Composition A X-ENS 2015 - MP

Composition A X-ENS 2015 - MP

Pournsupérieur à 1, l’espace des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal ànest notéRn[X].

Étant donnés deux polynômes non nulsP et Qà coefficients réels, leur plus grand commun diviseur (pgcd) unitaire est notéP∧Q.

Si r est un second entier supérieur à 1, Mr,n(R) désigne l’espace vectoriel des matrices à r lignes et n colonnes à coefficients réels. La notationM = (mij) signifie que le coefficient à la ligneiet colonnej de la matriceM estmij. On noteMn(R) =Mn,n(R) etIn la matrice identité deMn(R).

Pour M dans Mn(R), on note χM son polynôme caractéristique et ^tM sa transposée. On note Sn(R) (respectivementOn(R)) l’ensemble des matrices symétriques réelles (resp. orthogonales) de taille n. Étant donné unn-uplet (a₁, . . . , a_n) de réels ∆(a₁, . . . , a_n) désigne la matrice diagonale associée :

∆(a1, . . . , an) =







 a1

. .. a_n







 .

Si M appartient àSn(R), son spectre est réel. On convient de ranger ses valeurs propres (comptées avec leurs ordres de multiplicité) dans l’ordredécroissant. On note alors Sp(M) = (λ1≥ · · · ≥λn) et Sp(M) est donc unn-upletordonné.

Unn+ 1-upletλb= (λ1, . . . , λn+1)∈Rⁿ⁺¹ et unn-uplet bµ= (µ1, . . . , µn)∈Rⁿ, ordonnés, sont ditenlacés siλj ≥µj ≥λj+1 pour tout j dans J1;nK. Ils sont ditsstrictement enlacés siλj > µj > λj+1 pour tout j.

Par exemple, (4,3,2,1) et (π, e,√

2) sont strictement enlacés.

Questions préliminaires

1.(a) Montrer queOn(R) est un sous-groupe du groupe GLn(R) des matrices inversibles.

(b) Montrer que On(R) est une partie compacte deMn(R)

2. SoitM etN dansSn(R). Montrer qu’il existeU dansOn(R) tel queN=U M U⁻¹ si et seulement si χM =χN.

3. Soitbλ= (λ1≥ · · · ≥λn+1)∈Rⁿ⁺¹ et µb= (µ1≥ · · · ≥µn)∈Rⁿ. Soitxun réel. Formons λb⁰= (λ₁≥ · · · ≥λ_i ≥x > λ_i+1≥ · · · ≥λ_n+1)

en choisissant l’entier i dans J0;n+ 1K convenablement. Si x > λi on a donc i = 0, tandis que si x≤λn+1, on a i=n+ 1. On forme de même

bµ⁰= (µ₁≥ · · · ≥µ_j≥x > µ_j+1≥ · · · ≥µ_n).

On suppose queλbet µbsont enlacés. Montrerj≤i≤j+ 1. En examinant chacun des deux casj =i ouj=i−1, montrer queλb⁰ et bµ⁰ sont enlacés.

PARTIE I

Soit bµ = (µ1 >· · · > µn) ∈ Rⁿ. On se donne des entiers mk supérieurs ou égaux à 1 pour k dans J1;nK. On poseQ=

n

Y

k=1

(X−µ_k)^mk et pourj dansJ1;nK,P_j = Q X−µj

. 4. On suppose dans cette question et la suivante que tous lesmk sont égaux à 1.

(a) Montrer que la famille (Q, P1, P2, . . . , Pn) est une base deRn[X].

(b) Soit j dansJ1;nK. Vérifier (−1)^j−1Pj(µj)>0.

5. SoitP dansR[X] un polynôme unitaire de degrén+ 1.

(a) Montrer qu’il existe un unique vecteur (a, α1, α2, . . . , αn) dansRⁿ⁺¹ tel que P = (X−a)Q−

n

X

j=1

α_jP_j . (1)

(b) On suppose que les nombres réels α1, . . . , αn sont tous strictement positifs. Montrer queP an+ 1 racines réelles distinctesλ1>· · ·> λn+1et quebλ= (λ1>· · ·> λn+1) etbµsont strictement enlacés.

(c) Réciproquement on suppose que P a n+ 1 racines réelles distinctes λ1 >· · · > λn+1 et que bλ= (λ1>· · ·> λn+1) et bµsont strictement enlacés. Montrer que, pour toutj dansJ1;nK,αj>0.

6. On revient au cas général, i.e.m_k quelconques. MontrerQ∧Q⁰ =

n

Y

k=1

(X−µ_k)^mk−1. 7. Soit (a, α₁, α₂, . . . , α_n) dansRⁿ⁺¹ et soitP dansR[X] défini par la formule

P = (X−a)Q−

n

X

j=1

αjPj.

(a) Donner une expression de P ∧Q en fonction des µ_j, des m_j et de l’ensemble J des indices pour lesquelsα_j= 0.

(b) On suppose que les nombresα1, . . . , αn sont positifs ou nuls.

Montrer que les racines deP sont toutes réelles.

On admettra par la suite que, dans ce cas le plus général, le (N + 1)-uplet des racines de P et le N-uplet des racines deQsont enlacés.

PARTIE II

8. Soitretsdeux entiers naturels non nuls. SoitAdansMr(R),BdansMr,s(R),CdansMs,r(R) etD dansMs(R). On suppose de plus queAest inversible. On considère la matriceM deMr+s(R) ayant la forme par blocs suivante

M = A B

C D

! .

Trouver deux matricesU dansMr,s(R) etV dansMs(R) telles que

M = A 0

C I_s

! I_r U

0 V

!

et en déduire

det(M) = det(A) det(D−CA⁻¹B).

On pourra admettre par la suite que cette formule reste vraie lorsque M et ses blocs A, . . . , D sont à coefficients dans le corpsR(X)des fractions rationnelles.

9. SoitM dansSn+1(R) une matrice symétrique. On écritM sous la forme par blocs

M = A y

ty a

!

avecaréel,y dansMn,1(R) etAdansSn(R).

(a) Si le spectre de A est Sp(A) = (µ1 ≥ · · · ≥ µn), montrer qu’il existeU dans On+1(R) et z dans Mn,1(R) tels que

U M^tU = ∆(µ1, . . . , µn) z

tz a

! .

(b) En déduire qu’il existe des nombres réels positifs ou nulsαj, pour j dansJ1;nK, tels que χ_M = (X−a)Q₀−

n

X

j=1

α_j Q₀ X−µj

, oùQ₀=

n

Y

k=1

(X−µ_k).

(c) Montrer que Sp(M) et Sp(A) sont enlacés.

10. PourT = (tij)∈Mn+1(R), on noteT_≤n la matrice extraite de taillendont les coefficients sont lestij

pour 1≤i, j≤n. SoitM dansSn+1(R). Montrer que l’ensemble Sp (U M U⁻¹)_≤n 

U ∈On+1(R) , notéCM, est une partie compacte deRⁿ.

11. On suppose de plus que les valeurs propres deMsont distinctes. On a donc Sp(M) = (λ1>· · ·> λn+1).

(a) Soit µb= (µ1>· · ·> µn) tel que Sp(M) etµbsoient strictement enlacés. Montrer que µbappartient àCM.

(b) Montrer

CM ={µb|Sp(M) etµbsont enlacés} . (2) PARTIE III

On considère l’application Diag_n deSn(R) dansRⁿ envoyantM = (mij) sur (m11, m22, . . . , mnn).

SoitM dansSn(R). Dans cette partie, on se propose d’étudier l’ensemble suivant D_M =

Diag_n(U M U⁻¹)

U∈On(R) . 12. On étudie d’abord le cas n= 2. On note alors Sp(M) = (λ1≥λ2).

Montrer queDM est le segment deR²dont les extrémités sont (λ₁, λ₂) et (λ₂, λ₁).

13. Soit M = (m_ij) dansSn(R). On note Sp(M) = (λ₁≥ · · · ≥λ_n)∈Rⁿ. On se propose de démontrer que, pour toutsdansJ1;nK, on a :

s

X

i=1

mii≤

s

X

i=1

λi. (3)

(a) Que pensez-vous du cass=n? (b) Exprimer

n−1

X

i=1

mii au moyen des valeurs propres de la matrice M_≤n−1 obtenue en supprimant la dernière ligne et la dernière colonne deM. En déduire l’inégalité (3) lorsques=n−1.

(c) En procédant par récurrence surn, montrer l’inégalité (3) pour toutsdansJ1;nK. PARTIE IV

14. On noteEl’espace vectorielR²muni du produit scalaire standard et de la base canoniqueB={e₁, e₂}.

On définit une baseC={ω1, ω2}deE parω1=e1 etω2=¹₂(e1+√ 3e2).

(a) Soit s₁ la symétrie orthogonale par rapport à la droiteRω₁. Montrer que la matrice des₁ dans la baseC est 1 1

0 −1

! .

(b) Soit s2 la symétrie orthogonale par rapport à la droiteRω2. Montrer que la matrice des2 dans la baseC est −1 0

1 1

! .

15. Soit H l’ensemble des vecteurs (m1, m2, m3) deR³ tels que m1+m2+m3= 0. On noteH⁺ le sous- ensemble des (m1, m2, m3) deH tels quem1 ≥m2≥m3. On considère l’applicationϕdeH dansE donnée par

ϕ(m1, m2, m3) = (m1−m2)ω1+ (m2−m3)ω2. (a) Montrer queϕest un isomorphisme linéaire. Décrireϕ(H⁺).

(b) Montrer que, pour tout (m1, m2, m3) dansH, on a

s1◦ϕ(m1, m2, m3) = (m1, m3, m2) et s2◦ϕ(m1, m2, m3) = (m2, m1, m3). (c) Soit λb = (λ₁, λ₂, λ₃) ∈H tel que λ₁ > λ₂ > λ₃. On note Q

bλ l’ensemble des (m₁, m₂, m₃) de H⁺ tels quem₁≤λ₁ etm₁+m₂≤λ₁+λ₂. Montrer queϕ(Q

b^λ

) est un quadrilatère dont on décrira les sommets.

16. Soit M dansS3(R) une matrice de trace nulle. On note Sp(M) = (λ₁ ≥λ₂≥λ₃). On se propose de décrireϕ(DM).

(a) Soit (m₁, m₂, m₃) dans H. Soit σ une permutation de {1,2,3}. Montrer (m₁, m₂, m₃) ∈ D_M ⇐⇒

(m_σ(1), m_σ(2), m_σ(3))∈ DM.

(b) En utilisant la question 13, montrer que l’intersectionH⁺∩ D_M est incluse dans Q b^λ

.

(c) Soit (m₁, m₂, m₃) dans D_M. Montrer que le segment de H dont les sommets sont (m₁, m₂, m₃) et (m₂, m₁, m₃) est inclus dansD_M. On pourra utiliser la question 12.

De même, montrer que le segment de H dont les sommets sont (m1, m2, m3) et (m1, m3, m2) est inclus dansDM.

(d) Montrer que DM contientQ bλ.

(e) Montrer que siλ1> λ2> λ3 alorsϕ(DM) est un hexagone, dont on déterminera les sommets.