[b apprentissage par manipulation ; analyse combinatoire c\
Table des Matières
I. Les programmes 1
II. Historique 1
III.Pourquoi enseigner l’analyse combinatoire ? 2
IV. Enseignement de l’analyse combinatoire 2
V. Exemples 3
V. A. Nombre de partie d’un ensemble. . . 3 V. B. Le tiercé . . . 3
VI. Programme en Python des permutations 4
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[b apprentissage par manipulation ; analyse combinatoire c\
I. Les programmes
les notions suivantes : couple, triplet,k-uplet (ouk-liste) ; produit cartésien de deux, trois,kensembles ; ensembleAk desk-uplets d’éléments d’un ensembleA:
• Contenu
– Principe additif : nombre d’éléments d’une réunion d’ensembles deux à deux disjoints.
– Principe multiplicatif : nombre d’éléments d’un produit cartésien. Nombre dek-uplets (ouk-listes) d’un ensemble ànéléments.
– Nombre des parties d’un ensemble ànéléments. Lien avec lesn-uplets de {0, 1}, les mots de longueurnsur un alphabet à deux éléments, les chemins dans un arbre, les issues dans une succession denépreuves de Bernoulli.
– Nombre desk-uplets d’éléments distincts d’un ensemble ànéléments. Définition den! Nombre de permu- tations d’un ensemble fini ànéléments.
– Combinaisons dekéléments d’un ensemble à n éléments : parties àkéléments de l’ensemble. Représenta- tion en termes de mots ou de chemins.
– Pour 06k6n,f or mul es: µ k
n
¶
= n!
(n−k)!k!.
• Capacités attendues :
– Explicitation pourk=0, 1, 2. Symétrie. Relation et triangle de Pascal.
– Dans le cadre d’un problème de dénombrement, utiliser une représentation adaptée (ensembles, arbres, tableaux, diagrammes) et reconnaître les objets à dénombrer.
– Effectuer des dénombrements simples dans des situations issues de divers domaines scientifiques (informa- tique, génétique, théorie des jeux, probabilités, etc.).
• Démonstrations :
– Démonstration par dénombrement de la relation : Pn
k=0
µ k n
¶
=2n.
– Démonstrations de la relation de Pascal (par le calcul, par une méthode combinatoire).
• Approfondissement :
– Combinaisons avec répétitions.
• Exemples d’algorithmes :
– Pour un entierndonné, génération de la liste des coefficients µ k
n
¶
à l’aide de la relation de Pascal.
– Génération des permutations d’un ensemble fini, ou tirage aléatoire d’une permutation.
– Génération des parties à 2, 3 éléments d’un ensemble fini.
II. Historique
Très tôt, les hommes ont voulu compter leurs objets, leurs animaux, etc....
Les premières traces de dénombrement apparaissent sur l’os d’Ishango 20 000 av. J.-C.des encoches montrant ainsi que les hommes comptaient.
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Hipparque, mathématicien et astronome grec (IIesiècle av. J.-C.) a affirmé qu’il y avait 103 049 propositions affirmatives composées à partir de 10 propositions élémentaires :
Combien y a-t-il de façons d’insérer des parenthèse dans une suites de 10 symboles ? Exemple d’illustration du problème : (0)123456789 - (01)23456789 -(012)3456789 - etc..
Le mathématicien indien Bhaskara (1115 ; 1185) a déterminé les coefficients binomiaux (nombre de choix de p éléments parmi n). Gersonide (1288-13344) a écrit le rapport entre le nombre d’arrangements et le nombre de permutations : Apn=p!×Cnp.
Cardan (1501 ; 1576) démontre que le nombre de parties d’un ensemble denéléments est 2n.
Peu de temps après, Blaise Pascal (1623 ; 1662) et Pierre de Fermat (1601 ; 1665) en fondant le calcul des probabilités clarifient les notions de permutations, arrangements et combinaisons. Pascal détermine, à l’aide de son triangle, les coefficients binomiaux.
problème du Chevalier Méré - site acédémie de Limoges
Dans son ouvrage posthumeArs Conjectandi (1713) (l’art de conjecturer), le mathématicien suisse Jacques Bernoulli (1654-1705) définit la combinatoire comme « l’art d’énumérer toutes les possibilités, de combiner, de mélanger entre eux un nombre donné d’objets de sorte qu’aucun groupement formé avec ces objets ne soit omis ».
III. Pourquoi enseigner l’analyse combinatoire ?
• Compter est une préoccupation importantes des Hommes.
• L’interdisciplinarité, en voici des exemples :
– en informatique avec la notion de complexité d’un programme, – en biologie (génétique, problèmes de diffusion endémique) – en chimie (cristallographie, structure des molécules) – en géographie humaine (dénombrement de populations) – en théorie des jeux de hasard (loto, black-jack, poker)
• Disciplinaire : – probabilités, – l’arithmétique, – la théorie des graphes
IV. Enseignement de l’analyse combinatoire
• Très peu de savoirs sont nécessaires pour commencer à résoudre des problèmes de dénombrement.
• Des situations de manipulations simples peuvent permettre de comprendre les concepts de bases de l’analyse combinatoire.
• La modélisation de situation.
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• Apporter de la rigueur dans les démarches : ne pas compter deux fois les mêmes objets par exemple.
• on pourra développer les concepts des raisonnements, disjonctions de cas, raisonnement déductifs, conjectures, contre-exemples, absurde, récurrence.
V. Exemples
V. A. Nombre de partie d’un ensemble
Trouver un exemple simple de manipulations qui détermine le nombre de parties d’un ensemble à 3 éléments : trois cailloux forment les éléments.
Écrire un algorithme associé au problème, généraliser l’algorithme pournéléments.
Conjecture d’une formule pour compter le nombre de partie.
V. B. Le tiercé Le matériel :
• Permutations : nombre d’arrivées et probabilité de gagner sur un cheval placé 1. Organiser les arrivées possibles pournchevaux dansnplaces :
– On place un cheval sur la première place (npossibilités), il resten−1 chevaux à placer pour la deuxième place etc...
– On place tous les chevaux et on organise le dénombrement par permutation des chevaux (permutations de deux chevaux, puis trois, puis quatre, puis cinq : récursivité algorithmique).
• Arrangements : sur cinq chevaux, on s’intéresse au deux premiers en tenant compte de l’ordre, idem pour trois ?
• Combinaison : sur cinq chevaux, on s’intéresse au deux premiers sans tenir compte de l’ordre, idem pour trois ?
• Propriétés des combinaisons, triangle de Pascal : comment obtient-on une combinaison de trois parmi cinq à partir des combinaisons de deux parmi quatre.
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VI. Programme en Python des permutations
1 def PermutationListe1 ( L , repet=False ) :
2 """ Retourne l a l i s t e de toutes l e s permutations de l a l i s t e L (non r é c u r s i f ) .
3 s i repet=True : é limination des r épé t i t i o n s quand L en a ( ex : [ 1 , 2 , 2 ] )
4 """
5 p = [ L ]
6 n = len( L )
7 f o r k in range( 0 , n−1) :
8 f o r i in range( 0 , len(p) ) :
9 z = p [ i ] [ : ] #P [ i ] [ : ] a f f i c h e toute l e s ocurrences de p [ i ]
10 f o r c in range( 0 , n−k−1) :
11 z . append ( z . pop( k ) ) # . pop supprime l ’ é l ément de l a l i s t e e t l ’ a f f e c t à une v ari ab l e ,
12 # i c i on enleve de z l e k ème é l ément et on l ’ ajoute à z ( i l a r r i v e en f i n de l i s t e z )
13 i f repet==False or ( z not in p) :
14 p . append ( z [ : ] ) #z [ : ] a f f i c h e toute l e s ocurrences e t s ’ ajoute à p
15 return p
16 17 ’ ’ ’
18 exemples :
19 permutliste ( [ 1 , 2 , 3 ] ) donne
20 [ [ 1 , 2 , 3 ] , [ 1 , 3 , 2 ] , [ 2 , 3 , 1 ] , [ 2 , 1 , 3 ] , [ 3 , 1 , 2 ] , [ 3 , 2 , 1 ] ]
21
22 permutliste ( [ 1 , 2 , 2 ] ) donne
23 [ [ 1 , 2 , 2 ] , [ 2 , 2 , 1 ] , [ 2 , 1 , 2 ] , [ 1 , 2 , 2 ] , [ 2 , 1 , 2 ] , [ 2 , 2 , 1 ] ]
24 25 ’ ’ ’
26
27 def PermutationListe2 ( L , repet=False , k=0) :
28 """ retourne l a l i s t e de toutes l e s permutations de l a l i s t e L par r é c u r s i v i t é
29 s i repet=True : é limination des r épé t i t i o n s quand L en a ( ex : [ 1 , 2 , 2 ] )
30 """
31 n = len( L )
32 i f k == n−1:
33 return [ ]
34 p = [ ]
35 z = L [ : ]
36 f o r c in range( 0 , n−k ) :
37 i f repet==False or ( z not in p) :
38 p . append ( z [ : ] )
39 p . extend ( PermutationListe2 ( z , repet , k+1) [ 1 : ] )
40 z . append ( z . pop( k ) )
41 return p
42 43 ’ ’ ’
44 exemples :
45 permutliste ( [ 1 , 2 , 3 ] ) donne
46 [ [ 1 , 2 , 3 ] , [ 1 , 3 , 2 ] , [ 2 , 3 , 1 ] , [ 2 , 1 , 3 ] , [ 3 , 1 , 2 ] , [ 3 , 2 , 1 ] ]
47
48 permutliste ( [ 1 , 2 , 2 ] ) donne
49 [ [ 1 , 2 , 2 ] , [ 2 , 2 , 1 ] , [ 2 , 1 , 2 ] , [ 1 , 2 , 2 ] , [ 2 , 1 , 2 ] , [ 2 , 2 , 1 ] ]
50 51 ’ ’ ’
permutations_combinaison.py
Remarque : pour la lecture de l’algorithme, il est possible de manipuler en même temps.
PermutationListe1([’A’,’B’,’C’,’D’,’E’]) ou PermutationListe2([’A’,’B’,’C’,’D’,’E’]) permettent d’obtenir les permutations d’obtenir les résultats.
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