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Sur le système des équations indéterminées <span class="mathjax-formula">$x^2-Ay^2=u^2,~x^2+Ay^2=v^2$</span>

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(1)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

É DOUARD L UCAS

Sur le système des équations indéterminées x

2

− Ay

2

= u

2

, x

2

+ Ay

2

= v

2

Nouvelles annales de mathématiques 2e série, tome 17 (1878), p. 446-453

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1878_2_17__446_1>

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(2)

SUR LE SYSTÈME DES ÉQUATIONS INDÉTERMINÉES

PAR M. EDOUARD LUCAS.

On a tout d'abord le théorème suivant Pour que le système indéterminé

(3)

(

447

)

soit vérifié par une série indéfinie de valeurs entières des inconnues x,y, M, v, il faut et il suffit que A appar- tienne à la forme

( 2 ) A = )0po(*o -

que Von peut supposer débarrassée de ses facteurs qua- dratiques.

En effet, en ajoutant membre à membre les deux équa- tions du système ( 1 ), on a

et Ton doit poser

l0 et fx0 désignant deux nombres quelconques, premiers entre eux, l'un pair et l'autre impair 5 on en déduit la solution initiale

(3)

et, par suite,

A = :

Ainsi le théorème est démontré ; on sait d'ailleurs que le nombre A est dit congruent, et représente l'aire d'un triangle rectangle, dont les côtés entiers ont pour lon- gueurs

Notre but est d'indiquer comment on peut parvenir h résoudre complètement le système proposé, pour les \a-

(*) Recherches sut les ouvrages de Léonard de Pue, Ch. ÏI.

(4)

( 448 )

leurs de À données par la formule (i). Nous observe- rons, à ce sujet, qu'il est nécessaire, pour traiter généia- lement la question, de connaître la décomposition de A en ses facteurs premiers. On sait, en effet, que Lagrange a ramené la résolution des équations quadratiques indé- terminées à des équations delà forme

x1 — ^ - ^ As»,

et que cette résolution est liée à la connaissance des fac- teurs premiers de À. Inversement, nous montrerons ultérieurement que la décomposition d'un nombre donné A, en ses facteurs premiers, se trouve notable- ment simplifiée par l'essai direct de la résolution de l'équation

X2 — y1- — A,

au moyen de la considération des îésidus quadratiques.

Nous ferons voir que, par cette méthode, imaginée par Aurifeuiile, et que nous avons perfectionnée, il est pos- sible d'arriver plus rapidement à la décomposition de nombres de seize et de dix-lmit chiffres qu'à celle des nombres de huit et de dix chiffres, par l'application des ancienneb méthodes.

Par conséquent, on ne doit voir dans la présente Note cjue l'indication de la marche à suivre, pour résoudre complètement, pour toutes les valeurs numériques de A, décomposé en ses facteurs premiers, le système des équa- tions proposées. On tire de la seconde des équations (i)

( v -f- x ) [ P — x) z=z Xy2 ;

donc, en désignant par a et [3 deux nombres entiers dont le produit égale A, et pare et ƒ deux indéterminées, on aura

(5)

( 4 4 9 ) et, par suite,

En portant ces valeurs dans la première des équations proposées, on arrive à la condition

(«<?*—3 p/> )' — « ' =

Désignons par (3t et |32 deux nombres positifs ou né- gatifs, dont le produit est égal à |3, par g et h deux nou- velles indéterminées, nous tirerons de la condition pré- cédente

(4)

Premier cas. — Si l'on prend, en même temps, les signes supérieurs dans les équations (4), on en déduit, par addition, après avoir remplacé f par gh et (3 par Pi P.,

(P.^ + P»/'1)(P.^-+-2P»Aa) = « ^ ;

désignons par ax et a2 deux nombres entiers dont le produit égale a, et par p et q deux nouvelles indé- terminées ; nous poserons

et, par suite,

(5) a,/>2 - (M2 = p,^2, a,/.2 -h p2/r = x,q\

Ce système est vérifié pour des valeurs égales des indé- terminées g", h, P) q, lorsque l'on suppose

a , = >0, p2 = u-o, pi = >-o — y<û, as = *o •+• /x0;

il est facile de déduire de ces valeurs la solution initiale

^ « « . deRlalhémat.,2esérie, t.XVII. (Oct. 1878.) 2 9

(6)

( 4 5 o )

(3 ). En général, une solution quelconque du système (5) donnera une solution du système proposé, et, par suite, une série indéfinie, comme nous allons le montrer.

Si Ton fait, dans le système (5),

le système (5) coïncide avec le système proposé*, par conséquent, d'une première solution {x,y^ u, y) du sys- tème ( i ) , on déduit une série indéfinie de solutions nou- velles (X, Y, U, V) par les formules

1 '

En désignaut par *rOî xl 7 x2, ..., xn les valeurs suc- cessives de x , on voit que ces valeurs sont des poly- nômes en X de degré 2, 8, 3 s , . . . , 22"+ 1.

Second cas, — Le système (4) donne de même, avec les signes inférieurs,

et, par suite,

On arrive ainsi à un système analogue au système (5).

Par conséquent, on décomposera A en un produit de quatre facteurs, de toutes les manières possibles, et l'on aura un certain nombre d'équations de la forme (5) ; plusieurs d'entre elles seront reconnues impossibles, par non-congruence 5 d'autres seront possibles. Soit

un tel système admettant la solution (go? ^<M POI 7o)j

(7)

( 451 ) posera

Mp\ — X, N//J =:- u, Pgl — X — v., Qql ~- X -4

et l'on aura

II nous reste donc à considérer le système général (7)

dans lequel nous désignons, pour abréger, X — ^ par p et X 4 - « par a. On résout la première équation du sys-

tème (7), mise sous la forme

y

p -f- ^ / l ' \p -+-

par les formules

/z r=: a, r2 — o,.v2 -f- ^pri",

^ — at r'2 — p,.v2 — 9. urs,

dans lesquelles p, p.j = ou. En portant ces valeurs dans la seconde des équations (7), on obtient la condition

ou bien

ou, en posant 5 = <7.s\

On déduit de Téquation précédente

fj r h 'v« i ^ H- 2.p\t-rs' — p,crV2) = 2p2«'2,

2 9 .

(8)

( 45* )

en désignant par p% et p.a deux nombres tels que p,p2 — pfx,

et par w e t t deux nouvelles indéterminées-, on en tire (8) p,r2 -h 2 purs' — p,ar2/2=zfc(p2^2— iv.2VP).

Posons w = mr, 5' = m£, il vient, en prenant le si- gne -f-,

pour que la valeur de ni soit rationnelle, on doit faire et Ton a

ptirtzhB m = .

p2H -f- p,o-^

On peut écrire l'équation de condition sous la forme et la séparer, de diverses manières, en deux autres for- mant un système analogue au système (5)*, on traitera ces différents systèmes de la même façon que précédem- ment. En faisant plus particulièrement p2 := fi = 1, on a, en désignant par a et b deux nouvelles indétermi- nées,

Par suite, on obtient

c'est un système identique au système proposé. Par con- séquent, d'une solution x, y, «, v du système

(9)

( 453 )

on déduit deux nouvelles solutions X, Y, U, V, par les formules

\ m =. ypuy.z+z vx,

\ n — u2 -f- ppo-'jr2 ; ƒ p — n2u2 -h up<j2m2y\

(9)

V ~l<7p2q2-+-upg2h\ V = p7g* — 2[x2//4.

Ces formules donnent des solutions distinctes de celles qui sont fournies par les équations (6); d'ailleurs le second cas conduirait aux mêmes formules.

Pour certaines valeurs de A, les formules (6) et (9) résolvent complètement le système (1), et par exemple pour A = 6. On traite ainsi complètement ce problème de Fermât :

Trouver tous les triangles rectangles dont Vaire soit six fois celle d'un carré.

Ces formules résolvent aussi complètement le système (7), pour le problème de Beha-Eddin, que l'on ramène au système

Sx2—j2 = 7«% 8.T2 -h r2 = 9^, ainsi que nous l'avons montré précédemment (*).

Remarque. — Eu prenant le signe — dans la for- mule (8), on arrive à des systèmes analogues au sys- tème (5).

(*) Voir tome XV, page 35g.

Références

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