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Note sur la résolution en nombres entiers positifs du système des trois équations <span class="mathjax-formula">$x = u^2, x+1 = 2v^2, 2x+1 = 3w^2$</span>

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Texte intégral

(1)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

G ÉRONO

Note sur la résolution en nombres entiers positifs du système des trois équations x = u

2

, x + 1 = 2v

2

, 2x + 1 = 3w

2

Nouvelles annales de mathématiques 2e série, tome 17 (1878), p. 381-383

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1878_2_17__381_1>

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(2)

NOTE

SUR LA RÉSOLUTION EN NOMBRES ENTIERS POSITIFS DU SYSTÈME DES TROIS ÉQUATIONS

X = tt5, ,r + I r = 2 P2, 2 J C + I = 3 ( V2

{ voir a' série, t. XVI, p. *3o ).

Ces équations ont déjà été résolues par M. E. Lucas ,•

elles n'ont qu'une seule solution entière positive : x=u = v = w = i] c'est ce qui résulte aussi de ce

(3)

remarquable théorème démontré par M. de Jonquières, que :

Le nombiv 5 est le seul nombre entier qui jouisse de la double propriété d'être la somme des carrés de deux nombres consécutifs, et d'avoir pour carré la somme des carrés de deux nombres consécutifs (2e série, t, XVII, p. 3o8).

L'élimination deTinconnue x, entre les trois équations proposées, donne

(1) tt'-f-i— iv2 Ct

(2) lu1 -+-1 = 3«'2.

Le nombre u étant nécessairement impair, l'équa- tion ( 1 ) revient à

( 3 ) i* = / i » - f - ( « + i )3-

Ainsi, vest un nombre dont le carré est égal à la somme des carrés de deux nombres consécutifs.

Remarquons, de plus, que v est premier avec 5, car autrement le cliiiïre des unités simples du u2 serait 9, et par suite le chiffre des unités simples de w2 serait 3, ce qui ne peut convenir à un carré.

Cela posé, des équations (1) et (2) on tire

<3l,comme les nombres impairs 2V-+- 1, iv — 1 sont pi e- miers entre eux, il faut qu'on ait des relations de la forme

2 P - h i — 3 a % iv ~ î — o2, aS = w, OU

2 ^ - t r — a2, iv — 1 — 3 €2, aê — cr.

(4)

( 383 )

Mais les égalités iv -\~ 1 = a*, iv — i = 3 ë* sont inad- missibles, car il en résulterait a2 — 3 c2 —. 2, ou, parce que a et 6 sont impairs,

(8M + 1) — 3(8N-4-i) = a;

8/? = 4? ce qui est absurde.

Donc

2 P — 1 = êJ = [im -+- l ) %

d'où

(4) o — /w2-f- (/« -f-i)S

c'est-à-dire que ^ est aussi la somme des carrés de deux nombres consécutifs. Mais v est premier avec 5 ; par conséquent, d'après le théorème précité, les équa- tions simultanées (3) et (4) ne peuvent être vérifiées que par ni = 0 , n = o, v = 1 ; il s'ensuit

.7- = I , IL = I , H' = I .

(G.)

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