages formels, calculabilité et complexité ENS Paris – A1S1 2019-2020

21 novembre 2019 NathanGrosshans

TD 8 – Indécidabilité, le retour

1 Décidabilité et grammaires algébriques

Soit Σ un alphabet. Étant donném ∈N>0 et une suiteu= (u1, u2, . . . , um) de m mots sur Σ, on introduit un nouvel alphabetA={a₁, a₂, . . . , a_m} disjoint deΣet on définit

L_u ={u_i1u_i2· · ·u_ina_in· · ·a_i2a_i1 |n∈N>0∧∀j∈[[1, n]], i_j ∈[[1, m]]},

L⁰_u ={wa_in· · ·a_i2a_i1 |n∈N∧∀j ∈[[1, n]], i_j ∈[[1, m]]∧w∈Σ^∗∧w6=u_i1u_i2· · ·u_in} ∪ {ε}. Exercice 1.Montrer que les langages ainsi définis sont algébriques (« context-free »).

Solution 1.La grammaire G= ({S, T},Σ∪A, R, S) oùR contient les règles

S →u_i1T a_i1 |u_i2T a_i2 | · · · |u_imT a_im T →ui1T ai1 |ui2T ai2 | · · · |uimT aim |ε génère L_u.

La grammaire G⁰ = ({S⁰, S⁰⁰, T⁰, U⁰, V⁰},Σ∪A, R⁰, S⁰) où R⁰ contient les règles S⁰ →S⁰⁰|ε

S⁰⁰ →uiS⁰⁰ai ∀i∈[[1, m]]

S⁰⁰ →bT⁰ ∀b∈Σ

S⁰⁰ →vU⁰a_i ∀i∈[[1, m]], v∈Σ^∗,|v|<|u_i| S⁰⁰ →vV⁰a_i ∀i∈[[1, m]], v∈Σ^|ui|\ {u_i}

T⁰ →bT⁰ ∀b∈Σ

T⁰ →ε

U⁰ →U⁰ai ∀i∈[[1, m]]

U⁰ →ε

V⁰ →V⁰a_i ∀i∈[[1, m]]

V⁰ →bV⁰ ∀b∈Σ

V⁰ →ε

génère quant à elleL⁰_u.

Exercice 2.Montrer, en utilisant l’indécidabilité de PCP, que les langages suivants sont indécidables.

1. DISJCFG ={hG₁,G₂i | G₁ etG₂ sont des grammaires algébriques et L(G₁)∩ L(G₂) =∅}. 2. EQCFG ={hG₁,G₂i | G₁ etG₂ sont des grammaires algébriques et L(G₁) =L(G₂)}. 3. ALLCFG={hGi | G est une grammaire algébrique sur un alphabet ΣetL(G) = Σ^∗}. 4. REGCFG ={hGi | G est une grammaire algébrique et L(G) est rationnel}.

5. IDEMCFG={hGi | G est une grammaire algébrique etL(G) =L(G)L(G)}.

1

Solution 2.Soit Σ un alphabet. Considérons (u₁, v₁),(u₂, v₂), . . . ,(u_m, v_m) avec m ∈N>0 une suite de dominos sur Σ.

On pose u= (u1, u2, . . . , um) etv= (v1, v2, . . . , vm)et on considère les langagesLu, L⁰_u, Lv, L⁰_v tels que définis plus haut sur l’alphabet Σ∪Aoù A={a₁, a₂, . . . , a_m} est disjoint deΣ.

Observons que (Σ∪A)^∗\L_u=L⁰_u∪((Σ∪A)^∗\Σ^∗A^∗)et(Σ∪A)^∗\L_v =L⁰_v∪((Σ∪A)^∗\Σ^∗A^∗). Dans la suite, on donne l’idée de la réduction que l’on applique étant donné le mot h(u₁, v1), (u₂, v₂), . . . ,(u_m, v_m)i, réduction qui est à chaque fois calculable. Pour le cas des mots qui ne corres- pondent pas à un encodage valide d’une instance pour PCP, on associe simplement un mot fixé qui convient.

1. Soit G_u et G_v des grammaires algébriques engendrant, respectivement, L_u et L_v. On observe que

h(u₁, v₁),(u₂, v₂), . . . ,(u_m, v_m)i ∈PCP⇔L_u∩L_v 6=∅ ⇔ hG_u,G_vi∈/ DISJ_CFG .

2. SoitG_u⁰ etG∪des grammaires algébriques engendrant, respectivement,L⁰_uetL⁰_u∪L_v. On observe que

h(u₁, v1),(u2, v2), . . . ,(um, vm)i ∈PCP⇔Lu∩Lv 6=∅

⇔Lv *L⁰_u

⇔L⁰_u 6=L⁰_u∪L_v

⇔ hG_u⁰,G_∪i∈/ EQ_CFG . On peut par ailleurs aussi observer que

h(u₁, v₁),(u₂, v₂), . . . ,(u_m, v_m)i ∈PCP⇔L_u∩L_v 6=∅ ⇔L⁰_u∪L⁰_v 6= Σ^∗A^∗ .

3. Soit G_∪⁰⁰ une grammaire algébrique engendrant (Σ∪A)^∗\Lu∪(Σ∪A)^∗\Lv. On observe que h(u₁, v1),(u2, v2), . . . ,(um, vm)i ∈PCP⇔Lu∩Lv 6=∅

⇔(Σ∪A)^∗\L_u∪(Σ∪A)^∗\L_v 6= (Σ∪A)^∗

⇔ hG_∪⁰⁰i∈/ ALL_CFG . 4. On suppose d’abord qu’il n’existe pas i∈[[1, m]] tel que(u_i, v_i) = (ε, ε).

Soit G_∪⁰ une grammaire algébrique engendrant L⁰_u∪L⁰_v.

Sih(u₁, v₁),(u₂, v₂), . . . ,(u_m, v_m)i∈/PCP, alorsL_u∩L_v =∅et il est direct de voir queL⁰_u∪L⁰_v = Σ^∗A^∗, qui est un langage rationnel.

Autrement, si h(u₁, v1),(u2, v2), . . . ,(um, vm)i ∈PCP, alors il existe n∈N>0 eti1, i2, . . . , in∈ [[1, m]] tels que u_i1u_i2· · ·u_ina_in· · ·a_i2a_i1 = v_i1v_i2· · ·v_ina_in· · ·a_i2a_i1 ∈ L_u ∩L_v. Notons w = u_i1u_i2· · ·u_in = v_i1v_i2· · ·v_in et x = a_in· · ·a_i2a_i1. Par hypothèse, on a nécessairement w 6= ε, d’où il s’ensuit que pour tous j, k ∈N>0, j 6= k, (w^j)⁻¹(L⁰_u ∪L⁰_v) 6= (w^k)⁻¹(L⁰_u∪L⁰_v) puisque w^jx^j ∈L_u∩L_v ⊆(Σ∪A)^∗\(L⁰_u∪L⁰_v)alors quew^kx^j ∈L⁰_u∪L⁰_v. On en déduit donc queL⁰_u∪L⁰_v a une infinité de quotients à gauche, d’oùL⁰_u∪L⁰_v n’est pas rationnel.

On en conclut que

h(u₁, v1),(u2, v2), . . . ,(um, vm)i ∈PCP⇔L⁰_u∪L⁰_v ∈ R/ eg⇔ hG_∪⁰i∈/ REG_CFG .

Pour le cas où il existe i ∈ [[1, m]] tel que (u_i, v_i) = (ε, ε), on associe simplement un mot fixé qui convient.

5. On suppose d’abord qu’il n’existe pas i∈[[1, m]] tel que(u_i, v_i) = (ε, ε).

Soit G_∪⁰⁰ une grammaire algébrique engendrant (Σ∪A)^∗\Lu∪(Σ∪A)^∗\Lv =L⁰⁰_∪.

Sih(u₁, v1),(u2, v2), . . . ,(um, vm)i∈/ PCP, alors (Σ∪A)^∗\Lu∪(Σ∪A)^∗\Lv = (Σ∪A)^∗ qui vérifie bien évidemment(Σ∪A)^∗ = (Σ∪A)^∗(Σ∪A)^∗.

Autrement, si h(u₁, v₁),(u₂, v₂), . . . ,(u_m, v_m)i ∈PCP, alors il existe n∈N>0 eti₁, i₂, . . . , i_n∈ [[1, m]] tels que u_i1u_i2· · ·u_ina_in· · ·a_i2a_i1 = v_i1v_i2· · ·v_ina_in· · ·a_i2a_i1 ∈ L_u ∩L_v. Notons w =

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u_i1u_i2· · ·u_in = v_i1v_i2· · ·v_in et x = a_in· · ·a_i2a_i1. Par hypothèse, on a nécessairement w 6= ε, d’où il s’ensuit que w, x ∈ (Σ∪A)^∗\L_u∪(Σ∪A)^∗\L_v. Nous avons donc que wx ∈ L⁰⁰_∪L⁰⁰_∪, alors que wx∈/L⁰⁰_∪, d’oùL⁰⁰_∪ 6=L⁰⁰_∪L⁰⁰_∪.

On en conclut que

h(u₁, v1),(u2, v2), . . . ,(um, vm)i ∈PCP⇔L⁰⁰_∪ 6=L⁰⁰_∪L⁰⁰_∪ ⇔ hG_∪⁰⁰i∈/IDEMCFG .

Pour le cas où il existe i ∈ [[1, m]] tel que (u_i, v_i) = (ε, ε), on associe simplement un mot fixé qui convient.

Exercice 3.Montrer que

1. {hG,Ai | G est une grammaire algébrique,A est un AFD etL(A)⊆ L(G)}est indécidable ; 2. {hG,Ai | G est une grammaire algébrique,A est un AFD etL(G)⊆ L(A)}est décidable.

Solution 3.

1. On réduit ALLCFG au langage considéré, en observant que, pour toute grammaire algébrique G sur un alphabet Σ,

L(G) = Σ^∗ ⇔ L(A_ALL)⊆ L(G) où A_ALL est un AFD reconnaissant Σ^∗.

2. Étant donné une grammaire algébrique G et un AFD Asur un alphabet Σ, on observe que L(G)⊆ L(A)⇔ L(G)∩Σ^∗\ L(A) =∅ .

De plus, puisqueL(A)est rationnel,Σ^∗\L(A)l’est aussi et doncL(G)∩Σ^∗\L(A)est algébrique.

Puisque le langage {hGi | G est une grammaire algébrique etL(G) =∅} est décidable, on peut conclure.

2 Séparabilité

Exercice 4.Soit Σun alphabet. Soit A etB deux langages disjoints surΣ. On dit qu’un langage C surΣ sépareA et B lorsqueA⊆C etB ⊆C¯.

1. Si deux langages A et A¯ sur Σ ne sont séparés par aucun langage décidable, que peut-on en déduire ?

2. Montrer que deux langages A et B sur Σ sont séparés par un langage décidable s’ils sont co-reconnaissables et disjoints.

3. Montrer qu’il existe des langages A etB sur Σqui sont reconnaissables, mais ne sont séparés par aucun langage décidable.

Solution 4.

1. On peut en déduire que ni A, niA¯ ne sont décidables.

2. Étant donné une MT M_A¯ reconnaissant A¯et une MT M_B¯ reconnaissantB¯, on construit une MTMqui, étant donné un motw∈ {0,1}^∗ en entrée, exécuteMA¯(w)etMB¯(w)en parallèle, en acceptant siMA¯ accepte en premier, et en rejetant si MB¯ accepte en premier.

Quel que soit le motw∈ {0,1}^∗ en entrée,Ms’arrêtera puisqu’il y a toujours au moins une des deux MT MA¯ etMB¯ qui acceptera avecw en entrée, de par le fait que AetB sont disjoints.

Le langageL(M) est donc décidable par construction et vérifie que pour toutw∈ {0,1}^∗,

— siw∈A, alors w∈A∩B¯ et doncw∈ L(M)/ ;

— siw∈B, alors w∈A¯∩B et doncw∈ L(M).

Par conséquent,L(M) sépareA etB.

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3. On pose

A={hMi | MMT normalisée acceptant sur le mot vide} et

B ={hMi | MMT normalisée rejetant sur le mot vide},

puis on observe que siAetB pouvaient être séparés par un langage décidable, il existerait une MT résolvant « Consistent guessing » (voir le polycopié du cours, dans la partie traitant de la décidabilité de théories logiques).

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