Année scolaire 2017-2018 Mathématiques, Mme SCHER
Lycée Monge Terminale S 2
Ch 15 : Produit scalaire Cours
Introduction : le produit scalaire de l'espace permet :
* de mesurer des grandeurs (longueurs, angles...),
* de démontrer l'orthogonalité (de deux vecteurs, de deux droites, d'une droite et d'un plan...),
* etc...
Il est utilisé en architecture, dans l'industrie de l'image (3D, numérisation...), en physique-chimie (projetés orthogonaux, travail d'une force...)...
Dans tout ce chapitre, l'espace est muni d'un repère orthonormé (O;~i,~j, ~k).
~
u,~v etw~ sont trois vecteurs de l'espace de coordonnées~u
x y z
,~v
x0 y0 z0
et w~
x00 y00 z00
.
A, B et C sont trois points de l'espace de coordonnées A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB) etC(xC;yC;zC).
I. Orthogonalité
Dénition (droites orthogonales) : Deux droites d etd0 sont orthogonales si, et seulement si, elles sont respectivement parallèles à deux droites perpendiculaires. On note d⊥d0.
Dénition déjà vue dans le ch 11.
Dénition (vecteurs orthogonaux) : Deux vecteurs ~u et~v sont orthogonaux si, et seulement si
* soit ~u=~0ou~v =~0
* soit ~u et~v sont non nuls et sont des vecteurs directeurs de droites orthogonales.
On note ~u⊥~v.
Remarque : Le vecteur nul est orthogonal à tout autre vecteur.
Dénition : Une droite d est orthogonale à un plan P si, et seulement si, la droite d est orthogonale à deux droites sécantes du plan P. On note d⊥P.
Propriété : Une droite d est orthogonale à un plan P si, et seulement si, la droite d est orthogonale à toute droite du plan P.
Propriété déjà vue dans le ch 11.
II. Produit scalaire
1. Diérentes expressions
On étend aux vecteurs de l'espace la dénition du produit scalaire donnée dans le plan.
Dénition : On suppose que~u=−→
AB et~v =−→
AC. Il existe un plan P contenant les trois points A, B etC.
On dénit le produit scalaire de ~u et~v dans l'espace comme étant le produit scalaire de ~u et~v dans le plan P.
On le note ~u·~v (lire "~u scalaire~v”).
Le produit scalaire des vecteurs ~u et~v est un nombre réel.
En voici quatre dénitions équivalentes.
a) Uniquement avec les normes
Dénition (norme) : On suppose que~u=−→
AB.
La norme du vecteur ~u est le réel positif ou nul, noté k~uk, déni park~uk=AB.
Dénition :~u·~v = 1
2(k~u+~v k2 − k~uk2 − k~v k2) b) Avec les normes et un angle
Dénition : Si ~u et~v sont non nuls alors~u·~v =k~uk × k~v k ×cos(~u, ~v).
Autrement dit, si A6=B etA6=C alors −→
AB·−→
AC =AB×AC×cos(BAC)ˆ
Cas particulier : si~uet~v sont colinéaires alors
~
u·~v =k~uk × k~v k s'ils sont de même sens,
et~u·~v =− k~uk × k~v k s'ils sont de sens opposés.
Si~u=~0 ou~v =~0 alors~u·~v = 0. c) Avec un projeté orthogonal On suppose que ~u=−→
AB et~v =−→
AC.
Notons H le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB) et K le projeté orthogonal du point B sur la droite (AC).
Dénition : Si ~u et~v sont non nuls alors~u·~v =−→
AB·−→
AC =−→
AB·−−→
AH =−−→
AK·−→
AC
On a donc, en particulier,
~
u·~v =AB×AH si (~u, ~v)∈h 0;π
2
i et ~u·~v =−AB×AH si(~u, ~v)∈hπ 2;πi
.
Dénition et propriété : Le carré scalaire du vecteur ~u est le réel noté ~u2 déni par~u2 =~u·~u. On a ~u2 =k~uk2 etk~uk=√
~u2. d) Avec les coordonnées Propriété :~u·~v =xx0 +yy0+zz0 On en déduit que k~uk=p
x2+y2 +z2
Exemple : ~u
2
−1 5
, ~v
−3 0 1
.
~
u·~v = 2×(−3) + (−1)×0 + 5×1 =−1. k~uk=p
22+ (−1)2 + 52 =√ 30
2. Propriétés algébriques et vecteurs orthogonaux Propriétés : Soit k un nombre réel.
* Symétrie : ~u·~v =~v·~u
* Linéarité : ~u·(~v+w) =~ ~u·~v+~u·w~ et ~u·(k~v) = (k~u)·~v =k(~u·~v) Propriétés (identités remarquables) :
* (~u+~v)2 =~u2+ 2~u·~v+~v2
* (~u−~v)2 =~u2−2~u·~v+~v2
* (~u−~v)·(~u+~v) =~u2 −~v2 Propriétés (orthogonalité) :
~u⊥~v ⇔~u·~v = 0.
III. Applications
1. Vecteur normal à un plan
Dénition (vecteur normal) : Soit P un plan.
On appelle vecteur normal au plan P tout vecteur directeur~n d'une droite orthogonale au plan P. Propriété :
* Un vecteur ~n est normal à un plan P si, et seulement si, ~n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan P .
* Un vecteur normal à un plan P est orthogonal à tout vecteur de ce plan P.
Propriété :
* Si ~n est un vecteur normal à un plan P alors, pour tout réel k non nul, k~n est aussi un vecteur normal au plan P.
* Tous les vecteurs normaux à un plan P sont colinéaires.
Propriété : Une droite d de vecteur directeur ~uest orthogonale à un plan P de vecteur normal~n si, et seulement si, ~u et~n sont colinéaires.
Dénition (plans perpendiculaires) : Deux plans sont perpendiculaires si, et seulement si, l'un contient une droite orthogonale à l'autre.
Propriété : Soient deux plans P etP0 de vecteurs normaux~n et n~0 respectivement.
* P etP0 sont perpendiculaires si, et seulement si~n et n~0 sont orthogonaux.
* P etP0 sont parallèles si, et seulement si ~n et n~0 sont colinéaires.
2. Équation cartésienne d'un plan
On rappelle que l'espace est muni d'un repère orthonormé (O;~i,~j, ~k).
Exemple : Soit P un plan passant par le point A(−2; 0; 5) et de vecteur normal~n
2
−7 4
. Soit M(x;y;z)un point de l'epace.
−−→AM
x+ 2
y z−5
.
M(x;y;z)∈ P ⇔−−→
AM⊥~n
⇔−−→
AM ·~n = 0
⇔(x+ 2)×2 +y×(−7) + (z−5)×4 = 0
⇔2x+ 4−7y+ 4z−20 = 0
⇔2x−7y+ 4z−16 = 0
On dit que 2x−7y+ 4z−16 = 0 est une équation cartésienne du planP.
Elle est de la forme ax+by+cz+d= 0 où (a;b;c) sont les coordonnées du vecteur normal~n. Propriété : Soit P un plan de vecteur normal~n etA un point de P.
(a) Le plan P est l'ensemble des points M de l'espace vériant−−→
AM ·~n = 0. (b) Le plan P admet une équation de la forme ax+by+cz+d= 0 où~n
a b c
. On dit que ax+by+cz+d = 0 est une équation cartésienne du planP.
En pratique, connaissant un point et un vecteur normal à un plan, il y a plusieurs méthodes pour déterminer une équation cartésienne de ce plan. Une des méthodes a été présentée dans l'exemple précédent. Une deuxième méthode est celle de l'exemple suivant.
Exemple : Déterminer une équation cartésienne du plan P passant par le point A(−1; 3; 4) et de vecteur normal~n
−2 1 5
.
Une équation cartésienne du plan P est de la forme −2x+y+ 5z+d= 0 avec d un réel.
Or, le point A appartient au planP donc ses coordonnées vérient cette équation, d'où −2×(−1) + 3 + 5×4 +d= 0.
On en déduit que d=−2−3−20 =−25.
Ainsi, une équation cartésienne du plan P est −2x+y+ 5z−25 = 0.
2x−y−5z+ 25 = 0et −4x+ 2y+ 10z−50 = 0 sont deux autres équations cartésiennes du planP. Remarque : Un plan admet une innité d'équations cartésiennes. Si ax+by+cz+d = 0 est une équation cartésienne du plan P alors, pour tout réel k non nul, kax+kby+kcz+kd= 0 est aussi une équation cartésienne du plan P.
