1) f(x) = x2+9x+12
4x+4 Df = ℝ \ { –1}
f est une fonction rationnelle donc dérivable sur son ensemble de définition f '(x)=(2x+9)(4x+4)−(x2+9x+12)(4)
(4x+4)2 = 8x2+8x+36x+36−4x2−36x−48
(4x+4)2 = 4x2+8x−12 (4x+4)2 Pour tout x, (4x+4)2 est positif donc le signe de f ' est celui de 4x2+8x−12
Δ=64−4×4×(−12) = 256 >0 donc deux racines x1=1 et x2=−3 d'où le tableau
x –∞ –3 –1 1 +∞
f '(x) + 0 – – 0 +
f(x)
?
3
4 ?
? 11
4
?
On constate la présence de 4 points d'interrogation qu'il va falloir désormais déterminer . C'est le calcul de limites :
• en +∞ . On est en présence d'une FI . On factorise alors par le terme de plus haut degré :
f (x)=
x2
(
1+x9+12x2)
x
(
4+x4)
=x
(
1+9x+12x2)
4+4 x lim
x→+∞1+9 x+12
x2 = 1 et lim
x→+∞4+4
x =4 et lim
x→+∞x =+∞ d'où par produit et quotient on obteint : lim
x→+∞f (x)=+∞
• en –∞ . Le principe est le même qu'en +∞ . On trouve lim
x→–∞f (x)= –∞
• en –1 . On constate qu'il y a deux limites à calculer : à droite et à gauche de –1
◦ lim
x→−1 x>−1
x2+9x+12 = 4 et lim
x→−1 x>−1
4x+4 = 0+ donc par quotient lim
x→–1 x>–1
f (x) = +∞
◦ lim
x→–1 x<−1
x2+9x+12 = 4 et lim
x→–1 x<–1
4x+4 = 0– donc par quotient lim
x→–1 x<–1
f (x) = –∞
On peut alors compléter le tableau de variation et celui-ci est alors complet
n°1 p94
n°1p94 n°2 p94 n°3 p94 n°4 p94
1) lim
x→+∞f (x) = +∞
lim
x→–∞f (x) = −3
1) lim
x→+∞f (x) = 2 lim
x→–∞f (x) = 2 lim
x→–1 x>−1
f (x) = –∞
lim
x→–1 x<−1
f (x) = +∞
1) lim
x→+∞f (x) = +∞
lim
x→–∞f (x) = –∞
lim
x→1 x>1
f (x) = –∞
lim
x→1 x<1
f (x) = +∞
1) lim
x→+∞f (x) = 2 lim
x→–∞f (x) = 2 lim
x→−2 x<−2
f (x)= +∞
lim
x→−2 x>−2
f (x) = –∞
lim
x→1 x<1
f (x)=−∞
lim
x→1 x>1
f (x)=+∞
2) asymptote horizontale en –∞
d'équation y=– 3
2) asymptote horizontale en ±∞
d'équation y=2 asymptote verticale d'équation x=–1
2) asymptote verticale
en d'équation x=1 2) asymptote horizontale en ±∞
d'équation y = 2 asymptote verticale d'équation x=–2 asymptote verticale d'équation x=1
x –∞ +∞
f '(x) + f(x)
–3
+∞
x –∞ –1 +∞
f ' + +
f 2
+∞
–∞
2
x –∞ 1 +∞
f ' + +
f –∞
+∞ –∞ +∞
Voir ci-dessous
x –∞ –2 0,5 1 +∞
f '(x) + + 0 – –
f(x) 2
+∞
–∞ 1,5
–∞ +∞
2
n°9 p94
n°16 p95
Des limites faciles à déterminer . On est en présence de FI mais la factorisation par le terme de plus haut degré donne la réponse :
1) f(x)=x2+1 1−x =
x2
(
1+x12)
x
(
1x−1)
=x
(
1+x12)
1 x−1
on étudie alors chaque limite et on trouve lim
x→+∞ f (x)=–∞ et lim
x→–∞ f(x)=+∞
2) f(x)= x+3
−2x2+1 =
x
(
1+3x)
x2
(
−2+x12)
=1+3 x x
(
−2+x12)
On étudie alors chaque limite et on trouve lim
x→±∞ f(x)=0 3) même principe et réponse qu'en 2)
4) même principe et réponse qu'en 1)
n°17 p95
1) On besoin ici de connaître la limite de la fonction exponentielle : lim
x→+∞ex=+∞ ( à noter que lim
x→–∞ex=0 ) f(x)=xex√x aucun problème pour cette limite on trouve +∞
2) f(x)=x−√x C'est une FI on factorise comme demandé : f(x)=√x
(
√xx−1)
= √x(√x−1)La limite devient facile : lim
x→+∞ f(x)=+∞
3) f(x)=2x+1
√x C'est une FI on factorise comme demandé : f (x)=
√x
(
2√xx+1
√x
)
√x = 2√x+√1x
la limite est donc +∞
4) f(x)= √x
x+1 C'est une FI on factorise comme demandé : f(x)= √x
√x
(
√xx+1
√x
)
=1
√x+√1x
On trouve alors lim
x→+∞ f(x)=0 n°19 p95
1) lim
x→2 x>2
−3x = –6 et lim
x→2 x>2
2x−4 = 0+ donc par quotient lim
x→2 x>2
f(x) = –∞
2) lim
x→2 x<2
−3x=−6 et lim
x→2 x<2
2x−4 = 0– donc par quotient lim
x→2 x<2
f(x)=+∞
Le signe de 2x−4 peut se justifier à l'aide d'un tableau de signe
x –∞ 2 +∞
signe de2x−4 – 0 +
3) lim
x→3 x>3
x2−10=−1 et lim
x→3 x>3
6−2x=0– donc par quotient lim
x→3 x>3
f(x)=+∞
4) lim
x→3 x<3
x2−10=−1 et lim
x→3 x<3
6−2x=0+ donc par quotient lim
x→3 x<3
f(x)=–∞
Le signe de 6−2x est donné par le tableau suivant :
x –∞ 3 +∞
signe de6−2x + 0 –
n°20 p95 1) lim
x→1(x−1)2=0+ donc par inverse lim
x→1
1
(x−1)2=+∞
2) lim
x→1 2
−2x=−1 et lim
x→1 2
(4x−2)2 = 0+ donc par quotient lim
x→1 2
−2x
(4x−2)2 = –∞
n°28 p96
f(x) = (5−2x)(2+ax)
3x2+5 = 10+5ax−4x−2ax2
3x2+5 = −2ax2+(5a−4)x+10 3x2+5 =
x2
(
−2a+5ax−4+10x2)
x2
(
3+x52)
=
−2a+5a−4 x +10
x2 3+ 5
x2
On peut alors donner la limite de cette fonction : lim
x→+∞f (x)=−2a 3
On veut 8 comme limite donc −2a
3 =8 donne a=−12 n°29 p96
Pour démontrer l'existence de ces asymptotes, on calcule les limites : lim
x→±∞f (x) , lim
x→1,5 x>1,5
f (x) et
lim
x→1,5 x<1,5
f (x).
Les calculs se font comme précédemment on trouve lim
x→±∞f (x)=–1 donc asymptote horizontale y=−1 et lim
x→1,5 x>1,5
f (x) = +∞ et lim
x→1,5 x<1,5
f (x) = –∞ donc asymptote verticale d'équation x = 1,5 A noter qu'une des deux limites précédentes est suffisante
