Cours de mathématiques
Chapitre 15
Barycentres
Motivation : sachant que la balance suivante est en équilibre, quel est la valeur du poidsm?
m 150kg
6m 2m
Le terme de barycentre est formé sur la racine grecque barus (lourd) pour désigner un centre des poids ou centre d’équilibre. Sa conception est liée au théorème des moments découvert par Archimède au IIIe siècle av. J.-C.
Pour que la balance soit en équilibre, il faut que les moments, c’est-à-dire les produits des longueurs de bras par les masses correspondantes, soient égaux. Autrement dit le point d’équili- bre est caractérisé par la relation : m1 × OA = m2 × OB. Ce principe des moments est d’ailleurs utilisé dans la balance dite romaine.
Les poids peuvent également avoir une valeur numérique négative, si l’une des masses est rem- placée par un ballon d’hélium, par exemple. Dans ce cas, le point d’équilibre se situe en dehors de l’espace délimité par les deux objets.
Aymar de Saint-Seine Année scolaire 2011–2012
1. B ARYCENTRE DE DEUX POINTS PONDÉRÉS
1.1. Définition
Définition 1 : Barycentre
On appelle barycentre de deux points pondérés(A, α)et(B, β)avecα+β 6= 0le point Gtel que :
α−GA−−−−→+β−GB−−−−→=→0.
Exercice résolu 1 :
Soit[AB]un segment, construire le barycentreGde(A,3)et(B,2).
Solution : Par définition, le pointGvérifie :
3−GA−−−−→+ 2−GB−−−−→=→0.
Malheureusement, cette relation ne nous donne pas directement des informations sur la posi- tion deG. Transformons l’égalité grâce à la relation de Chasles. On obtient :
3−GA−−−−→+ 2(−GA−−−−→+−AB) =−−−−→ →0 donc5−GA−−−−→=−2−AB−−−−→
−−−−−→
AG= 2 5
−−−−−→
AB.
Pour placer le pointG, on divise le segment[AB]en5parties de longueurs égales.
A G B
Remarques :
1. • Physiquement,G est le point d’équilibre de la balance munie des pointsAet B avec les masses respectivesαetβ.
• Mathématiquement, la notion est étendue à des coefficients qui peuvent être négatifs.
• En mécanique, le barycentre peut aussi s’appeler le centre d’inertie, le centre de grav- ité ou le centre de masse.
2. Pour toute la suite, on se place dans le cas oùα+β 6= 0.
3. cas particuliers :
• Siα = 0etβ 6= 0, la relation devientβ−GB−−−−→=→0 d’oùG=B
• Siβ = 0etα6= 0, la relation devientα−GA−−−−→=→0 d’oùG=A
• Siα = β, la relation devient −GA−−−−→+−GB−−−−→ = →0, ce qui signifie que Gest le milieu du segment[AB]. On dit dans ce cas queGest l’isobarycentre du système.
Exemple : Solution de l’exercice de motivation :
Or,−GA−−−−→=−3−GB−−−−→donc :
−3m−GB−−−−→+ 150−GB−−−−→=→0 (−3m+ 150)−GB−−−−→=→0
−3m+ 150 = 0 m= 50kg
1.2. Caractérisation du barycentre
Théorème 1 :
Gest le barycentre des points(A, α)et(B, β)si, et seulement si pour toutM du plan on a :
α−M A−−−−−−→+β−M B−−−−−−→= (α+β)−M G.−−−−−−→ En particulier, si on prendM =A, on a :
−−−−−→
AG= β α+β
−−−−−→
AB.
Démonstration :Gest le barycentre des points(A, α)et(B, β)donc, on a : α−GA−−→+β−GB−−−→=→0.
On utilise la relation de Chasles :
α(−GM−−−−→+−M A) +−−−−→ β(−GM−−−−→+−M B) =−−−−→ →0 d’où :
α−M A−−−−→+β−M B−−−−→+ (α+β)−GM−−−−→=→0
α−M A−−−−→+β−M B−−−−→= (α+β)−M G−−−−→
Démonstration : siM =A, la relation devient :
α−AA−−→+β−AB−−→= (α+β)−AG−−→
soit β
α+β
−−−→
AB=−AG−−→
Exemple : Si on reprend l’exemple 1, en appliquant le theorème et en faisant M = A, on a directement :
3−AA−−−−→+ 2−AB−−−−→ = (3 + 2)−AG−−−−→ 2−AB−−−−→ = 5−AG−−−−→ 2
5
−−−−−→
AB = −AG−−−−→
Ce qui permet d’obtenir plus rapidement la relation permettant de placer le pointG.
1.3. Propriétés du barycentre
Théorème 2 : Homogénéité
Le barycentre de deux points reste inchangé lorsqu’on multiplie tous les coefficients par un même nombre non nul.
Démonstration : SiGest barycentre de(A, α)et(B, β), alorsα−GA−−→+β−GB−−−→=→0. On peut mulitplier l’égalité park, et on obtient :k×α−GA−−→+k×β−GB−−−→=→0. Cette dernière égalité indique queGest aussi
barycentre de(A, kα)et(B, kβ).
Exemple : SoitGle barycentre des points(A,34)et(B,−12), alors :
• Gest aussi le barycentre des points(A,3)et(B,−2)
• Gest aussi le barycentre des points(A,−300)et(B,200)
Théorème 3 : Associativité
On ne change pas le barycentre de plusieurs points en remplaçant certains d’entre eux par leur barycentre affecté de la somme (non nulle) des coefficients correspondants.
Autrement dit, si G est le barycentre de (A, α); (B, β) et (C, γ) alors G est aussi le barycentre de(A, α)et(D, β+γ)oùDest le barycentre de(B, β)et(C, γ).
Exemple :G=bar{(A,1),(B,2),(C,3)}=bar{(G′,3),(C,3)}oùG′ =bar{(A,1),(B,2)}.
Et finalement, on s’aperçoit queGest le milieu de[G′C].
2. B ARYCENTRE DE 3 POINTS ET PLUS
Définition 2 :
On appelle barycentre de trois points pondérés(A, α),(B, β)et(C, γ)avecα+β+γ 6=
0le pointGtel que :
α−GA−−−−→+β−GB−−−−→+γ−GC−−−−→=→0
Exercice résolu 2 :
Soient A, B et C, trois points du plan. Construire le barycentre G de (A,2), (B,−1) et C(−2).
Solution : Le pointGvérifie :
2−GA−−−−→−−GB−−−−→−2−GC−−−−→=→0
Grâce à la relation de Chasles, on obtient :
2−GA−−−−→−(−GA−−−−→+−AB−−−−→)−2(−GA−−−−→+−AC) =−−−−→ →0
−−GA−−−−→=−AB−−−−→+ 2−AC−−−−→
−−−−−→
AG=−AB−−−−→+ 2−AC−−−−→
A(2) B(−1)
C(−2) G
Théorème 4 :
Gest le barycentre de trois points pondérés(A, α),(B, β)et(C, γ)avecα+β+γ 6= 0 si et seulement si, pour toutM du plan, on a :
α−M A−−−−−−→+β−M B−−−−−−→+γ−M C−−−−−−→= (α+β+γ)−M G−−−−−−→
Exemple : On reprend l’exemple précédent et on applique le théorème en choissisantM = A (par exemple). On obtient :
2−AA−−−−→−−AB−−−−→−2−AC−−−−→ = (2−1−2)−AG−−−−→
−−−−−→
AG = −AB−−−−→+ 2−AC−−−−→
Ce qui permet d’obtenir plus rapidement la relation permettant de placer le pointG.
3. E XERCICES
3.1. Informations vectorielles
15.1 Associer à chaque égalité vectorielle la phrase correspondante : 1. −AD−−−−→=−DB−−−−−→
2. −AB−−−−→=−3−AC−−−−→ 3. −AB−−−−→=−CD−−−−→
4. −DC−−−−→=−DA−−−−→+−DB−−−−−→ 5. −AD−−−−→=−BC−−−−→
1. ABCDest un parallélogramme.
2. ABDC est un parallélogramme.
3. Dest le milieu de[AB].
4. ADBC est un parallélogramme.
5. Cappartient à la droite(AB).
15.2 ABCDest un parallélogramme.
1. Construire les pointsF etEtels que :−BE−−−−→= 2−AB−−−−→et−AF−−−−→= 3−AD.−−−−→ 2. Construire le pointGtel queAEGF soit un parallélogramme.
3. Démontrer que les pointsA,CetGsont alignés.
15.3 ABC est un triangle.M est le point tel que
−−−−−−−→
AM = 3−AB.−−−−→ N est le point tel que
−−−−−−→
AN = 3−AC.−−−−→
1. Faire une figure.
2. Démontrer que−M N−−−−−−−→= 3−BC.−−−−→
3.2. Barycentre de deux points
15.4 AetB sont deux points du plan.
1. G1 est le barycentre de(A,1) (B,2). Construire le pointG.
2. G2 est le barycentre de(A,1) (B,−2). Construire le pointG.
3. G3 est le barycentre de(A,3) (B,3). Construire le pointG′.
15.5 Construire le point G, s’il existe, barycentre de (A;a) et (B;b) dans chacun des cas suivants :
1. a = −1; b =
−3. 2. a= 2
3;b= 3
2. 3. a = −2; b = 2.
4. a= 3;b= 9.
3.3. Barycentre de trois points
15.6 ABC est un triangle.
1. Gest le barycentre de(A,1) (B,2) (C,3). Construire le pointG.
2. G′ est le barycentre de(A,1) (B,3) (C,−3). Construire le pointG′. 3. Démontrer que(AG′)est parallèle à(BC).
15.7 Construire le pointG, s’il existe, barycentre de(A;a), (B;b)et(C;c)dans chacun des
1. a= 3;b = 5etc= 4.
2. a=−2;b = 5etc= 3.
3. a=−1;b=−2etc=−4 4. a= 1
2;b =−1
2 etc= 2.
15.8 On considère un triangleABC et l’on désigne parGle barycentre de (A; 1), (B; 4)et (C;−3).
1. Construire le barycentreI de(B; 4)et(C;−3).
2. Montrer que−GA−−−−→+−GI−−→= 0et en déduire la position deGsur(AI).
15.9 SoitGle barycentre de(A; 1),(B;−1),(C; 2)et(D; 3).
1. Quelle relation vectorielle peut-on écrire ?
2. SoitJle barycentre de(A; 1)et(C; 2)etK le barycentre de(B;−1)et(D; 3).
Montrer que3−GJ−−−→+ 2−GK−−−−−→=→0. Construire les pointsJ,K etG.
3. Construire le barycentreLde(A; 1),(B;−1)et(C; 2). Montrer que2−GL−−−→+ 3−GD−−−−→ =→0. En déduire une nouvelle construction deG.
Table des matières
1 Barycentre de deux points pondérés . . . 1
1.1 Définition . . . 1
1.2 Caractérisation du barycentre . . . 2
1.3 Propriétés du barycentre . . . 3
2 Barycentre de 3 points et plus. . . 3
3 Exercices . . . 5
3.1 Informations vectorielles . . . 5
3.2 Barycentre de deux points . . . 5
3.3 Barycentre de trois points . . . 5
