Lycée Fénelon Sainte-Marie Classe de MP
Année 2020-2021 Mathématiques
Devoir sur table n°5 (maths) / n°2 (informatique) du jeudi 10 décembre
Durée : 4 heures
Toute calculatrice interdite
Instructions générales : Les candidats sont priés
• de vérifier que le sujet dont ils disposent comporte bien 14 pages (on croirait un sujet de SI !) ;
• de traiter le sujet, classique ou corsé, qui leur incombe :
— sujet classique : problème classique (3 heures) et problème d’informatique commun (1 heure) ;
— sujet corsé : problème corsé (3 heures) et problème d’informatique commun (1 heure) ;
• de traiter les problèmes dans l’ordre qui leur convient le mieux, à condition de respecter scrupuleusement la numé- rotation des problèmes et questions ;
• si possible traiter les problèmes sur des copies différentes.
Enfin, les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
Remarque importante :
Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
Chacun des trois problèmes (classique, corsé, informatique) est long pour le temps imparti.
Ne cherchez pas à répondre à toutes les questions, mais à bien faire.
En particulier prenez 5-10 minutes en début d’épreuve pour tout lire, puis 5-10 minutes en fin d’épreuve pour tout relire.
Bon courage !
Problème classique (3 heures)
Objectifs :on noteF la fonction zeta alternée de Riemann, définie par F(x) =
+∞
X
n=1
(−1)n−1 nx ,
et ζla fonction zeta de Riemann, définie sur]1,+∞[ par ζ(x) =
+∞
X
n=1
1 nx. Ce problème propose une étude croisée de quelques propriétés deF etζ.
Mise à part la partieIII.qui utilise des résultats de la partieI., les parties sont, dans une très large mesure, indépen- dantes.
I. Généralités
1. Déterminer l’ensemble de définition deF.
2. On considère la suite de fonctions(gn)n>1définies par :
∀t∈[0,1[, gn(t) =
n
X
k=0
(−t)k
gn(1) = 1 2
Démontrer que la suite(gn)n∈Nconverge simplement vers une fonctiongcontinue par morceaux sur[0,1], et que l’on déterminera.
Déterminer une fonctionφcontinue par morceaux, positive et telle que|gn(t)|6φ(t)pour toutt∈[0,1].
Démontrer enfin, à l’aide du théorème de convergence dominée version segment, que la suite Z 1
0
gn(t) dt
n
converge vers Z 1
0
g(t) dt.On citera soigneusement les hypothèses de ce théorème.
Prouver queF(1) = Z 1
0
g(t) dt. En déduire la valeur deF(1).
Remarque : on rappelle que la valeur degn en1n’influencera pas le calcul de l’intégrale degnsur [0,1]. En effet, intégrergn sur [0,1]revient à l’intégrer sur [0,1[, et donc
Z 1 0
gn(t) dt= Z 1
0 n
X
k=0
(−t)kdt.
3. Démontrer que la série de fonctions X
n>1
(−1)n−1
nx converge normalement sur [2,+∞[. En déduire la limite deF en+∞.
4. Dérivabilité de F
(a) Soitx >0. Étudier les variations sur]0,+∞[de la fonctiont7→ lnt
tx et en déduire que la suite lnn
nx
n>1
est monotone à partir d’un certain rang (dépendant dex) que l’on précisera.
(b) Pourn>1, on posefn:x7→ (−1)n−1 nx .
Si a est un réel strictement positif, démontrer que la série des dérivéesX
n>1
fn0 converge uniformément sur [a,+∞[.
En déduire que F est une fonction de classeC1 sur]0,+∞[.
5. Lien avec ζ
Calculer, pour x >1,F(x)−ζ(x)en fonction dexet deζ(x). En déduire que : F(x) = (1−21−x)ζ(x).
Puis en déduire la limite de ζ en+∞.
II. Produit de Cauchy de la série alternée par elle-même
On rappelle que le produit de Cauchy de deux sériesX
n>1
an et X
n>1
bn est la sérieX
n>2
cn, oùcn=
n−1
X
k=1
akbn−k. Dans cette partie, on veut déterminer la nature, selon la valeur dex, de la sérieX
n>2
cn(x), produit de Cauchy deX
n>1
(−1)n−1 nx par elle-même.
Cette étude va illustrer le fait que le produit de Cauchy de deux séries convergentes n’est pas nécessairement une série convergente.
Dans toute cette partie,ndésigne un entier supérieur ou égal à2 etxun réel strictement positif.
6. Étude de la convergence
(a) Indiquer sans aucun calcul la nature et la somme, en fonction de F, de la série produit X
n>2
cn(x)lorsque x >1.
(b) Démontrer que, pourx >0,|cn(x)|>4x(n−1) n2x . En déduire, pour0< x6 1
2, la nature de la série X
n>2
cn(x).
7. Cas où x= 1
On suppose, dans cette question 7., quex= 1.
(a) Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle 1 X(n−X). En déduire une expression de cn(x)en fonction de Hn−1
n , oùHn= 1 +1
2 +· · ·+1
n (somme partielle de la série harmonique).
(b) Déterminer la monotonie de la suite
Hn−1 n
n>2
.
(c) Rappeler un équivalent classique deHn (sans démonstration). En déduire la nature de la série X
n>2
cn(x).
III. Calcul de la somme d’une série à l’aide d’une étude deζ au voisinage de1
8. Développement asymptotique en 1
(a) Écrire en fonction deln 2et deF0(1)le développement limité à l’ordre1et au voisinage de1de la fonction F, puis déterminer le développement limité à l’ordre2 et au voisinage de 1 de la fonctionx7→1−21−x. (b) En déduire deux réels aetb, qui s’écrivent éventuellement à l’aide deln 2 etF0(1), tels que l’on ait, pour
xau voisinage de1+ :
ζ(x) = a
x−1+b+o(1).
9. Développement asymptotique en 1 (bis) On considère la série de fonctions X
n>1
vn, oùvn est définie sur[1,2]par
vn(x) = 1 nx−
Z n+1 n
dt tx.
(a) Justifier que, pourn>1 etx∈[1,2], on a :
0 6 vn(x) 6 1
nx − 1 (n+ 1)x.
(b) Justifier que, pour x∈[1,2], la série X
n>1
vn(x)converge. On note alors γ =
+∞
X
n=1
vn(1) (c’est la constante d’Euler).
(c) Exprimer, pourx∈]1,2], la somme
+∞
X
n=1
vn(x)à l’aide deζ(x)et1−x.
(d) Démontrer que la sérieX
n>1
vn converge uniformément sur[1,2](on pourra utiliser le reste de la série).
(e) En déduire que l’on a, pourxau voisinage de1+ : ζ(x) = 1
x−1+γ+o(1).
10. Application
Déduire des résultats précédents une expression, à l’aide de ln 2etγ, de la somme
+∞
X
n=1
(−1)n−1lnn
n .
IV. Calcul des ζ(2k)à l’aide des nombres de Bernoulli
Dans cette partie, on se propose d’établir une formule permettant de calculer la valeur desζ(2k)avec un entierk>1.
Pour cela, on introduit les polynômes et nombres de Bernoulli.
R[X]désigne leR-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.
On identifie un polynôme et sa fonction polynomiale associée.
On dit qu’une suite(Bn)n deR[X]est une suite de polynômes de Bernoulli lorsqu’elle vérifie les propriétés suivantes : B0 = 1, ∀n∈N∗, Bn0 = nBn−1 et
Z 1 0
Bn(t)dt = 0.
On admet qu’il existeune et une seulesuite de polynômes de Bernoulli que l’on notera(Bn)n. On l’appellelasuite de polynômes de Bernoulli.
On posebn=Bn(0),bn est appelé len-ième nombre de Bernoulli.
11. CalculerB1et B2. En déduireb1 etb2. 12. Calculer, pourn>2,Bn(1)−Bn(0).
13. Symétrie
Démontrer que, pour toutn∈N,Bn(X) = (−1)nBn(1−X).
14. Calcul effectif des bn
(a) Démontrer, en utilisant une formule de Taylor, que, pour toutn∈N, on a : Bn(X) =
n
X
k=0
n k
bn−kXk.
(b) En déduire une relation de récurrence permettant de calculer les nombres de Bernoulli sans avoir à déter- miner les polynômes de Bernoulli associés.
M. Cochet.Grâce aux séries de Fourier, on peut prouver que les b2p ouvrent la porte auxζ(2p): ζ(2p) = (−1)p+1×b2p
2 ×(2π)2p (2p)! . Mais ceci est une autre histoire. . .
Problème corsé (3 heures) Notations
• SiK=RouC, pour un polynômeP(X)∈K[X], on noteraP la fonction polynomiale associée àP(X).
• Si deux suites numériques (un)n∈N et (vn)n∈N sont équivalentes, on noteraun ∼
n→+∞vn. De même, si f et g sont deux applications réelles définies au voisinage d’un pointx0et équivalentes enx0, on noteraf(x)∼
x0
g(x). Quand le voisinage sera un voisinage à droite enx0, on précisera f(x) ∼
x+0
g(x).
• On rappelle que leproduit au sens de Cauchyde deux séries (réelles ou complexes)Pun etPvn, est la sériePwn où le terme généralwn est défini pourn>0parwn=
n
X
k=0
ukvn−k. On rappelle aussi que si les sériesPun etPvn
sont absolument convergentes, alors la série produitPwn est aussi absolument convergente et l’on a
+∞
X
n=0
un
! +∞
X
n=0
vn
!
=
+∞
X
n=0
wn.
Objectifs du problème
Ce sujet aborde une série de résultats et de propriétés relatifs à la formule de Stirling1ainsi qu’aux polynômes et nombres dits de Bernoulli2. Il se compose de trois parties.
La partie I s’intéresse aux polynômes et nombres de Bernoulli. On y étudie certaines de leurs propriétés et l’on donne deux applications de cette étude. La première, arithmétique, s’intéresse au calcul des sommes du type
N
X
k=0
kp. La deuxième, analytique, est consacrée au développement en série entière de la fonctiont7→ text
et−1.
Dans la partie II, on introduit la fonctionζde Riemann3et l’on explicite ses valeurs prises sur les entiers positifs pairs au moyen des nombres de Bernoulli. Ce calcul permet, avec la formule de Stirling, d’expliciter un équivalent simple pour la suite des nombres de Bernoulli.
Dans la partie III, on revient à la formule de Stirling et l’on décrit une méthode pour obtenir un raffinement asymptotique de la formule.
Les parties de ce sujet ne sont pas indépendantes, chacune d’elles pouvant utiliser des résultats établis dans celles qui la précèdent. Aussi pourra-t-on utiliser pour traiter certaines questions, les résultats établis dans les questions précédentes sans les démontrer. Il est toutefois vivement conseillé aux candidats d’aborder linéairement ce sujet.
I. Polynômes et nombres de Bernoulli
I.1. Définitions
I.1.(a) SoitP(X)∈R[X]. Montrer qu’il existe un unique polynômeQ(X)∈R[X]tel queQ0=P et Z 1
0
Q(x) dx= 0.
I.1.(b) En déduire qu’il existe une unique suite de polynômes réels(Bn(X))n∈Nvérifiant
• B0(X) = 1;
• ∀n>1, Bn0 =nBn−1;
• ∀n>1, Z 1
0
Bn(x) dx= 0.
On appelle(Bn(X))n∈
Nla suite despolynômes de Bernoulli. Pour toutn>0, on posebn =Bn(0). La suite de réels (bn)n∈Nest appelée suite des nombres de Bernoulli.
I.1.(c) ExpliciterBn(X)etbn pourn= 0,1,2,3.
1. James, mathématicien anglais, Garden 1692 - Edimbourg 1770
2. Jakob (francisé en Jacques), mathématicien suisse, premier d’une longue lignée familiale de mathématiciens. Bâle 1654 - Bâle 1705.
3. Georg Friedrich Bernhard, mathématicien allemand, Breselenz 1826 - Selasca 1866
I.2. Premières propriétés.
I.2.(a) Quel est le degré deBn(X)pourn>0?
I.2.(b) Montrer que, pour toutn>2, on aBn(0) =Bn(1).
I.2.(c) Prouver par récurrence, que, pour toutn>0et toutx∈R, on a Bn(x) =
n
X
k=0
n k
bn−kxk
où n
k
désigne le coefficient binomial : n
k
= n!
k!(n−k)!.
I.2.(d) En déduire, pourn>1, une expression debn en fonction deb0, . . . , bn−1. Calculer alorsb4.
I.2.(e) Montrer que la suite (bn)n∈N est une suite de rationnels et que, pour n > 0, les polynômes Bn(X) sont à coefficients rationnels.
I.2.(f) Pour toutn>0, on pose
Cn(X) = (−1)nBn(1−X).
Montrer, en utilisant la définition des polynômes de Bernoulli, que pour toutn>0, on aCn(X) =Bn(X).
I.2.(g) En déduire que
• ∀n>1, b2n+1= 0
• ∀n>0, B2n+1 1 2
= 0.
II. Fonction ζ de Riemann et nombres de Bernoulli.
II.1. Fonction ζ
On appellefonction ζ de Riemann (réelle) la fonction de la variables∈Rdéfinie par la formule ζ(s) =X
n>1
1 ns.
II.1.(a) Soits >0. Montrer que, pour tout entierk>1, on a 1 (k+ 1)s 6
Z k+1 k
dx xs 6 1
ks.
En déduire que la nature (divergence ou convergence) de lasuite d’intégrales Z n
1
dx xs
n∈N
est la même que celle de la série X
n>1
1 ns.
II.1.(b) Donner le domaine de définition deζ et prouver qu’elle est strictement décroissante sur celui-ci.
II.1.(c) Montrer queζ(s) ∼
s→1+
1
s−1 et en déduire lim
s→1+ζ(s).
II.1.(d) Soita >1un réel. Montrer que la série X
n>1
1
ns est normalement convergente sur [a,+∞[. En déduire queζ est continue sur son domaine de définition et que lim
s→+∞ζ(s) = 1.
II.1.(e) Montrer que, pour touts >0, la série X
n>1
(−1)n+1
ns converge. On note θ(s)sa somme. Prouver que, pour tout s >1, on a
θ(s) =
1− 1 2s−1
ζ(s).
II.2. Calcul de ζ(2p).
Pour toute fonction continuef : [0,1]→Cet toutk∈Z, on définit lek-ième coefficient de Fourier def par : ck(f) =
Z 1 0
f(x)e−2ikπxdx.
On admet sans démonstration que, sif etg sont deux fonctions continues de[0,1]dansC, alors on a : Z 1
0
f(x)g(x) dx=X
k∈Z
ck(f)ck(g)
oùz7→z¯désigne la conjugaison complexe.
II.2.(a) Calculer, pour toutk∈Zet toutn∈N, le coefficientck(Bn).
On distinguera le cas où k= 0 : puis pour k∈Z∗, on traitera déjà n= 0 etn= 1, et on établira une relation de récurrence entre ck(Bn) etck(Bn−1).
II.2.(b) En utilisant le fait queBn est un polynôme à coefficients réels, démontrer que, sik∈Zet n∈N, alors ck(Bn) =c−k(Bn).
II.2.(c) Soientn,m>1deux entiers. Montrer que Z 1
0
Bn(x)Bm(x) dx=
+∞
X
k=1
(c−k(Bn)ck(Bm) +ck(Bn)c−k(Bm))
et en déduire la valeur de cette intégrale au moyen des valeurs de la fonction ζ.
Indication : on distinguera les casn+m pair etn+mimpair.
II.2.(d) Pourp>1, calculer Z 1
0
B1(x)B2p−1(x) dxen intégrant par parties. En déduire que
ζ(2p) = (−1)p+1b2p
2 (2π)2p
(2p)! . II.2.(e) Donner les valeurs deζ(2)etζ(4).
À l’aide deζ(2), calculer alors les valeurs des sommes
+∞
X
n=1
(−1)n+1 n2 , et
+∞
X
n=0
1 (2n+ 1)2.
II.2.(f) En utilisant les questions II.1.(d) et II.2.(d) ainsi que la formule de Stirling, montrer que b2p ∼
p→+∞(−1)p+1 p πe
2p
p16πp.
Problème d’informatique commun (1 heure)
L’épreuve est à traiter en langage Python, sauf les questions sur les bases de données qui seront traitées en langage SQL. La syntaxe de Python est rappelée en Annexe, page 14. Les différents algorithmes doivent être rendus dans leur forme définitive sur la copie en respectant les éléments de syntaxe du langage (les brouillons ne sont pas acceptés).
Bien que largement indépendante, la partie III fait appel aux données et à la définition de fonctions définies dans la partie II. La réponse ne doit pas se cantonner à la rédaction de l’algorithme sans explication, les programmes doivent être expliqués et commentés.
Intelligence artificielle – application en médecine Partie I — Présentation
L’Intelligence Artificielle est de plus en plus utilisée dans de nombreux domaines divers et variés. Les techniques d’apprentissage machine, qui permettent à un logiciel d’apprendre automatiquement à partir de données au lieu d’être explicitement programmé, fournissent des résultats impressionnants. Les applications sont nombreuses dans la reconnaissance d’image, la compréhension de la parole ou de textes, dans l’assistance à la décision, dans la classification de données, dans la robotique... L’Intelligence Artificielle progresse également dans le domaine de la santé. Le logiciel Watson développé par IBM peut analyser les données d’un patient : ses symptômes, ses consultations médicales, ses antécédents familiaux, ses données comportementales, ses résultats d’examen, etc. Il établit alors une prévision de diagnostic le plus vraisemblable et propose des options de traitement en s’appuyant sur une base de données établie sur un grand nombre de patients.
Objectif
L’objectif du travail proposé est de découvrir quelques techniques d’Intelligence Artificielle en s’ap- puyant sur un problème médical. À partir d’une base de données comportant des propriétés sur le bassin et le rachis lombaire (figures 1), on cherche à déterminer si un patient peut être considéré comme « normal » ou bien si ces données impliquent un développement anormal de type hernie dis- cale (saillie d’un disque intervétébral) ou spondylolisthésis (glissement du corps vertébral par rapport à la vertèbre sous-jacente).
Figures 1– Différentes configurations des vertèbres Le sujet abordera les points suivants :
— analyse et représentation des données,
— prédiction à l’aide de la méthode KNN,
Dans tout le sujet, il sera supposé que les modules python numpy, matplotlib.pyplot sont déjà importés dans le programme.
Partie II — Analyse des données
La base de données médicale contient des informations administratives sur les patients et des informations médicales.
Pour simplifier le problème, on considère deux tables : PATIENT et MEDICAL. La table PATIENT contient les attributs suivants :
— id : identifiant d’un individu (entier), clé primaire ;
— nom : nom du patient (chaîne de caractères) ;
— prenom : prénom du patient (chaîne de caractères) ;
— adresse : adresse du patient (chaîne de caractères) ;
— email : (chaîne de caractères) ;
— naissance : année de naissance (entier).
La table MEDICAL contient les attributs suivants :
— id : identifiant d’un ensemble de propriétés médicales (entier), clé primaire ;
— data1 : donnée (flottant) ;
— data2 : donnée (flottant) ;
— . . . ;
— idpatient : identifiant du patient représenté par l’attribut id de la table PATIENT (entier) ;
— etat : description de l’état du patient (chaîne de caractères).
Les attributs data1, data2, . . . sont des données relatives à l’analyse médicale souhaitée (dans notre cas des données biomécaniques). L’attribut « etat » permet d’affecter un label à un ensemble de données médicales : « normal »,
« hernie discale », « spondylolisthésis ».
Q1. Écrire une requête SQL permettant d’extraire les identifiants des patients ayant une « hernie discale ».
Q2. Écrire une requête SQL permettant d’extraire les noms et prénoms des patients atteints de « spondylolisthésis ».
Q3. Écrire une requête SQL permettant d’extraire chaque état et le nombre de patients pour chaque état.
Une telle base de données permet donc de faire de nombreuses recherches intéressantes pour essayer de trouver des liens entre les données des patients et une maladie. Cependant, compte-tenu du nombre d’informations disponibles, il est nécessaire de mettre en place des outils pour aider à la classification de nouveaux patients. C’est l’objet des algorithmes d’Intelligence Artificielle développés dans la suite. Pour l’étude qui va suivre, on extrait de la base de données les attributs biomécaniques de chaque patient que l’on stocke dans un tableau de réels (codés sur 32bits) à N lignes (nombre de patients) et n colonnes (nombre d’attributs, égal à6 dans notre exemple). On nomme data ce tableau. L’état de santé est stocké dans un vecteur de tailleN contenant des valeurs entières (codées sur8 bits) correspondant aux différents états pris en compte (0: normal,1: hernie discale,2: spondylolisthésis). On le nomme : etat.
Les variablesdataetetat sont stockées dans des objets de typearrayde la bibliothèque Numpy. Des rappels quant à l’utilisation de ce module Python sont donnés dans l’Annexe, page 14.
Q4. Citer un intérêt d’utiliser la bibliothèque de calcul numérique Numpy quand les tableaux sont de grande taille.
Q5. Déterminer la quantité de mémoire totale en Mo (1Mo = 1 000 000 octets) nécessaire pour stocker le tableau et le vecteur des données si N = 100 000. On supposera que les données sont représentées en suivant la norme usuelle IEEE754.
Les6attributs considérés dans notre exemple (les ncolonnes du tableau) sont définis ci-après :
— angle d’incidence du bassin en degrés ;
— angle d’orientation du bassin en degrés ;
— angle de lordose lombaire en degrés ;
— pente du sacrum en degrés ;
— rayon du bassin en mm ;
— distance algébrique de glissement de spondylolisthésis en mm.
Les labels de ces attributs sont stockés dans une liste nommée :
label_attributs = [’incidence_bassin’, ’orientation_bassin’, ’angle_lordose’,
’pente_sacrum’, ’rayon_bassin’, ’glissement_spon’].
Le tableau suivant montre les premières valeurs du tableaudata.
incidence_bassin orientation_bassin angle_lordose pente_sacrum rayon_bassin glissement_spon
63,03 22,55 39,61 40,48 98,67 −0,25
39,06 10,06 25,02 29,0 114,41 4,56
68,83 22,22 50,09 46,61 105,99 −3,53
69,3 24,65 44,31 44,64 101,87 11,21
49,71 9,65 28,32 40,06 108,17 7,92
40,25 13,92 25,12 26,33 130,33 2,23
48,26 16,42 36,33 31,84 94,88 28,34
Tableau 1 – Données (partielles) des patients à diagnostiquer
Avant de traiter les données pour réaliser une prédiction (ou diagnostic), il peut être intéressant de les visualiser en traçant un attribut en fonction d’un autre attribut et en utilisant des motifs différents selon les valeurs du vecteur etat.
On obtient, à partir des données exploitées, les courbes de lafigure 2(zoom sur lafigure 3).
Figure 2– Répartition des données
Figure 3– Zoom sur les figures de coordonnées(1,1)et (1,2)de la matrice de répartition des données (figure 2) Cette figure est une matrice dont le terme(i, i)de la diagonale est l’histogramme des fréquences de l’attributiet les termes extra-diagonaux(i, j)représentent l’attributien fonction de l’attributj pour chaque ligne du tableaudata.
Sur les figures hors diagonale, on représente chaque donnée d’attributien fonction de l’attributjà l’aide d’un symbole dépendant de l’état du patient (un rond ’o’ si l’état du patient est normal, une croix ’x’ si l’état est « hernie discale » et une étoile ’*’ si l’état est « spondylolisthésis »).
Pour réaliser cette figure, il faut séparer les données en fonction de l’état du patient afin d’affecter un symbole par état. Ceci revient à classer les patients en plusieurs groupes.
Q6. Écrire une fonctionseparationParGroupe(data,etat)qui sépare le tableaudataen3sous-tableaux en fonction des valeurs du vecteuretat correspondantes (on rappelle que celui-ci contient les valeurs0,1et2uniquement).
La fonction doit renvoyer une liste de taille 3de sous-tableaux. Les sous-tableaux ne seront pas nécessairement représentés par un type’array’;’liste de listes’,’liste d’array’conviennent également.
Partie III — Apprentissage et prédiction avec l’algorithme KNN
Principe de la méthode KNN
La méthode KNN est une méthode d’apprentissage dite supervisée ; les données sont déjà classées par groupes claire- ment identifiés et on cherche dans quels groupes appartiennent de nouvelles données.
Le principe de la méthode est simple. Après avoir calculé la distance euclidienne entre toutes les données connues des patients et les données d’un nouveau patient à classer, on extrait les K données connues les plus proches. L’appar- tenance du nouveau patient à un groupe est obtenue en cherchant le groupe majoritaire, c’est-à-dire, le groupe qui apparaît être le plus représentatif parmi les Kdonnées connues.
On noteXi,i∈[[0, n−1]], le vecteur colonneidu tableau de donnéesdata, c’est-à-dire les valeurs prises par l’attribut i des données des patients déjà classées. On cherche à déterminer à quel groupe appartient un nouveau patient dont les attributs sont représentés par unn-uplet zde valeurs notées(z0, z1, . . . , zn−1).
Préparation des données
Avant de calculer la distance euclidienne, il est préférable de normaliser les attributs pour éviter qu’un attribut ait plus de poids par rapport à un autre. On choisit de ramener toutes les valeurs des attributs entre0 et1.
Une technique de normalisation consiste à rechercher pour chaque attributX le minimum (Min (X)) qui est placé à 0 et le maximum (max(X)) qui est placé à 1. On note alors Xnorm un des vecteurs colonne X après normalisation (toutes les valeurs deXnorm sont donc comprises entre0 et1).
Q7. Proposer une expression de xnormj un élément du vecteur Xnorm en fonction de l’élément xj du vecteur X correspondant et deMin (X)etmax(X).
Q8. Écrire une fonction min_max(X)qui retourne les valeurs du minimum et du maximum d’un vecteur X passé en argument. La fonction devra être de complexité linéaire.
Q9. Écrire une fonction distance(z,data)qui parcourt lesN lignes du tableau dataet calcule les distances eucli- diennes entre len-upletzet chaquen-upletxdu tableau de données connues (xreprésente une ligne du tableau).
La fonction doit renvoyer une liste de taille N contenant les distances entre chaquen-uplet xet len-upletz.
Détermination des K plus proches voisins
Pour déterminer lesKplus proches voisins avecKun entier choisi arbitrairement, il suffit d’utiliser un algorithme de tri efficace. La listeT à trier est une liste de listes à2 éléments contenant :
— la distance entre len-uplet à classer et unn-uplet connu (on trie par ordre croissant sur ces valeurs) ;
— la valeur de l’état correspondant aun-uplet connu.
On retient l’algorithme suivant : 1 def tri(T) :
2 if len(T) <= 1 :
3 return T
4 else :
5 m = len(T) // 2
6 tmp1 = [ ]
7 for x in range(m) :
8 tmp1.append(T[x])
9 tmp2 = [ ]
10 for x in range(m, len(T)):
11 tmp2.append(T[x])
12 return interclassement( tri(tmp1), tri(tmp2) ) 13
14 def interclassement(T1, T2) : 15 if T1 == [ ] :
16 . . . ] ligne 1 à compléter 17 if T2 == [ ] :
18 . . . ] ligne 2 à compléter 19 if T1[0][0] < T2[0][0] :
20 return [T1[0]] + interclassement(T1[1:],T2) 21 else :
22 . . . ] ligne 3 à compléter
Q10. Donner le nom de ce tri ainsi que son intérêt par rapport à un tri par insertion. Préciser un inconvénient du programme proposé par rapport à ce tri.
Q11. Préciser les lignes 1à3 de la fonctioninterclassementpour que l’algorithme de tri soit fonctionnel.
L’algorithme de la méthode KNN est décrit par la fonction python suivante : 1 def KNN( data, etat, z, K, nb ) :
2 ] partie 1 3 T = [ ]
4 dist = distance( z, data ) 5 for i in range( len(dist) ) : 6 T.append( [dist[i],i] ) 7 tri(T)
8
9 ] partie 2
10 select = [0] * nb 11 for i in range(K) :
12 select[ etat [T[i][1] ] ] += 1 13
14 ] partie 3
15 ind = 0
16 res = select[0]
17 for k in range( 1, nb ) : 18 if select[k] > res : 19 res = select[k]
20 ind = k
21 return ind
L’entier Kreprésente le nombre de voisins proches retenus, nbcorrespond au nombre d’états (3 dans notre exemple) et zcorrespond aux attributs du patient à classer.
Q12. Expliquer ce que font globalement les parties1(lignes3à7),2(lignes10à12) et3(lignes15à21) de l’algorithme.
Préciser ce que représentent les variables locales T, dist,select,ind.
Validation de l’algorithme
Pour tester l’algorithme, on utilise un jeu de données supplémentaires normalisées dont l’état des patients est connu (100 patients). On note datatestces données et etattestle vecteur d’état connu pour ces patients. On applique ensuite l’algorithme sur chaque élément de ce jeu de données pour une valeur deK fixée.
On définit la fonction suivante qui renvoie une matrice appelée « matrice de confusion ».
1 def test_KNN ( datatest, etattest, data, etat, K, nb ) : 2 etatpredit = [ ]
3 for i in range ( len (datatest) ) :
4 res = KNN( data, etat, datatest[i], K, nb ) 5 etatpredit.append ( res )
6
7 mat = np.zeros(( nb, nb ))
8 for i in range( len(etattest) ) :
9 mat[ etattest[i], etatpredit[i] ] += 1 10 return mat
On obtient pourK= 8la matrice suivante :
23 4 7
7 11 1
5 2 40
.
Q13. Indiquer l’information apportée par la diagonale de la matrice. Exploiter les valeurs de la première ligne de cette matrice en expliquant les informations que l’on peut en tirer. Faire de même avec la première colonne. En déduire à quoi sert cette matrice.
On peut tracer l’efficacité de l’algorithme pour différentes valeurs deK sur le jeu de données test (100 éléments sur un échantillon de310 données). On trace le pourcentage de réussite en fonction de la valeur deKsur lafigure 4.
Figure 4– Pourcentage de réussite de l’algorithme en fonction deK Q14. Commenter la courbe obtenue et critiquer l’efficacité de l’algorithme.
Q15. Calculer (approximativement) la complexité de la procédureKNN.
Annexe : rappel des syntaxes en Python
Python
tableau à une dimension L=[1,2,3] (liste)
v=array([1,2,3]) (vecteur)
accéder à un élément v[0] renvoie 1 (L[0] également)
ajouter un élément L.append(5) uniquement sur les listes
tableau à deux dimensions (matrice) M=array([[1,2,3],[3,4,5]])
accéder à un élément M[1,2] donne 5
extraire une portion de tableau (2 premières colonnes) M[ :,0 :2]
extraire la colonne i M[ :,i]
extraire la ligne i M[i, :]
tableau de 0 ( 2 lignes, 3 colonnes) zeros((2,3))
dimension d’un tableau T de taille (i, j) T.shape donne [i,j]
produit matrice-vecteur a = array( [ [ 1,2,3 ], [ 4,5,6 ], [ 7,8,9 ] ] )
b = array( [ 1,2,3 ] ) print( a.dot ( b ) )
> array( [ 1 4 , 3 2 , 5 0 ] ) séquence équirépartie quelconque de 0 à 10.1 (exclus) par pas de 0.1 arange(0, 10.1, 0.1)
définir une chaîne de caractères mot=’Python’
taille d’une chaîne len(mot)
extraire des caractères mot[2 :7]
boucle For for i in range( 10 ) :
print ( i )
condition If if ( i >3) :
print ( i ) else :
print ( ’hello’ ) définir une fonction qui possède un argument et renvoie 2 résultats def f( param ) :
a = param b = param*param return a, b
tracé d’une courbe de deux listes de points x et y plot(x,y)
tracé d’une courbe de trois listes de points x, y et z gca(projection=’3d’).plot(x,y,z) ajout d’un titre sur les axes d’une figure xlabel(texte)
ylabel(texte)
ajout d’un titre principe sur une figure title(texte)
Lycée Fénelon Sainte-Marie Classe de MP
Année 2020-2021 Mathématiques
Devoir sur table n°5 du jeudi 10 décembre — éléments de correction
Problème classique — d’après CCINP 2008 MP maths 1
I. Généralités 1. Soit x∈ R. Si x >0, alors la suite
1 nx
n>1
tend vers0 en décroissant. D’après le critère spécial des séries alternées, la série X
n>1
(−1)n−1
nx converge pour toutx >0 . Si par contrex60, alors la suite
(−1)n−1 nx
n>1
ne
converge pas vers0. Ainsi six60alors la sérieX
n>1
(−1)n−1
nx diverge grossièrement . 2. Pour |−t|<1, la série géométriqueX
(−t)n converge et sa somme vaut
+∞
X
k=0
(−t)k= 1
1−(−t) = 1
1 +t. Ainsi la suite (gn)n converge simplement vers la fonctiong:t7→ 1
1 +t sur[0,1[.
Par ailleurs, pour tout entier natureln, on agn(1) = 1
2, et donc la suite(gn(1))converge vers 1
2. On remarque que 1
2 =g(1), donc(gn(1))converge versg(1).
On peut finalement conclure :
La suite(gn)converge simplement sur[0,1]vers la fonctiong:t7→ 1
1 +t, continue sur[0,1].
Vérifions les trois hypothèses du théorème de convergence dominée :
• La suite(gn)n converge simplement vers la fonctiong sur[0,1].
• La fonction g et les fonctionsgn sont continues par morceaux sur[0,1](g est même continue !).
• Hypothèse de domination. Soit t∈[0,1[, alors
|gn(t)| =
1−(−t)n+1 1 +t
= 1−(−t)n+1
1 +t 6 2
1 +t
déf= φ(t)
et cette majoration reste vraie ent= 1 puisque|gn(1)|=1
2 61 = 2 1 + 1.
La fonction φest indépendante den, positive, continue par morceaux (et même continue) sur[0,1].
D’après le théorème de convergence dominée, la suite Z 1
0
gn
n
converge vers Z 1
0
g(t)dt .
Or Z 1
0
gn(t)dt=
n
X
k=0
(−1)k k+ 1 =
n+1
X
k=1
(−1)k−1
k , doncF(1) = Z 1
0
g(t)dt=h
ln(1 +t)i1
0= ln 2.
Finalement :
+∞
X
n=1
(−1)n−1
n = ln 2.
3. Soitn>1etx>2, et notonshn(x) = (−1)n−1
nx . Alors|hn(x)|=
(−1)n−1 nx
6 1
n2. Ainsikhnk[2,+∞[∞ 6 1 n2. Or la série X
n>1
1
n2 est indépendante dexet convergente (Riemann), d’où X
n>1
hn converge normalement sur[2,+∞[.
On en déduit qu’elle converge uniformément sur [2,+∞[. Comme, pour toutn>2, (−1)n−1
nx −−−−−→
x→+∞ 0 et que, pour n= 1, (−1)n−1
nx = 1, le théorème de la double limite permet d’affirmer que
F(x) =
+∞
X
n=1
(−1)n−1
nx −−−−−→
x→+∞
+∞
X
n=1 x→+∞lim
(−1)n−1 nx = 1
c’est-à-dire que la limite de F en+∞existe et vaut1. 4. Dérivabilité de F
(a) Soit x > 0. La fonction hx : t 7→ lnt
tx est de classe C∞ sur ]0,+∞[ et h0x(t) = tx−1(1−xlnt)
t2x . Donc h0x est négative sur l’intervalle [e1/x,+∞[ et positive sur]0, e1/x]. Donchx est décroissante sur[e1/x,+∞[ et croissante sur]0, e1/x].
On en déduit que la suite lnn
nx
n>1
est décroissante à partir du rangE e1/x + 1. (b) Pourfn:x7→(−1)n−1e−xlnn qui est de classeC1, il vientfn0(x) = (−1)nlnn
nx . Soita >0. On pose Na = E e1/a
+ 1. Pour toutx>a, la suite lnn
nx
n>Na
tend vers0 en décroissant.
Ainsi la série alternée X
n>Na
fn0(x)converge et, pourn>Na, son reste d’ordren,ρn(x), vérifie :
|ρn(x)| 6
(−1)n+1ln(n+ 1) (n+ 1)x
6 ln(n+ 1) (n+ 1)a.
Par conséquentkρnk[a,+∞[∞ = supx>a|ρn(x)|6 ln(n+ 1)
(n+ 1)a −−−−−→
n→+∞ 0. On en déduit que la série X
n>1
fn0 converge uniformément sur[a,+∞[. Appliquons le théorème de dérivation terme à terme d’une série de fonctions :
• Pour toutn>1, la fonction fn est de classeC1 sur]0,+∞[.
• la série X
n>1
fn converge simplement sur]0,+∞[et sa somme estF.
• La série X
n>1
fn0 converge uniformément sur tout segment inclus dans]0,+∞[.
D’après le théorème de dérivation terme à terme, la fonction F est de classeC1sur]0,+∞[ et
∀x >0, F0(x) =
+∞
X
n=1
(−1)nlnn nx .
5. Lien avec ζ
Pour x > 1, il vient F(x)−ζ(x) =
+∞
X
n=1
(−1)n−1−1
nx =
+∞
X
k=1
−2
(2k)x =−21−x
+∞
X
k=1
1
kx =−21−xζ(x). On en déduit l’égalité : F(x) = (1−21−x)ζ(x).
Or 21−x−−−−−→
x→+∞ 0, doncF(x)∼ζ(x)au voisinage de+∞et finalement ζ(x)−−−−−→
x→+∞ 1 (question 3.).
II. Produit de Cauchy de la série alternée par elle-même 6. Étude de la convergence
(a) Lorsquex >1, la sérieX
n>1
(−1)n−1
nx converge absolument. Ainsi la série produit de Cauchy deX
n>1
(−1)n−1 nx
par elle-même converge absolument et sa somme vaut :
+∞
X
n=1
(−1)n−1 nx
!2
= (F(x))2 .
(b) Pourx >0, nous avonscn(x) = (−1)n−2
n−1
X
k=1
1
[k(n−k)]x. Ork7→k(n−k)est maximum quandk= n 2 et la somme comporten−1 termes, donc|cn(x)|=
n−1
X
k=1
1
[k(n−k)]x >(n−1) 1
[(n/2)2]x =(n−1)4x n2x . Pour0< x6 1
2 fixé, la quantité(n−1)4x
n2x =n−1
n2x 4xa une limite strictement positive (finie ou non) lorsque n→+∞. Ainsi la suite(cn(x))nne converge pas vers0. Finalement la série X
n>2
cn(x)diverge grossièrement . 7. Cas où x= 1
(a) Sans détour 1
X(n−X)= 1 n
1 X + 1
n−X
. Par conséquent
cn(1) = (−1)n−2
n−1
X
k=1
1
k(n−k) = (−1)n−21 n
n−1
X
k=1
1 k+ 1
n−k
= (−1)n−21 n
n−1
X
k=1
1 k +
n−1
X
k=1
1 n−k
!
= 2(−1)n−21 n
n−1
X
k=1
1 k
d’où cn(1) = 2(−1)n−2Hn−1 n . (b) Monotonie
Remarquons que Hn−1
n − Hn
n+ 1 = (n+ 1)Hn−1−nHn
n(n+ 1) = (n+ 1)Hn−1−n(Hn−1+n1)
n(n+ 1) = Hn−1−1 n(n+ 1) ≥ 0.
Ainsi la suite
Hn−1 n
n>2
est décroissante . (c) Il est de notoriété publique que Hn ∼
n→+∞lnn. On en déduit que la suite
Hn−1
n
n>2
converge vers0en décroissant. Finalement d’après le CSSA et la question (a) : la série alternée X
n>2
cn(1)converge .
III. Calcul de la somme d’une série à l’aide d’une étude deζ au voisinage de1 8. Développement asymptotique en 1
(a) On poseh=x−1. La fonctionF est dérivable en1, donc il vient au voisinage de1 : F(x) = F(1) +hF0(1) +o(h) = ln 2 +hF0(1) +o(h).
Par ailleurs :1−21−x= 1−e−hln 2=hln 2−ln22
2 h2+o(h2)au voisinage dex= 1. D’où : F(x) = ln 2 +F0(1)(x−1) +o(x−1) et 1−21−x= (ln 2)(x−1)−ln22
2 (x−1)2+o (x−1)2 .
(b) Développement de ζ
D’après les questions 5. et 8.(a) :
ζ(x) = 1
1−21−xF(x) = ln 2 +hF0(1) +o(h) hln 2−ln22
2 h2+o(h2)
= 1
hln 2
ln 2 +hF0(1) +o(h) 1−ln 2
2 h+o(h)
= 1
hln 2(ln 2 +hF0(1) +o(h))
1 +ln 2
2 h+o(h)
= 1
hln 2
ln 2 +h
F0(1) +ln22 2
+o(h)
= 1
h+
F0(1) ln 2 +ln 2
2
+o(1).
En revenant à la variablex:
ζ(x) = 1 x−1 +
F0(1) ln 2 +ln 2
2
+o(1) .
9. Développement asymptotique en 1 (bis)
(a) Pourn>1 etx∈[1,2], la fonctiont7→ 1
tx est décroissante sur [n, n+ 1]qui est un intervalle de longueur 1, donc en intégrant : 1· 1
(n+ 1)x 6 Z n+1
n
dt
tx 61· 1
nx. On en déduit que : 06vn(x)6 1
nx − 1 (n+ 1)x . (b) Pourx∈[1,2], la suite
1 nx
n>1
est convergente de limite nulle. Or par télescopage
n
X
k=1
1
kx − 1 (k+ 1)x
= 1− 1
(n+ 1)x,
donc la série X
n>1
1
nx − 1 (n+ 1)x
converge. Grâce à l’encadrement du 9.(a), on obtient par comparaison de séries à termes positifs la convergence deX
n>1
vn(x)sur[1,2]. Notons en particulierγ=
+∞
X
n=1
vn(1).
(c) Pourx∈]1,2], nous avons
n
X
k=1
vk(x) =
n
X
k=1
1 kx −
Z n+1 1
dt tx =
n
X
k=1
1 kx −
t−x+1
−x+ 1 n+1
1
=
n
X
k=1
1 kx + 1
x−1
1
(n+ 1)x−1 −1
puis par passage à la limite quandn→+∞etxfixé dans]1,2]:
+∞
X
n=1
vn(x) = ζ(x)− 1 x−1 .
(d) D’après la question 9.(b), la série X
n>1
vn converge simplement sur [1,2]. Pour x ∈ [1,2] fixé, on note
Rn(x) =
+∞
X
k=n+1
vk(x)le reste d’ordre nde la série. D’après 9.(a) et par télescopage, le reste vérifie
0 6 Rn(x) 6
+∞
X
k=n+1
1
kx − 1 (k+ 1)x
= 1
(n+ 1)x − lim
k→+∞
1
kx = 1
(n+ 1)x 6 1 (n+ 1)1.
Par conséquentkRnk[1,2]∞ 6 1
n+ 1. Ainsi la série X
n>1
vn converge uniformément sur[1,2].
(e) Afin de démontrer queζ(x)− 1
x−1 admet une limite γ en1, nous allons utiliser l’égalité obtenue dans la question 9.(c).
Pourx∈]1,2], nous avons par définition :vn(x) = 1 nx − 1
1−x 1
nx−1− 1 (n+ 1)x−1
. Par ailleursvn(1) = 1
n−ln(n+ 1) + lnn. Étudions la continuité devn en1.
En posanth=x−1, nous avons d’une part 1 nx = 1
n+o(1)et d’autre part : 1
1−x 1
nx−1 − 1 (n+ 1)x−1
= 1
h
e−hlnn−e−hln(n+1)
= 1
h
(1−hlnn+o(h))−(1−hln(n+ 1) +o(h)
= ln(n+ 1)−lnn+o(1).
Par conséquentvn(x) = 1
n+ ln(n+ 1)−ln(n) +o(1). Il s’ensuit que vn est continue en1. On en déduit que la série X
n>1
vn est une série de fonctions continues sur [1,2]. Par ailleurs la convergence uniforme sur[1,2]entraîne la continuité de sa somme sur[1,2].
D’où ζ(x)− 1 x−1 =
+∞
X
n=1
vn(x)−→
x→1 +∞
X
n=1
vn(1) =γ (par définition deγ). Finalement comme espéré ζ(x) = 1
x−1+γ+o(1)au voisinage de1+. 10. Application
Par unicité du développement limité en1+(éventuellement en multipliant par(x−1)), on déduit de 8.(b) et 9.(e) les égalitésa= 1 et F0(1)
ln 2 +ln 2
2 =b=γ. D’oùF0(1) = ln 2
γ−ln 2 2
.
Enfin d’après la formule du 4.(b) donnantF0(x):
+∞
X
n=1
(−1)n−1lnn
n =−F0(1) = ln 2 ln 2
2 −γ
.
IV. Calcul des ζ(2k)à l’aide des nombres de Bernoulli
11. Nous avonsB10 = 1et B0= 1, donc il existek∈Rtel queB1=X+k. Alors0 = Z 1
0
(t+k) dt= 1
2 +k. Donc k=−1
2 et B1=X−1 2 .
Par ailleursB20 = 2B1= 2X−1, donc il existe`∈Rtel queB2=X2−X+`. Alors0 = Z 1
0
(t2−t+`) dt= 1 3−1
2+`.
Donc`=1
6 et B2=X2−X+1 6 . De plus b1=B1(0) =−1
2 etb2=B2(0) = 1 6 . 12. Pour n > 2, Bn(1)−Bn(0) =
Z 1 0
Bn0(t) dt =n Z 1
0
Bn−1(t) dt d’où Bn(1)−Bn(0) = 0pour toutn>2 (car n−1>1).
13. Symétrie
Posons An = (−1)nBn(1−X). On va montrer que(An)n est une suite de polynômes de Bernoulli. L’unicité admise d’une telle suite donnera le résultat attendu.
• LesAn sont des polynômes réels.
• A0=B0= 1.
• ∀n∈N∗, A0n= (−1)n(−1)Bn0(1−X) = (−1)n−1nBn−1(1−X) =nAn−1.
• ∀n∈N∗, Z 1
0
An(t) dt= (−1)n Z 1
0
Bn(1−t) dt =
u=1−t(−1)n Z 1
0
Bn(u) du= 0.
Finalement Bn(X) = (−1)nBn(1−X)pour toutn∈N. 14. Calcul effectif des bn
(a) Par récurrence, on vérifie queBn est de degrén.
Ensuite, d’après la formule de Taylor pour les polynômes : Bn(X) =
n
X
k=0
B(k)n (0) k! Xk. Or par récurrence, pour tout k∈[[0, n]],Bn(k)=n(n−1)· · ·(n−k+ 1)Bn−k = n!
(n−k)!Bn−k. DoncBn(X) =
n
X
k=0
n!Bn−k(0)
(n−k)!k!Xk c’est-à-dire Bn(X) =
n
X
k=0
n k
bn−kXk .
(b) Soitn>2. D’après la question 12. il vientbn =Bn(0) =Bn(1) =
n
X
k=0
n k
bn−k, donc
n
X
k=1
n k
bn−k = 0.
On en déduit : bn−1=−1 n
n
X
k=2
n k
bn−k=−1 n
n−2
X
k=0
n k
bk.
Finalement, pour toutn>q: bn=− 1 n+ 1
n−1
X
k=0
n+ 1 k
bk .
Problème corsé — d’après CAPES externe de mathématiques 2009 I. Polynômes et nombres de Bernoulli
I.1. Définitions
I.1.(a) SoitP ∈R[X].
Le polynômeQcherché est nécessairement une primitive du polynômeP. Pour x∈R, posons donc Q0(x) =
Z x 0
P(t) dt; Q0 est la primitive de P qui s’annule en0.Q0 est un polynôme et les primitives deP sont les polynômesQ=Q0+λ,λ∈R. De plus,
Z 1 0
Q(t) dt= 0⇐⇒
Z 1 0
(Q0(t) +λ) dt= 0⇐⇒λ=− Z 1
0
Q0(t) dt.
Ceci montre l’existence et l’unicité d’un polynômeQvérifiantQ0 =P et Z 1
0
Q(t) dt= 0, à savoir, le polynôme
Qtel que ∀x∈R, Q(x) = Z x
0
P(t) dt− Z 1
0
Z x 0
P(t) dt
dx.
I.1.(b) • B0existe, est un polynôme et est défini de façon unique.
• Soitn∈N∗. Supposons avoir démontré l’existence et l’unicité du polynôme Bn−1. Alors, d’après la question précédente, il existe un polynôme Bn et un seul tel que Bn0 =nBn−1 et
Z 1 0
Bn(x) dx= 0.
On a montré par récurrence l’existence et l’unicité de la suite de polynômes(Bn)n∈
N.
On appelle(Bn(X))n∈Nla suite despolynômes de Bernoulli. Pour toutn>0, on posebn =Bn(0). La suite de réels (bn)n∈Nest appelée suite des nombres de Bernoulli.
I.1.(c) • B0(X) = 1 et b0= 1.
• Il existe a ∈ R tel que B1(X) = X +a. De plus, 0 = Z 1
0
(x+a) dx = 1
2 +a et donc a = −1
2. Par suite B1(X) =X−1
2 et b1=−1 2 .
• B02(X) = 2B1(X) = 2X−1et donc il existea∈Rtel queB2(X) =X2−X+a. De plus,0 = Z 1
0
(x2−x+a) dx= 1
3 −1
2+aet donca= 1
6. Par suite B2(X) =X2−X+1
6 et b2= 1 6 .
• B03(X) = 3B2(X) = 3X2−3X+1
2 et donc il existea∈Rtel queB3(X) =X3−3 2X2+1
2X+a. De plus, 0 =
Z 1 0
x3−3
2x2+1 2x+a
dx= 1 4 −1
2 +1
4+aet donca= 0. Par suite B3(X) =X3−3 2X2+1
2X et b3= 0.
I.2. Premières propriétés.
I.2.(a) B0est de degré0et si, pourn∈N∗,Bn−1est de degrén−1, alorsBn0 =nBn−1 est de degrén−1∈NpuisBn est de degré n. On a montré par récurrence que Pour toutn∈N,Bn est de degrén.
I.2.(b) Soitn>2.
Bn(1)−Bn(0) = Z 1
0
Bn0(x) dx=n Z 1
0
Bn−1(x) dx= 0 car n−1>1.
Finalement ∀n>2, Bn(0) =Bn(1) .
I.2.(c) Soitn∈N∗. On note tout d’abord que pourk∈[[1, n]],Bn(k)=n(n−1)· · ·(n−k+ 1)Bn−k= n!
(n−k)!Bn−k, ce qui reste vrai pourk= 0puisn= 0.
La formule de Taylor pour les polynômes permet alors d’écrire Bn(X) =
n
X
k=0
Bn(k)(0) k! Xk =
n
X
k=0
n!
(n−k)!
Bn−k(0) k! Xk =
n
X
k=0
n k
bn−kXk.
Ainsi ∀n∈N, ∀x∈R, Bn(x) =
n
X
k=0
n k
bn−kxk.
I.2.(d) Soitn>1. L’égalité Z 1
0
Bn(t) dt= 0fournit
n
X
k=0
n k
bn−k
k+ 1 = 0et donc ∀n∈N∗, bn=−
n
X
k=1
n k
bn−k
k+ 1. On trouve
b4=−
4×b3
2 + 6×b2
3 + 4×b1
4 +b0
5
=−
0 +1 3 −1
2+1 5
=−1 30
Finalement : b4=−1 30.
I.2.(e) b0= 1est un rationnel et si, pourn>1, on abk∈Qpour toutk6n−1, alorsbn=−
n
X
k=1
n k
bn−k
k+ 1 ∈Q. Ceci montre par récurrence que : pour toutn∈N,bn est un rationnel .
Soit n ∈ N. Les nombres n
k
bn−k, 0 6 k 6 n, sont rationnels et donc le polynôme Bn est à coefficients rationnels.
I.2.(f) Pour toutn>0, on pose
Cn(X) = (−1)nBn(1−X).
• C0(X) =B0(X) = 1;
• Pour n>1,Cn0(X) = (−1)n(−Bn0(1−X)) = (−1)n−1nBn−1(1−X) =nCn−1(X);
• Pour n>1, Z 1
0
Cn(x) dx= (−1)n Z 1
0
Bn(1−x) dx= (−1)n Z 0
1
Bn(t) (−dt) = 0.
Par unicité de la suite (Bn)n∈N, on en déduit : ∀n∈N, Cn(X) =Bn(X). Il s’ensuit que ∀n∈N, Bn(1−X) = (−1)nBn(X).
I.2.(g) Soitn∈N. D’après ce qui précède,B2n+1(1−X) =−B2n+1(X) (∗).
En évaluant en 1
2, on obtientB2n+1
1 2
=−B2n+1
1 2
et doncB2n+1
1 2
= 0.
Soit n ∈ N∗. En évaluant en 0 les deux membres de l’égalité (∗), on obtient aussi B2n+1(1) = −B2n+1(0).
Mais d’après la question I.2.(b), pour p > 2, on a Bp(1) = Bp(0) et en particulier, puisque 2n+ 1 > 1, B2n+1(1) =B2n+1(0). On en déduitB2n+1(0) =−B2n+1(0)et donc queb2n+1=B2n+1(0) = 0.
Par conséquent ∀n∈N, B2n+1
1 2
= 0 et ∀n∈N∗, b2n+1= 0.
II. Fonction ζ de Riemann et nombres de Bernoulli.
II.1. Fonction ζ
On appellefonction ζ de Riemann (réelle) la fonction de la variables∈Rdéfinie par la formule ζ(s) =X
n>1
1 ns.
