Les polyèdres.

Solides, figures simples, patrons de solides

Exemple d’activité de géométrie instrumentée réalisable de la fin de l’école primaire au début du cycle central des collèges

.

Toutes ces séances s’articulent à partir d’une même situation de base. Le principe est le suivant : des équipes doivent concevoir la fabrication d’un objet technique (en l’occurrence un polyèdre) à partir d’informations prises sur un modèle exposé. Les savoirs visés sont :

- connaissance des polygones (triangle, rectangle, parallélogramme, trapèze rectangle) comme faces d’un polyèdre.

- capacité à reproduire un polygone superposable à un polygone donné, savoir les noms des polygones et des termes associés (segment, côté, sommet, face, angle droit).

- savoir organiser un ensemble de polygones en vue de la création d’un patron de polyèdre.

- Connaître le nom de quelques polyèdres (pavé droit, pyramide).

Séance 1 : Etablissement de la liste des faces d’un solide.

Séance 2 : Description des faces (carré, rectangle, parallélogramme, losange, trapèze) en vue de leur construction

Séance 3 : Réalisation des faces à partir de la description.

Séance 4 : Tri et analyse des messages. Institutionnalisations : savoir mesurer et tracer un rectangle, un triangle.

Séance 5 : Description d’un parallélogramme et d’un trapèze rectangle en vue de le reproduire.

Séance 6 : Institutionnalisation (construction et description du parallélogramme) et construction (sans institutionnalisation) d’un trapèze rectangle.

1 Document reconstruit par A.Duval et J.Briand à partir d’une observation d’un travail effectué à l’école Jules Michelet de Talence pendant le travail de thèse de Dilma Fregona en 1995.

Les solides sont réalisés par le professeur dans du bristol. (Voir indications de construction en annexe).

Un exemplaire unique de chaque face est réalisé en carton fort (pour servir de gabarit).

Quelques figures « intruses » sont ajoutées (mêmes formes et dimensions légèrement différentes pour qu’un simple regard ne permette pas de les discriminer, 3 mm de différence au moins). Chaque gabarit est identifié par une lettre. Les gabarits sont regroupés sur une grande table autour de laquelle il est possible de circuler et située au fond de la classe (ou mieux dans le couloir). Les emplacements des gabarits sont désignés par leurs contours, tracés sur une feuille de papier qui recouvre la table. Ainsi lorsqu’un gabarit est déplacé, il pourra être remis au même endroit par les élèves. Si un gabarit est momentanément dans les mains d’un élève, un autre élève qui le cherche peut s’assurer que la pièce existe et attendre qu’elle revienne (la trace sera volontairement imprécise de manière à ne pas jouer le rôle du gabarit).

Les traces sont aussi utiles au professeur qui peut ainsi rapidement repérer les éventuels gabarit manquants. Il est important de disposer sur la table tous les gabarit de manière apparemment désordonnée (pas de classement par forme, pas de rapprochement des gabarit en fonction des solides, pas d’identification spatiale possible des intrus). Les figures sont volontairement orientées de manière à éviter que les côtés ne soient parallèles aux bords de la feuille ou de la table (les angles droits ne doivent pas être identifiés à l’aide d’indices exogènes). L’éloignement de la table apporte une nette amélioration de la qualité des messages, car il devient manifeste pour les élèves que seules des informations précises permettent de désigner sans ambiguïté ce qui n’est pas directement visible.

Séance 1 : Etablissement de la liste des faces d’un solide.

Pour chaque élève : une feuille blanche (A4) et des instruments d’écriture et de dessin (crayon, gomme, stylo).

Le professeur présente les gabarits aux élèves qui se sont regroupés autour de la grande table :

« Chaque pièce porte une lettre qui permet de la nommer. Voici par exemple la pièce L.

Chaque pièce est unique. Pour nous permettre de bien les remettre à leur place, la trace des pièces est dessinée ».

Le professeur évoque ce qui se pratique dans les ateliers de fabrication. La trace n’est qu’un repère grossièrement tracé, pour reconnaître au premier coup d’œil où sont rangés les outils et identifier ceux qui ne sont pas rangés. Il montre aussi, sans détailler leur fonction, les instruments de mesure (ils sont déjà connus des élèves : double-décimètre, équerres, compas), eux aussi rassemblés sur une même table.

Puis, lorsque les élèves se sont réinstallés à leurs tables par deux, il distribue à chaque groupe un solide : « Les pièces que vous avez vues correspondent aux faces de ces solides. Elles y sont toutes, il y en a même quelques unes en trop : des intrus ».

Consigne : « Chaque groupe doit écrire la liste de toutes les pièces qu’il faudrait pour recouvrir entièrement son solide. Vous irez regarder les pièces sur la grande table et vous nommerez celles qui vous intéressent par leur nom. Mais attention ! Vous n’avez pas le droit d’emporter le solide avec vous, il doit rester ici sur votre table. Vous n’avez pas le droit non plus d’emporter les pièces ici. Vous pouvez les prendre dans la main pour bien les observer, mais avant de regagner vos places, vous devrez toutes les remettre sur leurs emplacements. Il faudra donc bien vous organiser. Faites le moins de déplacements possibles »

Si les élèves demandent s’ils peuvent mesurer, le professeur répond par l’affirmative. Si des élèves restent trop longtemps inactifs, le professeur les incite à « au moins » aller voir les pièces posées sur la grande table.

Relevé des résultats au tableau : Un groupe vient présenter sa liste et son solide. L’autre équipe ayant le même solide (si besoin on montre à la classe qu’il s’agit bien du même, en superposant chaque face l’une contre l’autre) est appelée à venir comparer sa liste. Dans le cas où elles sont identiques (ou équivalentes), un élève est chargé d’aller chercher toutes les pièces de la commande et de vérifier la validité de la liste en superposant les gabarits et les faces du solide.

Même déroulement pour les autres solides, mais toutes les vérifications ne sont pas effectuées systématiquement (sauf si un doute persiste dans la classe). Il est impératif pour la suite des séances que toutes les listes aient été collectivement vérifiées et éventuellement corrigées.

Puis le professeur demande pourquoi certaines équipes devaient se déplacer plus souvent que d’autres. Il recueille les réponses (il les inscrit au tableau) et demande d’expliquer les écarts :

les solides n’ont pas tous le même nombre de faces différentes, les faces sont plus ou moins familières ou compliquées,

les tactiques des élèves sont plus ou moins efficaces.

De la discussion doit émerger pour les élèves l’idée d’une stratégie économique, en particulier sur les points concernant :

le nombre de faces identiques, la forme de chaque face,

les mesures « caractéristiques » des faces (ici le professeur ne se prononce pas sur les critères permettant ou non de caractériser les figures géométriques, ce sera l’objet des séances suivantes que de permettre aux élèves de le découvrir eux-mêmes, il se contente de relever l’idée qu’il faut mesurer les pièces et les faces pour bien les choisir).

Séance 2 : Description des faces (carré, rectangle, parallélogramme, losange, trapèze) Même composition des groupes. Des chemises cartonnées pour réaliser les faces des solides.

Consigne : « Vous avez vu qu’il n’y a qu’un seul exemplaire de chaque pièce. On ne peut donc pas construire des solides avec. Aujourd’hui nous allons fabriquer d’autres pièces identiques².

Voici votre travail : à partir d’une des listes de la dernière fois, vous allez écrire un message qui doit permettre à un élève qui n’a pas vu le solide correspondant à cette liste, de construire toutes les pièces nécessaires à sa fabrication. Un peu comme l’ingénieur qui fournit les bonnes indications à l’ouvrier pour qu’il fabrique les pièces détachées dont il a besoin. Les indications doivent être précises et suffisamment claires pour que l’ouvrier puisse exécuter son travail même s’il n’a pas vu le prototype à réaliser, même s’il ne connaît pas le produit final. Pour la fabrication de ces solides, vous allez devenir à tour de rôle l’ingénieur et l’ouvrier. Toutes les pièces commandées ou fabriquées doivent correspondre aux pièces de référence qui sont sur la grande table du fond. Pour vérifier les réalisations, on les superposera avec les pièces de référence et on regardera si elles recouvrent bien tout le solide ; on pourra donc voir si les messages étaient ou non assez clairs et précis ».

Tous les groupes sont en même temps des émetteurs (puis des récepteurs pour un autre solide lorsque leur arrive un message).

Le professeur sert de messager (mais n’intervient pas sur le contenu des messages). Le choix des solides est fonction du niveau présumé des groupes (solides 3, 4, 5 et 6 sont plus faciles que 1 et 2 qui mettent en scène des quadrilatères mal connus et qui soulèvent des problèmes particuliers de construction). Naturellement les groupes ayant au préalable travaillé sur les listes des mêmes solides ne doivent pas cette fois faire équipe.

A l’issue de chaque réalisation, le professeur réunit les protagonistes (émetteurs et récepteurs, ingénieurs et ouvriers) pour qu’ils puissent la vérifier à quatre (à l’aide éventuellement des gabarits de référence).

Commentaire :

Le choix de ne pas redonner le solide aux émetteurs, mais uniquement la liste des faces est important : de manière expérimentale il est apparu que les messages sont bien plus pertinents dans ce cas. Sinon, la situation de communication est inutilement perturbée (d’une part à cause des élèves qui mêlent des descriptions et du vocabulaire qui se rapportent aux faces et au solide, d’autre part à cause de la perception directe de l’objet qui renforce la part implicite des descriptions). Il est donc apparu préférable de distinguer une première étape (séance 1) qui permet aux élèves de passer de l’espace (trois dimensions) au plan (deux dimensions) et une seconde étape (séance 2) qui pose clairement le problème de la description d’une figure plane (indépendamment de l’objet complexe à construire). De cette manière, les ambiguïtés

2 Dès le CM2 les élèves devraient être capable de tracer de telles formes géométriques, mais aussi de donner des consignes qui permettent à d’autres élèves de les reproduire

de langage sont limitées : « côté » pouvant désigner une face ou une arête du solide ou encore le bord d’une figure plane ; « sommet » prêtant aussi à confusions.

Comme une telle situation demande du temps (pour écrire les messages d’une part et pour réaliser au moins une face de chaque type d’autre part), il faut prévoir deux séances consécutives (séances 2 et 3) pour mener à bien le projet. Lors de la séance 2, les groupes les plus rapides (ou ayant reçu des solides simples) pourront s’attaquer à une autre réalisation (ou pourquoi pas, seconder les groupes qui ont un grand nombre de faces identiques à fabriquer).

Séance 3 : Réalisation des faces d’un solide à partir d’un descriptif.

Cette séance permet à chaque groupe de terminer la réalisation effective de toutes les pièces (lorsqu’il y en a plusieurs identiques). Mais elle est essentiellement consacrée aux échanges collectif sur l’efficacité des messages (ceux qui ont permis de réussir et ceux qui ne l’ont pas permis). Il s’agit surtout de trier les pièces que l’on peut accepter (par superposition des gabarits, dans les limites d’un millimètre d’erreur de mesure) de celles qui seront rejetées. Les messages sont mis de côté. Ils seront analysés plus tard.

Séance 4 : Tri et analyse des messages. Institutionnalisations et consolidation : savoir mesurer et tracer un polygone.

La séance concerne les seuls messages relatifs aux faces rectangulaires, carrées et triangulaires (ceci n’est pas explicité aux élèves, le professeur parle de « quelques messages »).

Il s’agit tout au long de la séance d’expliciter pour les élèves :

ce que l’on doit savoir dire pour décrire un segment, un carré, un triangle ou un rectangle, ce que l’on doit savoir pour les reproduire ou les construire,

ce que l’on sait déjà et ce que l’on ne sait pas encore, mais que l’on apprendra.

Les interactions seulement verbales ne devront pas durer trop longtemps, il faudra ponctuer le déroulement par de courtes activités individuelles et précises (utiliser un instrument de mesure, construire telle forme à partir d’un message reconnu comme correct, éliminer la redondance d’un message, etc.) qui contribueront à l’identification par tous des savoirs communs et à leur mise en pratique. Certains aspects seront traités collectivement puis immédiatement réinvestis individuellement, d’autres erreurs mineures (ou déjà plusieurs fois bien identifiées) seront traitées sous forme d’exercices individuels.

Exemple de déroulement : Soit un gabarit rectangulaire de 16,7 cm et 5,6 cm. Les élèves sont disposés de la même façon que la dernière fois. Le professeur redistribue les anciens messages aux récepteurs concernés. Il fait analyser ce qui s’est passé les séances précédentes.

« Certains groupes ont réussi, mais pas tous. Savez-vous pourquoi on a refusé certaines pièces ? »

Le professeur trace deux colonnes au tableau dans lesquelles il écrit les difficultés rencontrées d’une part par les ingénieurs, d’autre part par les ouvriers en commençant par celles qui sont relatives au mesurage des côtés. Il conclue « il faut savoir mesurer, donc lire une graduation. Il faut savoir tracer un segment ». Au besoin, il rappelle l’usage de la règle graduée et annonce qu’il faudra (les jours qui suivent) s’entraîner à lire une mesure et à tracer un segment de longueur connue³.

3Le cas échéant, le professeur peut proposer un exercice (5 min) :

Deux séries de feuilles de papier calque (A8). Sur une série sont tracés 3 segments (15,6 cm ; 7,3 cm ; 4,5 cm).

Sur les feuilles de l’autre série sont inscrites ces 3 mêmes mesures (mais les élèves ne savent pas qu’il s’agit des mêmes, le professeur distribue les feuilles sans commenter ce qu’elles contiennent). La classe est partagée en deux groupes distincts dans l’espace-classe. Chaque série est distribuée à une moitié de la classe. Dans le

Puis le professeur reprend l’analyse des messages et l’élaboration du tableau à deux colonnes.

Il relève cette fois les expressions spatiales relatives à l’orientation des figures (« en haut »,

« vers la droite ») : elles n’apportent pas de précision à l’ouvrier puisqu’elles dépendent de la manière dont l’ingénieur tient la pièce (et l’ouvrier ne peut pas connaître cette position). Ces expressions ne font pas partie du vocabulaire des figures géométriques. Il faut les éliminer des messages et des descriptions.

Il continue : « Est ce que tout le monde sait ce qu’est un rectangle ? ». Il traite les éventuelles erreurs d’interprétation et énonce les propriétés (l’égalité des longueurs des côtés opposés et la présence des angles droits). Chaque message relatif aux rectangles est relu et analysé. Le cas échéant, le professeur peut demander à chaque élève de construire un rectangle dans une feuille de papier « informe » afin que ceux-ci aient à réellement contrôler à la fois la mesure des côtés et l’angle droit.

Ensuite, la signification des mots « segment », « angle droit », « rectangle » est précisée (définitions écrites sur le cahier). La construction de l’angle droit est revue (usage de l’équerre).

Puis le professeur poursuit avec les messages des faces carrées et triangulaires (les erreurs proviennent essentiellement du mesurage). Il n’aborde pas les questions relatives aux parallélogrammes, losanges et trapèzes.

Séance 5 : Description d’un parallélogramme en vue de le reproduire.

Analyse de deux messages qui n’avaient pas permis la construction correcte d’un parallélogramme. Il s’agit de faire découvrir aux élèves les erreurs, les insuffisances ou les incohérences des messages et de les amener à les améliorer.

Le professeur affiche au tableau deux messages (réécrits en gros), sans préciser ce qu’ils décrivent comme formes.

Les élèves les lisent à voix haute. Le professeur demande à tous (nombreux sont ceux qui n’ont pas vu les pièces décrites) s’ils ont une idée de la forme de ces deux pièces et s’ils pourraient les construire avec ces indications. Certains élèves viennent au tableau dessiner un croquis.

Le terme « opposés » est précisé et le terme « adjacent » est introduit à partir de la description de rectangles. Lors de la discussion, le professeur utilise le terme général de « quadrilatère ».

Il affiche l’une des pièces concernée par les messages en indiquant le solide auquel elle appartient. Les élèves proposent des formulations pour la décrire (par exemple « un quadrilatère dont deux côtés opposés sont égaux et mesurent 6,2 cm »). Certains élèves précisent : « le quadrilatère est « penché », il n’a pas d’angle droit ». Le professeur fait remarquer que cette indication n’aide pas beaucoup l’ouvrier qui devra fabriquer précisément la pièce.

Petit à petit émerge l’idée que les mesures de deux côtés adjacents sont insuffisantes (on ne sait pas comment « pencher »).

Le professeur renvoie le problème : « comment faire alors ? ».

Il saisit les propositions qui concernent « les mesures au milieu », « l’écart entre les côtés opposés ». Plusieurs solutions sont envisageables : mesure des segments perpendiculaires aux côtés opposés qui reste constante quelque soit le segment tracé ou bien mesure d’une diagonale. Il peut provisoirement retenir le mot « écart » pour désigner la mesure du segment.

premier groupe, les élèves doivent individuellement mesurer leurs 3 segments. Pendant ce temps, les élèves du second groupe doivent individuellement tracer 3 segments dont les longueurs sont inscrites sur leur feuille.

Validation par superposition des calques, rapide correction collective (sans débat). (Une deuxième situation identique avec 3,8 cm ; 9,5 cm et 13, 4 cm pourra être posée un autre jour ou plus tard dans la même journée).

Les élèves savent donc maintenant qu’il faut fournir trois mesures pour construire un parallélogrammes.

En exercice un autre jour : fabriquer un message pour construire la pièce losange. Autre exercice encore un autre jour : construire la pièce à partir de ce message.

Sixième séance : Institutionnalisation (construction et description du parallélogramme) et construction (sans institutionnalisation) d’un trapèze rectangle.

La séance débute par la construction individuelle d’un parallélogrammes (sur une feuille blanche) à partir du message précédent corrigé (validation par superposition du gabarit).

Le professeur demande aux élèves de tracer un trait oblique sur leur feuille pour commencer leur construction. Le professeur précisera au cours de la séance que l’ordre dans lequel on trace les côtés est indifférent.

La correction de cet exercice permet de rappeler de ce qui avait été énoncé et de préciser les méthodes de construction (en particulier pour tracer des côtés parallèles).

Au moins deux méthodes peuvent être traitées :

- Le mot « écart » précédemment introduit sert à la construction des parallèles :

On trace un premier segment (appelons le [AB] ici), puis à l’aide de l’équerre, on trace deux perpendiculaires à [AB], puis on mesure l’écart sur ces deux morceaux de droites et on joint les point (on vérifie les angles droits avec l’équerre).

Ces traits de construction permettent dans un second temps de tracer le côté opposé en reportant avec le compas (ou avec la règle) la mesure des côtés adjacents.

- La méthode dite de « triangulation » par utilisation de la mesure d’une diagonale et la réalisation de deux triangles.

Puis le professeur institutionnalise : ce quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles s’appelle un parallélogramme, ce que nous avions appelé écart la dernière fois s’appelle en géométrie la hauteur du parallélogramme. Il désigne les deux hauteurs qui ont servi à la construction. Il peut faire constater qu’il existe une autre hauteur relative aux autres côtés (il la trace, ce qui surprend les élèves car elle est en partie extérieur à la figure).

Le professeur s’intéresse enfin à la dernière pièce jusque là laissée de côté (le trapèze rectangle). Analyse des deux messages. Essai de dessiner la pièce à partir de ces messages (éventuellement d’abord par un croquis). Le professeur montre le gabarit, chaque élève trace la trapèze (réinvestissement de la méthode des parallèles et de l’usage de l’équerre).

Réinvestissement et suite de ces séances :

fabriquer les patrons des solides à partir de la liste et des pièces correspondantes (elles peuvent être reliées entre elles par du scotch). Plutôt que de fournir un modèle du patron, il est préférable de faire travailler l’anticipation du placement des pièces entre elles (le scotch peut être découpé en cas d’erreur) hors de la présence du solide. Un autre temps d’anticipation peut concerner le placement des languettes qui serviront à fermer le solide (hors de la présence du solide de référence, mais après avoir vérifié que le patron permettait de le recouvrir) .

Autre idée : une fois bien expérimentées toutes les questions que pose la construction d’un solide, reconstruire l’ensemble du patron sur une grande feuille de carton à l’aide des gabarits (l’anticipation concerne les languettes mais aussi le placement des faces sur la grande feuille, en tenant compte des proximités, du nombre de face identiques et des limitations qu’imposent la feuille). La construction étant en général cette fois de meilleure qualité (et réalisée sur du carton blanc), le solide peut servir de support à des décorations (arts plastiques).

Une variante (bien moins riche en apprentissages en géométrie plane mais plus courte) : Phase 1 (20 min) : Les élèves restent à leur place et disposent de tout le matériel (équerre, etc). Un groupe de 2 acheteurs reçoit un solide, il doit commander les pièces à un groupe de 2 vendeurs qui dispose d’une enveloppe contenant les gabarits nécessaires et quelques intrus.

Pour gagner du temps, pendant que les acheteur dressent la liste de leur commande, l’enseignant propose aux vendeurs de se constituer un catalogue des pièces détachées dont ils disposent au magasin.

Au bout de 10 min (que les listes soient ou non terminées), l’enseignant arrête l’activité.

Vérification par le groupe de 4. Correction des listes (erreurs des bons de commande ou des livraisons ou dues au manque de temps). L’enseignant ramasse tous les gabarits et donne à chaque groupe deux enveloppes identiques avec les bonnes pièces. Chaque groupe vérifie le matériel distribué.

Phase 2 (25 min) : Travail par 2 (avec une enveloppe). « On va maintenant fabriquer les solides, vous avez vu qu’il n’y a qu’un seul gabarit de chaque espèce, dans certains cas il faut les reproduire en plusieurs exemplaires pour recouvrir entièrement les solides. Mais je vais vous demander plus encore. Voici une grande feuille cartonnée, chaque groupe va réaliser le patron complet de son solide, en s’aidant des gabarits de l’enveloppe. Le parton doit être en un seul morceau. Vous allez bien regarder votre solide avant de commencer et puis je vais les ramasser » (20 min pour la réalisation). L’enseignant rassemble tous les solides au fond de la classe. Les élèves ont le droit de s’y rendre quand ils en ont besoin.

Phase 3 (10 min) : Affichage des réalisations réussies. Inventaire des causes d’erreur.

Institutionnalisation des termes de géométrie. Début de réflexion sur le fait qu’il peut exister plusieurs patrons pour un même solide. « Pour que chacun puisse s’entraîner, on refera d’autres séances de construction avec les autres solides » (par roulement).

Annexe : solides utilisés :

1- Pavé droit : la base est un losange :

Quatre rectangles identiques : 7 x 4,5 (en cm)

Deux faces sont des losanges dont les côtés mesurent 4,5 cm. La grande diagonale mesure 7,7 cm.

2- Pavé droit : la base est triangulaire : Deux rectangles : 8,5 x 4,7 (en cm) Un rectangle : 8,5 x 4,2

Deux triangles isocèles : (4,7 ; 4,7 ; 4,2)

3- Pavé droit : la base est un parallélogramme : Deux rectangles : 6 x 5,5 (en cm)

Deux rectangles : 2,5 x 5,5

Deux parallélogrammes 6x 2,5 ; la hauteur relative au grand côté mesure 2 cm.

Deux triangles isocèles : (4,7 ; 4,7 ; 4,2)

4- Pyramide à base carrée n°1 Une base carrée de 7,4 cm de côté Quatre triangles isocèles (7,4 ; 7 ; 7)

5- Pyramide à base carrée n°2 Une base carrée de 7,1 cm de côté

Deux triangles rectangles isocèles (10 ; 7,1 ; 7,1) Deux triangles rectangles ( 12,1 ; 10 ; 7,1)

6- Tétraèdre non régulier

Un triangle équilatéral de 5,8 cm de côté Trois triangles isocèles (5,8 ; 4,2 ; 4,2)