EPFL 6 novembre 2006 Algèbre linéaire
1ère année 2006-2007
Série 3
L’exercice 6 est à rendre le 13 novembre au début de la séance d’exercices.
Exercice 1 1. Montrer que l’intersection d’une famille de sous-espaces vectoriels de V est un sous-espace vectoriel de V.
2. Quelle est l’intersection de tous les sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel V ?
Exercice 2 Dire si les ensembles suivants sont des espaces vectoriels. Le cas échéant, expliciter quelle propriété n’est pas vérifiée.
1. L’ensemble E1 des fonctions réelles sur R vérifiant limx→+∞f(x) = 1 pour l’addition et le produit par un réel.
2. L’ensemble E2 des polynômes de degré exactement n.
3. L’ensemble E3 des points (x, y) de R2, vérifiant sin(x+y) = 0.
4. L’ensemble E4 des polynômes ne comportant pas de terme de degré 7.
5. L’ensemble E5 ={(x, y)∈R2|x+αy+ 1≥0} où α est un réel.
Exercice 3 Soit R∗+ muni de l’addition de vecteurs ⊕ définie par a⊕b = ab,∀a, b ∈ R∗+ et de la multiplication par un scalaire ⊗ telle que λ⊗a = aλ,∀a ∈ R∗+,∀λ ∈ R. Montrer que E = (R∗+,⊕,⊗) est un R-espace vectoriel.
Exercice 4 Déterminer lesquels des ensembles de E1 à E5 sont des sous-espaces vectoriels de R3. Le cas échéant, expliciter quelle propriété n’est pas vérifiée.
E1 ={(x, y, z)∈R3 | x+y+z = 0}.
E2 ={(x, y, z)∈R3 | x+y+z = 4}.
E3 ={(x, y, z)∈R3 | x+y−z =x+y+z = 0}.
E4 ={(x, y, z)∈R3 | x2−z2 = 0}.
E5 ={(x, y, z)∈R3 | z(x2 +y2) = 0}.
Exercice 5 Soit E un C-espace vectoriel. Soient F et G deux sous-espaces de E. Montrer que
F ∪G est un sous-espace vectoriel de E ⇐⇒F ⊂G ou G⊂F.
Exercice 6 Soient F, G et H trois sous-espaces vectoriels d’un F-espace vectoriel E.
1. Montrer que (F ∩G) + (F ∩H)⊂F ∩(G+H).
2. Montrer que (G⊂F ou H ⊂F)⇒(F ∩G) + (F ∩H) =F ∩(G+H).
3. Donner un exemple d’espaces vectoriels E, F, G et H pour lequel il n’y a pas égalité dans 1.
