SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE 1 Puissance d’un couple moteur
Un hélicoptère Robinson R44 nécessite au décollage une puissance P = 180cv avec des pales tournant environ à 7tour.s−1. Quel est le couple exercé par le moteur sur les pales ?
Donnée : un cheval vapeur (1cv) vaut 736 W.
2 Fonte des glaces et durée du jour
Expliquer comment évolue la durée du jour pendant une ère de glaciation ? On considérera que la glace se forme essentiellement aux pôles.
Quel autre facteur intervient sur la modification de la durée du jour ?
3 Mise en rotation d’un volant
Pour mettre en rotation un volant assimilé à un cylindre homogène de rayon R = 50 cm et de masse 200 kg, on utilise un moteur fournissant une puissance constante P = 2,0 kW.
Quelle est la durée minimale nécessaire pour que le volant atteigne une vitesse de rotation de 2000 tours par minute depuis une position immobile ?
On donne le moment d’inertie du cylindre par rapport à son axe∆ : J∆ = 12M R2.
4 Oscillations amorties, horloge à balancier
Le balancier d’une horloge est schématisé par un pendule simple de longueur ` et de masse m = 1,0 kg. On prendra g = 9,8 m.s−1. Dans tout l’exercice on pourra supposer les oscillations d’amplitude faible devant 1 rad.
1) La période étant de T0 = 2,0 s, calculer `.
2) L’horloge est entraînée par un poids de masseM. En l’absence de ce poids on lance le balancier ; on constate qu’à cause des frot- tements (représentés dans l’équation du mouvement par un couple du type−fθ), l’amplitude des oscillations est divisée par˙ eau bout den = 50 oscillations. Calculer f.
3) Quelle valeur doit-on donner à M pour qu’en remontant le poids d’une hauteur h = 1,0 m, l’horloge fonctionne pendant une journée, le balancier ayant un mouvement d’amplitude constante θo = 1/20 rad ?
Réponses : `= 1,0 m ; f = 2,0.10−2 SI ; M = 2,2 kg.
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5 Étude d’un pendule de torsion
Un pendule de torsion est constitué par une barre horizontale suspendue en son centre O à l’extrémité inférieure d’un fil métallique dont l’extrémité supérieure est reliée à un support fixe. La barre peut donc tourner autour de l’axe Oz matérialisé par le fil. Cet axe vertical est orienté vers le haut. Le fil exerce sur la barre une action mécanique de rappel dont le moment par rapport à Oz est −Cθ où θ est l’angle de torsion et C la constante de torsion du fil.
On ajoute à la barre deux surcharges identiques, de massemchacun, que l’on place symétriquement par rapport à O. La distance variable entre les centres d’inertie des surcharges et O est notéd.
Le moment d’inertie par rapport à l’axeOzde l’en- semble «barre + surcharges» est notéJ. On admet qu’il est de la forme J =J0+ 2md2.
Le système étant au repos (le fil ayant donc une torsion nulle) on fait tourner l’ensemble «barre + surcharges» d’un angle θ0 autour de Oz puis on le lâche sans vitesse initiale.
Le mouvement est repéré par l’angle θ entre la direction de la barre au repos et la position de la barre à un instant t quelconque.
1. Exprimer l’énergie mécanique du système en fonction de C,J, θ et θ.˙
2.On fait l’hypothèse qu’il n’y a aucun frottement. Donner dans ce cas la loi horaire θ(t) du mouvement de la barre et exprimer la période T0 de son mouvement en fonction de C et J.
En pratique, des frottements dus à l’air finissent par arrêter les oscillations et le mouvement est pseudo périodique. On admet que les frottements sont suffisamment faibles pour pouvoir assimiler la période propre T0 à la pseudo-période avec une précision supérieure à 1%.
3.On mesure la période des oscillations pour différentes valeurs de la distanced. Les résultats sont rassemblées dans le tableau ci-dessous :
d 10,0 cm 15,0 cm 18,0 cm T0 10,8 s 13,3 s 15,1 s a. Trouver la valeur de C sachant que m= 50 g.
b. La constante de raideur est donnée par C = µπδ4
32` où µ est une caractéristique du matériau constituant le fil, δ son diamètre est` sa longueur. Sachant que le fil est en argent, que `= 0,5 m et δ= 0,5mm, calculer µpour l’argent. Préciser l’unité SI de µ.
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6 Chute d’un arbre
On assimile un arbre à une tige longue et homogène de longueurL et de masse m. On le scie à sa base et l’arbre bascule en tournant autour de son point d’appui au sol. On suppose que le point d’appui reste fixe et ne glisse pas et on repère la position de l’arbre par l’angle θqu’il fait avec la verticale. À t= 0, l’arbre fait un angle θ0 = 5◦ avec la verticale et est immobile.
On donne le moment d’inertie de l’arbre par rapport à un axe horizontal passant par son extrémité et perpendiculaire à l’arbre J = 13mL2.
1) Établir l’équation du mouvement de la chute de l’arbre.
2) Montrer que, lorsque l’arbre fait un angle θ avec la verticale, sa vitesse angulaire vaut : θ˙ =
r3g
L(cosθ0−cosθ)
3) En déduire le temps de chute d’un arbre de 30 m.
Données : g = 10 m.s−2. On donne pour θ0 = 5◦ : Z π2
θ0
√ dθ
cosθ0−cosθ = 5,1.
7 Poulie
Montrer que la tension d’un fil de masse négligeable est conser- vée au passage d’une poulie idéale, c’est-à-dire une poulie de masse négligeable et pivotant parfaitement autour de son axe∆ supposé fixe.
On commencera par supposer la poulie non idéale : moment d’inertie J∆6=O et moment résultant de la liaison pivotΓ∆ 6= 0 avant d’étudier le cas limite idéal.
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