1 Grammaires algébriques (non contextuelles)

Langages formels, calculabilité et complexité ENS Paris – A1S1 2019-2020

17 octobre 2019 NathanGrosshans

TD 4 – Grammaires algébriques

1 Grammaires algébriques (non contextuelles)

On rappelle qu’étant donné un mot w ∈ Σ^∗, on définit le mot renversé de w, noté w^R, comme étantw^R =εsiw=εet w^R=a_n· · ·a₁ siw=a₁· · ·a_n pour n∈N>0.

Exercice 1.Donner une grammaire algébrique pour chacun des langages suivants (sans trop justifier).

1. {w∈ {a, b}^∗|w=w^R} (langage des palindromes sur{a, b}).

2. {w∈ {a, b}^∗|w6=w^R} (langage des non palindromes sur {a, b}).

3. {w∈ {(,),0,1, . . . ,9,∗,+}^∗|w correspond à une expression arithmétique surNvalide}. 4. {aⁱb^jc^k|i6=j∨j6=k}.

5. {w∈ {a, b}^∗| |w|_a≥ |w|_b}.

6. {aⁿ⁰baⁿ¹b· · ·a^nkb|k∈N∧∃j∈N, nj 6=j}. 7. {ww⁰ ∈ {a, b}^∗ | |w|=|w⁰| ∧w6=w⁰}.

Exercice 2.Trouver une grammaire algébrique non ambiguë pour le langage

{w∈ {(,),0,1, . . . ,9,∗,+}^∗ |wcorrespond à une expression arithmétique sur Nvalide} telle que dans chaque arbre de dérivation (« parse tree »),∗ a priorité sur+.

Exercice 3.Soit G = ({S},{(,)}, R, S) etG⁰ = ({B, R},{(,)}, R⁰, B) des grammaires algébriques où R contient les règles

S→SS |(S)|ε etR⁰ contient les règles

B →(RB |ε R→)|(RR .

Montrer que G etG⁰ engendrent le même langage, mais que l’une est ambiguë et pas l’autre.

2 Langages algébriques (non contextuels) et langages rationnels

Étant donné une grammaire algébrique G = (V,Σ, R, S), on dit qu’elle est linéaire droite lorsque dans toute règleX→udeR, soitu∈Σ^∗, soitu=u⁰Y avecu⁰ ∈Σ^∗ (le corps de chaque règle contient au plus une variable tout à droite).

Exercice 4.Montrer qu’un langage est rationnel si et seulement s’il est engendré par une grammaire linéaire droite.

Exercice 5.Soit la grammaire algébrique G = ({S},{a, b, c}, R, S) où R contient les règles S → aSSb|c. Montrer que tout langage rationnel inclus dans L(G) est fini.

3 Forme normale de Chomsky

On rappelle qu’une grammaire algébrique G = (V,Σ, R, S) est en forme normale de Chomsky (FNC) quand toutes les règles de R sont de la forme :

A→BC ou A→a ou S→ε 1

avec A∈V,B, C ∈V \ {S}eta∈Σ.

Exercice 6.Proposer une grammaire algébrique en FNC équivalente à la grammaire algébrique G= ({B, C, S},{a, b}, R, S) où R contient les règles :

S →CSC|aB C →B|S B →b|ε.

Exercice 7.Proposer un algorithme en temps polynomial (en la taille cumulée du mot et de la grammaire) qui reconnaît si un mot appartient au langage engendré par une grammaire algébrique en FNC.

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