Université de Picardie Jules Verne Faculté des Sciences
L2 Maths S3 Théorie des Graphes Examen de mars 2012.
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Exercice 1 Soienta, b≥2 deux entiers naturels non nuls. On noteKa,b le graphe biparti complet associé à une bipartition (A, B), où A est un ensemble de a sommets et B un ensemble de b sommets. Compléter, puis prouver, les deux propositions suivantes :
1. Ka,b est eulérien si et seulement si a etb sont ...
2. Ka,b est hamiltonien si et seulement si a et b sont ...
Exercice 2 Soientnetkdes entiers naturels tels quen ≥k≥1et soitGn,k = (Vn,k, En,k) le graphe tel que Vn,k est l'ensemble{(a1, . . . , an) : oùai = 0 ou 1} des n-uplets de{0,1} et où deux sommets sont voisins, si ce sont des n-uplets qui diérent par exactement k coecients.
1. Donner une représentation des graphes Gn,k pour1≤k ≤n≤3.
2. Pour tout couple d'entiers (n, k) tels que 1≤k ≤n, donner le nombre de sommets de Gn,k.
3. Pour tout couple d'entiers (n, k) tels que 1 ≤ k ≤ n, déterminer les degrés des sommets du graphe Gn,k. En déduire le nombre d'arêtes de ce graphe.
4. Montrer queGn,1 est connexe pour tout entier n ≥1.
Exercice 3 Un graphe simple G = (V, E) est décomposable en k arbres couvrants s'il existe une partition(Ei)1≤i≤k deE (E est la réunion disjointe des ensemblesEi) telle que pour tout 1≤i≤k, Ti = (V, Ei) est un arbre.
1. Soit G un graphe simple décomposable en k arbres couvrants. Ecrire une relation liant n=|V|, m=|E| etk. En déduire que si n >1, alors k≤n/2.
2. On suppose de plus que G est régulier. Montrer que 2k est un multiple de n. En déduire que G est un graphe complet et que n est pair.
3. Montrer que le graphe complet K4 est décomposable en deux arbres couvrants.
4. Montrer que pour tout n pair, Kn est décomposable en n/2 arbres couvrants.
Exercice 4 (Algorithme de Dijkstra) Le graphe suivant représente le réseau routier entre les grandes villes d'un pays. Les sommets représentent les villes, les arêtes repré- sentent les routes. Sur chaque arête est indiqué le nombre de kilomètres entre ses deux sommets.
En utilisant l'algorithme de Dijkstra, calculer la distance entre la ville E et les toutes les autres villes.
Quel est le chemin le plus court qui va de la villeE à la ville S? 1
A C
E S
B D
100
350 300
250
150 500
100 300
150
Exercice 5 (Polynôme chromatique) 1. Calculer le polynôme chromatique du graphe ci-dessous (on pourra relier le polynôme chromatique de ce graphe à celui du graphe complet K4).
1 2
4 3
2. Soit k ∈ R. Montrer que le polynôme P(X) = X(X −1)(X −3)(X − k) est le polynôme chromatique d'un graphe si et seulement si k = 2. Dans ce cas, dessiner un graphe dont le polynôme chromatique soit le polynôme considéré.
2
