N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
A. D ROZ
Note sur des formules de Joachimsthal
Nouvelles annales de mathématiques 2e série, tome 20 (1881), p. 411-413
<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1881_2_20__411_1>
© Nouvelles annales de mathématiques, 1881, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la revue « Nouvelles annales de mathématiques » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions).
Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente men- tion de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
NOTE SUR DES FORMULES DE JOAUllMSTHAl:
P \ R M. A. DROZ.
Dans le Journal de C relie [Sur quelques applications des déterminants à la Géométrie, t. XL), Joachimstlial a donné deux formules pour la surface du triangle dont on connaît les équations des trois côtés, et pour le volume du tétraèdre si l'on connaît de même les équations des quatre plans.
Mon intention dans cette Note est de donner une dé- monstration très simple de ces deux formules.
Soient
an al2 . . . aUt
# 2 1 ^22 • • • ^2/i
Je représente par minant A.
On sait que
« 2 1
le coefficient de a^ dans le déter-
(BIINET et CAUCHY, Journal de l'Ecole Polytechnique).
Expression de la surface S du triangle compris entre les trois droites
( 2 )
( 3 ) an.r
«23 :
Si a :o j ^ ; J :2, J*\ x3, j3 sont les coordonnées des points d'intersection des droites ( 9 3 ) , ( 3 i ) , ( 1 2 ) , on aura
Mais
(I)
«23
«3J
« 3 3 '
r2 1
«13«23«33
A2
all a12 al3
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Expression du volume \' rfw tétraèdre compi is entre
les quatre plans
( i ) aua r -+- «u^ -H «n = o,
' + «23- + «24 = O, -f- «33^ H" «34 = O, 4 - «43 s -4- akk — o.
Soient J , , J , , Z , \ x<t, y*,z2\ ^3,^3,^35 x coordonnées des points d'intersection des plans (341 \ ( 4! 2 jî (I 23 ) 5 on aura
. T V - — , -\
« 1 4 ' *
« 2 1
. _ _ a>2
l~ " «14
« 2 2
« 1 4
les
«31 «32 _ «33
. r3 — — ? ) *3_ — , «3-._ - — ,
« 4 3
0 \
.r, rt *i f
, / '2 1*2 ^2 !
« r3 %i3 ^ 3 1
«11 «12 «13 «14
Donc
_ _ 1
«14 «2 V «34 «44
6V —
« 2 1
« 3 1
« 4 1
A3
« 2 2
« 3 2
« 4 2
« 2 3
« 3 3
« 4 3
« 2 4
« 3 4
«44
