Résumé \_cours \_Espace

Cours Lycée 9 Avril 1938 Sfax

Prof : Mr Tounsi Riadh Produit scalaire Produit vectoriel

Classes 4^ème Science Technique 2008/2009

Produit scalaire dans l’espace Définition

( )

0

u.v est le réel définie par : u.v u v cos u,v si u o et v o u.v si u o ou v o

= × × ≠ ≠

= = =

r r r r r r r r r r r r

r r r r r r

ThéorèmeSi u AB et v AC alors : u.v AB.AC AB.AH où H est le projeté orthogonale de C sur la droite (AB)

= = = =

r uuur r uuur r r uuur uuur

Propriétés

2 2 2 2 2 2

2 0 Pour tout vecteurs u , v et w de W on a :

u.v v.u (ku).v k(u.v) avec k u.(v w) u.v u.w

u.v u v u v u v u.v u AB AB

u v u v u v u.v u.v xx ' yy ' zz '

= = ∈ + = +

≤ × + = + + = =

+ ≤ + ⊥ ⇔ = = + +

r uur uur

r r r r r r r uur r r uur r r r uur

r r r r r r r r r r r uuur

r r r r r r r r r r

2 2 2

A A A B B B

u x y z

A (x , y , z ) et B (x , y , z ).

= + +

r

(

) (

) (

)

AB= ABuuur = x −x + y −y + z −z

Distance d’un point à un plan

0 0 0

0 0 2 2 2

0 ₀ ax by cz d

Si P : ax by cz d et un point A(x , y ,z ), alors d(A,P)

a b c

+ + +

+ + + = =

+ +

1 0

0

0

Théorème : P et P sont deux plans de l'espace a

) Soit P : ax by cz d et N b un vecteur normale à P c

a '

et P' : a ' x b ' y c ' z d' et N' b ' un vecteur normale à P' c '

P P' aa' bb ' cc '

′

  

+ + + =  

  

 

 

+ + + =  

 

 

⊥ ⇔ + + =

ur

uur

0 P // P ' N et N' sont colinéaires 2) Soit D une droite de l'espace de vecteur directeur u

P D N et u sont colinéaires. P//D N u N.u

⇔

⊥ ⇔ ⇔ ⊥ ⇔ =

ur uur r

ur r ur r ur r

Sphère

(I,R)

Soit I un point de l'espace et R un réel positif. l'ensemble des points M de l'espace tel que IM=R est la sphére de centre I et de rayon R, on note S .

[ ]

Théorème

Soit A et B deux points distincts de l'espace .

l'ensemble des points M de l'espace tel que AM.BM 0 est la sphére de diamètre AB

uuur uuur =

2 2 2 2 (A,R)

Théorème : équations cartésiennes d'une sphère

Soit A(a,b,c) un point de l'espace et R un réel stictement positif.

M(x,y,z)∈ S ⇔ −(x a) + −(y b) + −(z c) =R

{

}

Théorème :

Soit E= M(x,y,z) de l'espace / x +y +z +αx+βy+γz+ =λ 0 .

{ }

2 2 2

( A, h )

α β γ 4λ α β γ

On pose h et A , , .

4 2 2 2

E si h 0. E A si h=0. E S si h 0

+ + −  

= − − − 

 

= ∅ < = = >

( )

{ }

A,R

Théorème : Intersection d'une sphère et d'un plan

Soit S une sphére de centre A et de rayon R. Soit P un plan de l'espace et H le projeté orthogonal de A sur P. on a : P S si AH R

P S H

= ∅ >

=

I I

( )^H,r ( )^{H,r 2 2}

si AH=R. On dit que P est tangent à S en H.

PIS=ζ si AH<R. ζ est le cercle de centr H et de rayon r= R −AH

A

H

R A

R H

A

R H P

Produit vectoriel Soit (O,i, j, k)

r r r

un repère orthonormé de EOn désigne par Ι J et K les points de , tels que OuurΙ = ir uur, OJ = j et OKur uuur=k.r

E Un bonhomme couché sur (OΙ)Ι)Ι)Ι). La tête en ΙΙΙΙ, les pieds en O et regardant le point J. Par convention si le point K est à gauche du bonhomme le repère (O,i, j, k)

r r r

est direct ou de sens positif, si non le repère est indirect ou de sens négatif.

•_O

x

y z

i r

j r k

r

Sens direct

•O

x

y z

i r

j r

−kr Sens indirect

Définition Soit u et v

r r

deux vecteurs de W. On appelle produit vectoriel des vecteurs u et v

r r

noté u vr rΛ

défini par : Si u et v

r r

sont colinéaires alors u vr rΛ =0r

. Si u et v

r r

sont non colinéaires, on pose ur=AB , vuuur r=ACuuur

et P le plan (ABC). D une droite perpendiculaire en A au plan P. Soit (A,e ,e )1 2

uur uur

un repère orthonormé de P. e3

uur l’unique vecteur de Wtel que (e ,e ,e )_{1 2 3}

uur uur uur

une base orthonormée direct de W.

u vr rΛ = ur × vr ×sin(u,v) er r ×uur3

u r

v r e1

uur

e2

uur e3

uur u vr Λr

P

A

B

C D

Propriétés

• On considère deux vecteurs

u et v unitaires et orthogonaux . Pour tout vecteur w on a : (u,v,w)est une base orthonormée directe de si et seulement si w = Λu v.

r r uur r r uur

uur r r W

Le vecteur u vr Λr est orthogonal à u et à v

r r

.

• u vr Λ =r 0 si et seulement si u et v sont colinéaires.r r r

• Pour tous vecteurs u et v, u vr r r Λ = − Λr v u.r r

• ∀ α ∈ ∀, (u,v)r r ∈ ² , ( .u) vαr Λ = Λ αr u ( .v)r r = α.(u v).r Λr W

• ∀ α β ∈( , ) ², (u,v)∀ r r ∈ ² , ( .u) ( .v)αr Λ βr = α β( . ).(u v).r Λr W

• (u,v,w)∀ r r uur ∈ ³ , (ur+v) wr Λ = Λ + Λuur u wr uur v w.r uur W

• Dans une base i, j, k

x x '

( ) soit u y et v y '

z z '

   

   

   

   

   

r r r r r

alors

y y' z z' x x' u v z z' x x' y y'

 

 

 

 

 

Λ − 

 

 

 

 

r r

• L’aire d’un triangle ABC est ¹ AB AC

=2 uuur Λ uuur

A .

• u v u.v

sin(u,v) et cos(u,v) .

u v u v

= Λ =

× ×

r r r r

r r r r

r r r r

• Soit ^D=^(A,u)r

, M un point de l’espace alors la distance du point A à la droite D est : MA u

d u

= Λ

uuur r

r .

•

•

• u r

D

A

H

M